Elementar matematik modellar

Shakl: 1.4.

"Kichik" so'zi soddalashtirilgan holatni anglatadi, ya'ni barcha parchalanadigan mahsulotlar material atomlari bilan to'qnashuvni boshdan kechirmasdan I hududidan erkin chiqib ketadi . Boshqacha qilib aytganda, birinchi moddadagi parchalanish mahsulotlarining o'rtacha erkin yo'li L _{I ning o'ziga} xos o'lchamidan ancha katta , ya'ni. ... "Qalin qatlam" so'zlari, saqlash maqsadiga muvofiq, bo'linish mahsulotlari II mintaqada to'liq singib ketishini anglatadi . Agar qarama-qarshi shart bajarilsa , bu kafolatlanadi , bu erda ikkinchi moddadagi parchalanish mahsulotlarining yo'l uzunligi, L _II uning xarakterli kattaligi.

Shunday qilib, I mintaqadan qochib qutulgan hamma narsa II mintaqada so'riladi va har ikkala moddaning umumiy massasi vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi. Bu qonunma'lum bir vaziyatda qo'llaniladigan moddaning saqlanishi . Agar t = 0 vaqtining dastlabki momentida moddalar massasi M _I (0) va M _II (0) ga teng bo'lsa , u holda istalgan vaqt momentida muvozanat amal qiladi.

(4)

Ikkala massaning joriy qiymatlarini aniqlash uchun (4) tenglamaning o'zi etarli emasligi aniq - M _I (t) va M _II (t) . Matematik formulani yopish uchun parchalanish mohiyatini qo'shimcha ko'rib chiqishni o'z ichiga olishi kerak. Unda parchalanish darajasi (vaqt birligida parchalanadigan atomlar soni) radioaktiv moddalar atomlarining umumiy soniga mutanosibdir. Qisqa vaqt ichida DT lahzalar o'rtasidagi T va T + dt, faqat



atomlar Bu erda materiyaning saqlanish qonuni yana ishlatiladi, lekin butun jarayon uchun emas, balki dt vaqt oralig'i uchun . Atomlarning muvozanatini tavsiflovchi ushbu tenglamada o'ng tomonda minus belgisi mavjud (materiya kamayadi) va qiymat ko'rib chiqilayotgan vaqt uchun atomlar sonining ma'lum o'rtacha qiymatiga to'g'ri keladi. Keling, uni differentsial shaklda qayta yozaylik:



I moddaning atom og'irligi qayerda ekanligini hisobga olsak

(besh)

O'z-o'zidan paydo bo'lgan radioaktivlik bilan har qanday atomning parchalanish ehtimoli ma'lum, bu esa atrofdagi moddaning holatiga bog'liq emas. Shuning uchun radioaktiv moddaning o'zi qancha ko'p (kamroq) bo'lsa, birlik vaqtiga shuncha ko'p (kamroq) parchalanadigan mahsulotlar ajralib chiqadi. Mutanosiblik koeffitsienti ( yemirilish doimiysi ) o'ziga xos modda bilan belgilanadi.

Tenglamalar birgalikda shartlar bilan (4), (5) , shuningdek miqdorda , M _I (0) , M _II (0) va make ko'rib chiqilayotgan ob'ektning matematik modeli .

Integratsiyalashgan holda (5), bo'linadigan materialning massasi eksponent ravishda kamayib borishini aniqlaymiz

va mintaqada Men modda butunlay yo'qoladi.

(4) ga muvofiq umumiy massa doimiy bo'lib qolganligi sababli, II mintaqada moddalar miqdori o'sib boradi:

va parchalanadigan mahsulotlar I mintaqadan II mintaqaga to'liq o'tkazilganda .

c) impulsning saqlanishi . Ko'l yuzidagi tinch ob-havo sharoitida harakatsiz turgan qayiq, agar siz uning kamonidan orqasiga bir necha qadam tashlasangiz, oldinga siljiy boshlaydi. Qonun o'zini shunday namoyon qiladiimpulsning saqlanishi , bu tashqi kuchlarning ta'sirini sezmagan tizimning umumiy impulsi saqlanib qolishini bildiradi. Qayiq eshkak eshish harakatiga teskari tomonga siljish bilan reaksiyaga kirishadi.

Reaktiv harakatlanish printsipi ko'plab ajoyib texnik qurilmalarning asosini tashkil etadi, masalan, sun'iy yo'ldoshni Yer atrofidagi orbitaga uchiradi, buning uchun u taxminan 8 km / s tezlikni ishlab chiqishi kerak. Eng sodda raketa harakatining matematik modeli qonun asosida olingan havo reaktivligi, tortishish kuchi va boshqa kuchlarni e'tiborsiz qoldirishda impulsning saqlanishi , bu, albatta, reaktiv dvigatellarning harakatlanishini hisobga olmaganda.

Yonuvchan yonilg'i mahsulotlari orqadagi qismida joylashgan egzoz nasadkalarini u tezligi bilan tark etsin (zamonaviy yoqilg'ilar uchun bu qiymat 3-5 km / s ga teng). T va t + dt momentlari orasidagi kichik vaqt oralig'ida dt yonilg'ining bir qismi yonib ketdi va raketa massasi dm ga o'zgargan . Raketa impulsi ham o'zgardi, ammo "raketa va yonish mahsulotlari" tizimining umumiy impulsi t vaqtidagi kabi qoldi , ya'ni.

bu erda v (t) - raketa tezligi, bu dt oralig'ida nozullardan oqib chiqadigan gazlarning o'rtacha tezligi (ikkala tezlik ham Yerga nisbatan olinadi). Ushbu tenglikning o'ng tomonidagi birinchi muddat - bu raketaning t + dt vaqtidagi impulsi, ikkinchisi - dt vaqtida chiqadigan gaz tomonidan uzatilgan momentum .

M (t + dt) = m (t) + (dm / dt) dt + O (dt) ekanligini hisobga olsak^{2018-04-02 121 2}) , qonunimpulsning saqlanishini differentsial tenglama sifatida qayta yozish mumkin

unda - (dm / dt) u atamasi , shubhasiz, raketa dvigatellarining itarish kuchidan boshqa narsa emas va u shaklga aylantirilgan



osonlik bilan birlashadi:



bu erda v ₀ , m ₀ - mos ravishda, raketaning t = 0 momentdagi tezligi va massasi . Agar v ₀ = 0 bo'lsa , unda yoqilg'ining to'liq yonishi bilan erishilgan maksimal raketa tezligi

(6)

Bu erda m _p - foydali massa (sun'iy yo'ldoshning massasi), m _s - strukturaviy massa (haqiqiy raketa strukturasining massasi - yonilg'i baklari, dvigatellar, boshqaruv tizimlari va boshqalar).

Tsiolkovskiyning oddiy formulasi (6) kosmik parvozlar uchun raketaning dizayni to'g'risida asosiy xulosa chiqarishga imkon beradi. Biz qiymatni tanishtiramiz

m _p = 0 da raketaning strukturaviy va boshlang'ich massalarining nisbatini xarakterlaydi . Keyin amalda km / s ning haqiqiy qiymatlari m _p = 0 ga teng

Bundan kelib chiqadiki, eng ideal vaziyatda ham (foydali massa nolga teng, tortishish kuchi va havo qarshiligi yo'q va boshqalar), ko'rib chiqilayotgan turdagi raketa birinchi kosmik tezlikka erisha olmaydi. Shunday qilib, ko'p bosqichli raketalardan foydalanish kerak - astronavtika asoschilari tomonidan chiqarilgan xulosa.

Ushbu misol, shuningdek, dastlabki bosqichda tez-tez ishlatiladigan "eng maqbul" printsipni aks ettiradi. murakkab ob'ektlarni matematik modellashtirish : agar eng yaxshi sharoitda joylashtirilgan ob'ekt talab qilinadigan xususiyatlarga erisha olmasa, u holda ob'ektning o'ziga bo'lgan munosabatni o'zgartirish yoki unga qo'yiladigan talablarni yumshatish zarur; agar talablarga printsipial jihatdan erishish mumkin bo'lsa, unda keyingi bosqichlar qo'shimcha murakkablashtiruvchi omillar ob'ektiga ta'sirini o'rganish bilan bog'liq.