Elektr maydon kuchlanganlik vektorining oqimi. Gauss teoremasi va uning tadbiqlari

Aim.Uz

Elektr maydon kuchlanganlik vektorining oqimi. Gauss teoremasi va uning tadbiqlari
Elektr maydonini xarakterlashda nafaqat kuchlanganlik chiziqlari tushunchasidan, balki elektr maydon kuchlanganlik vektori oqimi tushunchasidan ham foydalaniladi. Bir jinsli elektr maydoniga joylashtirilgan ds-elementar yuzani kuzatamiz.

Kuchlanganlik vektorining oqimi deb, elementar yuza orqali o’tayotgan kuchlanganlik chiziqlari soniga teng kattalikka aytiladi va kuchlanganlik vektorini unga perpendikulyar bo’lgan yuzaga ko’paytmasi bilan aniqlanadi:

1.9 – rasm

(1.25)

9-rasmdan

(1.26)

Agar maydon bir jinsli bo’lmasa, S-sirtni shunday elementar bo’lakchalarga ajratamizki, uning har bir bo’lakchasi uchun (1.26) ifodani yozish mumkin bo’lsin.

Ixtiyoriy berk sirt orqali maydon kuchlanganligi vektorining oqimi, shu elementar bo’lakchalardan o’tayotgan oqimning algebraik yig’indisiga teng bo’ladi:

(1.27)

Ixtiyoriy berk sirt orqali nuqtaviy zaryad maydonining kuchlanganlik vektori oqimini hisoblaymiz.

Sirt ichida markazi nuqtaviy zaryadda bo’lgan r-radiusli sfera sirt chizamiz (1.10-rasm).

(1.27) ga nuqtaviy zaryad maydoni kuchlanganligi vektori ifodasini qo’yib sirt bo’yicha integrallaymiz:

(1.28)

Sferik sirtdan qancha kuchlanganlik chiziqlari o’tsa, egri sirtdan ham shuncha chiziqlar chiqadi. Demak, bundan nuqtaviy zaryad maydon kuchlanganligining ixtiyoriy sirt bo’yicha oqimi dan ortiq bo’lmaydi degan xulosa chiqadi. Bu xulosa istalgan zaryadlar sistemasi uchun o’rinli bo’lib, Ostrogradskiy – Gauss tomonidan aniqlangan:

1.10-rasm

Istalgan shakldagi berk sirt orqali elektr maydon kuchlanganligi vektorining oqimi, shu sirt o’rab olgan zaryadlar algebraik yig’indisining absolyut elektrostatik doimiysi nisbatiga teng:

(1.29)
Elektr maydon kuchlanganlik chiziqlari sirtni toq son marta kesib o’tib, oqimni hisoblashda faqat bir marta qatnashadi (1.11-rasm).

Superpozitsiya prinsipiga ko’ra zaryadlar sistemasi maydonining kuchlanganligi alohida zaryadlar hosil qilgan maydon kuchlanganligining geometrik yig’indisiga teng.

(1.30)

Shu tufayli to’la oqim:

1.11-rasm

(1.28) ga ko’ra algebraik yig’indi ostidagi har bir integralning qiymati ga teng.

Demak:

(1.31)

Bu esa Ostrogradskiy – Gauss teoremasining matematik ifodasidir. Agar zaryad biror hajmda tekis taqsimlangan bo’lsa, elektr maydoni kuchlanganligining oqimi quyidagicha aniqlanadi:

(1.32)

Agar q = 0 yoki bo’lsa, har qanaday berk sirt orqali elektr maydon kuchlanganlik vektorining oqimi ham nolga teng bo’ladi.

Bundan quyidagi xulosalar chiqarish mumkin.

a) Berk sirt ichidagi zaryad bo’lmasa yoki zaryadlarning algebraik yig’indisi nolga teng bo’lsa, elektr maydon kuchlanganlik chiziqlari sirt ichidan boshlanmaydi ham, tugallanmaydi ham. Sirtga kirishda qancha manfiy oqim hosil bo’lsa, chiqishda shuncha musbat oqim hosil bo’ladi:

b) Elektr maydon kuchlanganlik chiziqlari faqat musbat zaryaddan boshlanadi va manfiy zaryadda yoki cheksizlikda tugallanadi.

Ostrogradskiy – Gauss teoremasining tadbiqlari

1) Bir jinsli tekis zaryadlangan cheksiz tekislik maydoni kuchlanganligi:

Yuza birligiga to’g’ri keladigan zaryad miqdoriga son jihatdan teng kattalik, zaryadning sirt zichligi deb yuritiladi.

Elektr maydon kuchlanganlik chiziqlari tekislik sirtiga perpendikulyar bo’lib, musbat zaryadlangan tekislik uchun (1.12-rasm)da ko’rsatilgan.

Yasovchi kuchlanganlik vektoriga parallel, tekislikka nisbatan simmetrik silindrik sirt ajratamiz. Ta’rifga ko’ra:

Silindr yasovchi E-elektr maydon kuchlanganlik chiziqlariga parallel bo’lib, uning yon sirtiga o’tkazilgan normal bilan burchakni tashkil e tishi tufayli (9)-ning birinchi hadi nolga teng bo’ladi. Maydon kuchlanganligi oqimi Gauss teoremasiga muvofiq,

yoki



1.12-rasm