Ehtimollik statistik tarifilari va ularning xossalari

5-misol. Byuffon masalasi. Tekislikda bir-biridan masofada turuvchi parallel to`g`ri chiziqlar o`tkazilgan. Tekislikka uzunligi bo`lgan igna tavakkaliga tashlangan. Ignaning birorta to`g`ri chiziqni kesish ehtimolini toping.
Yechish. orqali ignaning o`rtasidan unga yaqinroq bo`lgan parallel to`g`ri chiziqgacha bo`lgan masofani va orqali igna bilan bu parallel to`g`ri chiziq orasidagi burchakni belgilaymiz (*).
va kattaliklar ignaning holatini to`la aniqlaydi. Ignaning barcha holatlari tomonlari va bo`lgan to`g`ri to`rtburchak nuqtalari bilan aniqlanadi. Ignaning parallel to`g`ri chiziq bilan kesishishi uchun tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir (**). Qilingan farazlarga ko`ra izlanayotgan ehtimol shtrixlangan yuzning to`g`ri to`rtburchak yuziga nisbatiga teng bo`ladi:
.

(*) (**)
Byuffon maslasi otishlar nazariyasiga oid ko`pgina masalalarni hal etishda muhimdir. Bundan tashqari, Byuffon masalasidan sonining qiymatini tajriba yo`li bilan hisoblashda foydalanish mumkin. Haqiqatan ham, yechilgan masaladan formula hosil bo`ladi. Tajribalar soni yetarlicha katta bo`lganda

formula o`rinli bo`lib, bunda -tajribalar soni, esa ignaning parallel chiziqlardan birini kesib tushgan hollari soni.
Ignani tashlash yordamida ni aniqlash uchun juda ko`p tajribalar o`tkazilgan. Ulardan ba`zi birlarining natijalarini keltiramiz.

Tajriba o`tkazgan kishi	Yili	Igna tashlashlar soni	ning eksperimental qiymati
Volf	1850	5000	3,1596
Foks	1894	1120	3,1419
Lassarini	1901	3408	3.1415929

Shartlar kompleksi o`zgarmas bo`lganda biror hodisaning ro`y berishi yoki ro`y bermasligi ustida uzoq kuzatishlar o`tkazilganda, uning ro`y berishi yoki ro`y bermasligi ma`lum turg`unlik (barqarorlik) xarakteriga ega bo`ladi.

hodisaning n ta tajribada ro`y berishlar sonini deb olsak, u holda juda ko`p sondagi kuzatishlar seriyasi uchun - nisbat deyarli o`zgarmas miqdor bo`lib qolaveradi.
- nisbat hodisaning ro`y berish chastotasi deyiladi. Chastotaning turg`unlik xususiyati birinchi bor, demografik xarakterdagi hodisalarda ochilgan. Bizning eramizdan 2238 yil bu­run qadimiy Xitoyda o`gil bola tugilishlar sonining jami tugilgan bolalar soniga nisbati deyarli ga teng deb hisoblangan.
Laplas Londonda, Peterburgda va butun Fransiyada yig`ilgan juda ko`p statistik materiallarga tayanib, tug`ilgan o`g`il bolalar sonining jami tug`ilgan bolalar soniga nisbati taxminan ga tengligini ko`rsatdi. Bu sonning bir necha o`n yillar mobaynida o`zgarmay qolishini statistik ma`lumotlar tasdiqladi.
Tajribalar soni oshirib borilsa, ma`lum bir qonuniyatni payqash mumkin.
Tangani n marta tashladik deb faraz qilaylik va „gerb" tushishlar sonini deb belgilaylik. Agar absissa o`qida o`tkazilgan tajribalar sonini, ordinata o`qida esa nisbatni belgilab borsak. n ning ortib borishi bilan (n, ) nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq chiziqqa yaqinlashadi.

Bu holni tekshirish maqsadida Byuffon tangani 4040 marta tashladi, shulardan 2048 marta gerb tushdi, gerb tushishi chastotasi . Pirson tangani oldin 12000 marta tashlagan, 6019 marta gerb tushdanda, gerb tushishlar ehtimoli , so`ngra 24000 marta tashlaganda, shulardan 12012 tasida gerb tushdi, .
Bu hol umumiy xarakterga ega: bir xil sharoitda o`tkazilgan tajribalar ketma-ketligida u yoki bu hodisani ro`y berishi chastotasi biror soniga „yaqinlashib” boradi.
Agar, tajribalar soni yetarlicha ko`p bo`lsa, u holda shu tajribalarda qaralayotgan hodisaning ro`y berish chastotasi biror o`zgarmas son atrofida turg`un ravishda tebransa, shu p sonni hodisaning ro`y berish ehtimoli deb qabul qilamiz. Bunday usulda aniqlangan ehtimol hodisa­ning statistik ehtimoli deyiladi.
Mizes hodisa­ning ehtimolini ushbu munosabat yordamida kiritgan:
.
Ehtimolning bu ta`rifi juda noqulay, chunki biror hodisaning ro`y berishi chastotalari ketma-ketligi turli eksperimentlar o`tkazilganda turlicha bo`ladi. Bundan tashqari, amalda biz chastotalar ketma-ketligini emas, balki uning chekli elementlarini olgan bo`lamiz. Hamma ketma-ketlikni olib bo`lmaydi. Shu sababli, ehtimollar nazariyasini aksiomalar asosida qurish maqsadga muvofiqdir.
Ehtimolning klassik va statistik ta’riflari
Sinash natijasida hodisalarning to‘la gruppasini tashkil etuvchi va teng imkoniyatli n ta elementar hodisalar ro‘y berishi mumkin bo‘lsin. Biror A hodisaning ro‘y berishi uchun elementar hodisalardan m tasi qulaylik tug‘dirsin. U holda, klassik ta’rif bo‘yicha A hodisaning ehtimoli tenglik bilan aniqlanadi.
Hodisaning nisbiy chastotasi deb hodisa ro‘y bergan sinovlar sonining o‘tkazilgan barcha sinovlar soniga nisbatiga aytiladi:
W
bu yerda m – A hodisaning ro‘y berishlari soni, n – sinovlarning umumiy soni.
Sinovlar soni yetarlicha katta bo‘lganda hodisaning statistik ehtimoli sifatida nisbiy chastota yoki unga yaqinroq son tanlanadi.
Klassik ta’rifdan foydalanib, masalalar yechishda kombinatorika formulalari keng qo‘llaniladi. Shuni e’tiborga olib, ba’zi kombinatorika formulalarini keltiramiz.
O‘rin almashtirishlar deb n ta turli elementlarning o‘rin almash-tirishlari soni ga aytiladi.
O‘rinlashtirishlar n ta turli elementdan m tadan tuzilgan kombinatsiyalаr bo‘lib, ular bir-biridan elementlarning tarkibi yoki ularning tartibi bilan farq qiladi. Ularning soni yoki formulalari bilan topiladi.
Gruppalashlar – bir-biridan hech bo‘lmaganda bitta elementi bilan farq qiluvchi n ta elementdan m tadan tuzilgan kombinatsiyalardir. Ularning soni ga teng.
1-misol. Qutida 7 ta oq, 3 ta qora shar bor. Undan tavakkaliga olingan sharning oq bo‘lishi ehtimolini toping.
Yechish: A – olingan shar oq ekanligi hodisasi bo‘lsin. Bu sinov 10 ta teng imkoniyatli elementar hodisalardan iborat bo‘lib, ularning 7 tasi A hodisaga qulaylik tug‘diruvchidir. Demak,

2-misol. Telefonda nomer terayotgan abonent oxirgi ikki raqamni esdan chiqarib qo‘yadi va faqat bu raqamlar har xil ekanligini eslab qolgan holda ularni tavakkaliga terdi. Kerakli raqamlar terilganligi ehtimolini toping.

Yechish: B – ikkita kerakli raqam terilganlik hodisasi bo‘lsin, hammasi bo‘lib, o‘nta raqamdan ikkitadan nechta o‘rinlashtirishlar tuzish mumkin bo‘lsa, shuncha , ya’ni ta turli raqamlarni terish mumkin. Demak,

3-misol. Qurilma 5 ta elementdan iborat bo‘lib, ularning 2 tasi eskirgan. Qurilma ishga tushirilganda tasodifiy ravishda 2 ta element ulanadi. Ishga tushirishda eskirmagan elementlar ulangan bo‘lish ehtimolini toping.

Yechish: Sinovning barcha mumkin bo‘lgan elementar hodisalari soni ga teng. Bularning ichidan tasi eskirmagan elementlar ulangan bo‘lishi hodisasi (A) uchun qulaylik tug‘diradi.
Shuning uchun P (A) =
4-misol. Texnik nazorat bo‘limi tasodifan ajratib olingan 100 ta kitobdan iborat partiyada 5 ta yaroqsiz kitob topdi. Yaroqsiz kitoblar chiqishining nisbiy chastotasini toping.
U shbu qo‘llanma hozirgi zamon «Ehtimolliklar nazariyasi va 
m atematik statistika» kursining respublikamiz universitetlari va 
pedagogika institutlari m atem atika, tadbiqiy matematika, infor- 
matika mutaxassisliklari bo‘yicha qabul qilingan o ‘quv dasturlari 
asosida yozilgan. Bundan tashqari, qo‘llanm adan mazkur kurs 
bo‘yicha qo'shim cha mashg‘ulotlar, talabalarbilan mustaqil ta ’lim 
dasrlarini o ‘tkazishda foydalanish rnumkin. Shu maqsadda kilob- 
da keltirilgan hanim a teorem alar m atem atika nuqtayi nazaridan 
qa’tiy isbotlari bilan ta ’minlangan. Ular bilan tanishish o‘quvchiga 
hozirgi zamon ehtimolliklar nazariyasida qo‘llaniladigan metodlar 
haqida to ‘la m a’lumot beradi. Aytilgan fikming ahamiyatliligi shun- 
daki, ehtimollik nazariyasi matematik fan sifatida bevosita tabiiy 
va ijtimoiy jarayonlarning modellarini o'rganadi. 
0
‘z navbatida 
esa, bu modellar asosiy tushuncha sifatida qabul qilingan «Elc- 
m entar hodisalar» tushunchasi orqali ifodalanadi.
Q o‘llanmada keltirilgan m a’lumotlarni tushunish uchun o'quv- 
chidan kombinatorikaga tegishli dastlabki tushunchalar va hirin- 
chi, ikkinchi kurslarda o ‘qitiladigan matematik analiz elementlari 
bilan tanish bo‘lish talab etiladi.
U shbu darslik m ualliflarning k o 'p yillar davom ida M irzo 
Ulug'bek nomidagi 0 ‘zbekiston Milliy Universiteti, Nizomiy 
110
- 
midagi Toshkent Davlat Pedagogika Universitetida o'qigan m a’m - 
zalari asosida yozilgan.
Ushbu kito'oning yozilishida Nizomiy nomidagi Toshkent I)avlal 
pedagogika universitetining «M atem atik analiz» kafcdrasining 
o ‘qituvchilarining maslahatlaridan foydalanildi. Mualliflar kilob
3

qo‘lyozmasi bilan tanishib, foydali maslahatlar bergan fizika-mate- 

matika fanlari doktori A.A. Abdushukurov, Y.M. Husanboyev- 
larga, fizika-matem atika fanlari nomzodi J.B. Azimovga chuqur 
m innatdorchiiik izhor qiladilar.
Albatta, liar qanday yozilgan kitob mualliflarning tanlangan 
predmetga b o lg a n shaxsiy munosabatlarini ko'proq aks cttiradi. 
Shuning uchun ham taklif qilinayotgan darslikni kamchiliklardan 
xolis, deb b o ‘lmaydi. Biz mutaxassislar va oddiy o'qituvchilar to- 
m onidan darslikka bildiriladigan tanqidiy fikrlami kutib qolamiz.
M anzil: Toshkent sh., Yusuf Xos Hojib ko‘chasi, 103-uy. 
Nizomiy nomidagi Toshkent Davlat Pedagogika Universiteti, fizika- 
m atem atika fakulteti, «M atematik analiz» kafedrasi.
Mualliflar

KIRISH
Ehtimolliklar nazariyasi matematik fan sifatida ro‘y berishi yoki 

ro‘y bermaganligi noaniq bo‘lgan voqealarning modellarini (vo- 
qealarning o ‘zini emas) o'rganadi. Boshqacha qilib aytganda, ehti­
molliklar nazariyasida shunday tajribalar modellari o'rganiladiki, 
bu tajribalarning natijalaridan qaysisi ro'y berishini aniqlab bo‘l- 
maydi. Masalan, tanga tashlanganda uni gerb yoki raqam tomoni 
bilan tushishi, ob-havoni oldindan aytib berish, ishlab turgan agre- 
gatning yana qancha ishlashi, ommaviy ishlab chiqarilgan m ah- 
sulotning nosozlik qismi, elektr signallarini uzatishda halaqit beruv- 
chi vaziyatlar yuzaga kelishi — bularning hammasini ehtimolliklar 
nazariyasi qoMlanilishi m um kin b o ‘lgan sohalar deb qaralishi 
mumkin.
Ehtimolliklar nazariyasini qo llash yoki q o llash mumkinmas- 
ligi o ‘rganilayotgan tajriba uchun «stoxastik turg‘un!ik» xossasi 
o ‘rinli bo ‘lishiga bog‘liq. Oxirgi tushuncha esa, o ‘z navbatida, 
o ‘rganilayotgan tajribaning bir xil sharoitda ko‘p marta kuzatish 
(o‘tkazish) imkoniyati bilan bog'liq (sanab o‘tilgan misoliarga e’tibor 
bering). Lekin, aytib o ‘tilgan fikrlarni «stoxastik turg‘unlik»ning 
ta ’rifi sifatida qabul qilib bo‘lmaydi. Aslida esa, bu tushunchaga 
ehtimolliklar nazariyasi fundamental natijalaridan biri — katta son- 
lar qonuni orqali kelish mumkin. Buning uchun quyidagi fikrlar­
ni keltirish bilan chegaralanib qolamiz.
Bizning ongimizda biror hodisaning ehtimolligi («ro‘y berish- 
lik darajasi») bir xil tipdagi tajribalarni bir xil sharoitda ko‘p marta 
takrorlanganda bu hodisaning ro‘y berishlar soniga bog‘liq. Buni 
ko‘p marta foydalaniladigan «tanga tashlash» misolida namoyish 
etamiz. Aytaylik, tanga n marta tashlansin, mn — «gerb» ro ‘y 
berishining nisbiy chastotasi bo ‘lsin, ya’ni ng deb tanga n marta 
tashlanganda uning «gerb» tomoni bilan tushgan soni belgilansa, 
u holda
5

Intuitiv ravishda tushunarliki (tajribalar esa buni isbotlaydi), 

agar tangani oldingi tashlangan natijalariga bog‘liq qilmasdan tash- 
lasak, katta n lar uchun mn chastota 
1/2
ga yaqin b o ‘ladi, ya’ui 
n -> oo da
-> \
(*) 
munosabat o ‘rinli bo ‘ladi. M asalan XVIII asrda yashagan mashxur 
tabiatshunos Byuffon tangani 4040 m arta tashlab, unda «gerb»
tomoni 2048 marta tushganini kuzatgan. Bu holda 
= — » 0,508.
n
M ashhur ingliz statist olimi K.Pirson tangani 24000 m arta tash­
lab, «gerb» tom oni bilan 12012 m arta tushganini kuzatgan. Bu 
holda mn » 0,5005 (bu m a’lum otlar B.V.Gnedenkoning «Kypc 
TeopHH Bepo?iTHOCTeii» (Moskva, 1969) kitobidan olindi). Aytil- 
ganlardan kelib chiqadiki, tanga tashlanganda uning «gerb» to ­
m oni bilan tushish ehtim olligini 
1/2
soni bilan tenglashtirish 
mumkin.
Lekin bu m ulohazalarda quyidagi prinsipial qiyinchiliklar yu- 
zaga keladi: keltirilgan fikrlarni odatdagi m atem atik tushunchalar 
orqali asoslab bo‘lmaydi, chunki, birinchidan tajribalarning bog‘- 
liqsizligining q at’iy m atem atik ta ’rifini kiritish kerak b o iad i. Ik- 
kinchidan, mn oddiy m a’nodagi m iqdor bo ‘lmasdan, u har xil 
tajribalar seriyalarida har xil qiymatlarni qabul qiladi (hattoki har 
qanday n uchun mn= 
1
bo‘hshligini, ya’ni tanga tashlanganda doimo 
uning «gerb» tom oni bilan tushishini inkor etib b o ‘lmaydi). De- 
mak, (*) m unosabatni sonli ketma-ketlikiarning limiti tushun- 
chasi doirasida asoslab b o ‘lmaydi, chunki mn — oddiy m a’nodagi 
miqdor emas, u «tasodif!y miqdor» bo ‘ladi. Demak, aslida biz 
cheksiz {mn, n > \ ) ketma-ketlikka ega b oim asdan, bu ketm a- 
ketlikning chekli sondagi chastotalari elem entlari bilan ish ko'ri- 
shimizga to ‘g‘ri keladi.
Eslatib o ‘tilgan qiyinchiliklarni bartaraf etish uchun hozirgi 
zamon m atematikasida qabul qilinganidek, «tasodifiy hodisalar»
6

va ularning «ehtimolliklari» uchun aksiomatik m odellar tuzish 

kerak b o ‘ladi. Bu muam m olar XX asrning m ashhur matematigi 
A.N.Kolmogorov tomonidan taklif qilingan «ehtimolliklar nazariyasi 
aksioma!ari» sistemasini kiritilishi bilan hal etildi.
M a’lumki, oxirgi yillarda «Ehtimollik!ar nazariyasi va matematik 
statistika» fanining asosiy tushunchalari davlat standartlari asosi­
da akademik litseylar va kollejlar dasturiga kiritildi. Shuning uchun 
ham bu fanni pedagogika oily o ‘quv yurtlarida o ‘qitishni yaxshi- 
lash muammolari yuzaga keldi.
Taklif qilinayotgan kitob yuqorida eslatib o ‘tiigan akademik 
A.N. Kolmogorov konsepsiyasi asosida yozildi va u hozirgi zamon 
«Ehtimoliklar nazariyasi va m atem atik statistika» fanining asosiy 
boblarini o ‘z ichiga oladi.
Mazkur darslikning cxirida «Ehtimoliklar nazariyasi va matema­
tik statistika»ning matematik fan sifatida shakllanish tarixidan 
lavhalar va bu fan b o ‘yicha 
0
‘zbekistonda dunyoga m ashhur mak- 
tab yaratilganligi haqidagi m a’lum otlar berilgan.
7

I b o b .

EHTIMOLLIKLAR FAZOSI
I bobni o‘rganish natijasida talaba:
— ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika kursining hozirgi 
zamon matematika fanlari tizimi va fandagi o ‘m i;
— ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistikaning asosiy 
g ‘oyalari va tushunchalarining maktab, o ‘rta maxsus, kasb-hunar 
ta ’limi matematika kurslarida aks etishi;
— ehtimollikni hisoblashning klassik ta ’rifi;
— ehtimollikning statistik va geometrik ta ’riflari;
— ehtimolliklar nazariyasi aksiomalari;
— kombinatorika formulalari;
— ehtimollik xossalari;
— shartli ehtimollik;
— hodisalar bog‘liqsizligi;
— to ‘la ehtimollik va Bayes formulalari 
haqida tasavvurga ega bo‘lishi;
— tasodifiy hodisalar tushunchasini;
— tasodifiy hodisalar ustida amallarni;
— kombinatorikaning asosiy formulalarini;
— ehtimollik tushunchasini;
— ehtimollikning klassik ta ‘rifini;
— ehtimollikning geometrik ta— uchrashuv haqidagi masalani;
— ehtimollikning statistik ta ’rifini;
— ehtimollikning xossalarini;
— uzluksizlik xossalarini;
— hodisalar algebrasi va a -algebrasini;
— shartli ehtimollik tushunchasini;
— hodisalar bog‘liqsizligini;
— to la ehtimollik formulasini;
— Bayes formulasini
bilishi va amalda qo‘llay olishi;
8

— tasodifiy hodisa ehtimolligini topa olishni;

— ehtimollikning klassik ta 'rifiga doir misollar yechishnl;
— ehtimollikning geometrik ta ’rifiga doir misollar yechishnl;
— kombinatorikaning asosiy fortnulalarini qo ‘llah masalalar yc 
chishni;
— hodisalar bog‘liqsizligini tekshirishni;
— shartli ehtimollikga doir misollar yechishni;