Элементар ҳодисалари чеклита бўлган эҳтимоллар фазоси

Элементар ҳодисалари чеклита бўлган эҳтимоллар фазоси.шартли эҳтимоллик. Боғлиқмаслик.
Режа:

1. 
   Шартли эҳтимоллик ва хоссалари.
   
2. 
   Тўла эҳтимоллик.
   
3. 
   Байес теоремаси.
   
4. 
   Боғлиқмаслик.
   
5. 
   Алгебралар боғлиқмаслиги.
   
6. 
   Алгебралар боғлиқмаслигига мисол.
   
7. 
   Элементар ҳодисалар фазоси, мисоллар.
   
8. 
   Тасодифий ҳодиса устида амаллар.
   
9. 
   Алгебра тушунчаси.
   
10. 
    Элементар ҳодисалар эҳтимоллиги.
    
11. 
    Тасодифий ходиса эҳтимоллиги, хоссалари.
    

Элементар ҳодисалари чеклита бўлган эҳтимоллар фазоси.

эҳтимолликли модель қурамиз.
Фараз қилайлик

ихтиёрий чекли тўплам берилган бўлсин.
- элементар ҳодисалар дейилади.
-элементар ҳодисалар фазоси дейилади.
Мисоллар.
1) Тажриба тангани 1 марта ташлашдан иборат

2) Тажриба тангани 2 марта ташлашдан иборат.

3) Тажриба тангани марта ташлашдан иборат


4) Тажриба шошқолтошни 1 марта ташлашдан иборат.

5) Тажриба 1 марта танга ташланади, агар “Г” томон тушса, сўнгра шошқолтош ташланади, агар “Р” тушса яна танга ташланади:

ни қисм тўпламлари тасодифий ходиса дейилади.
Масалан.
лар қуйидагича таърифланади.
1) ҳодиса, ёки рўй бергандагина рўй берадиган ходисага айтилади.
2) ҳодиса, ҳам, ҳам рўй бергандагина рўй берадиган ҳодисага айтилади.
3) рўй бериб, рўй бермагандагина рўй берадиган ҳодисага айтилади.
4) ҳодиса рўй бермагандагина рўй берадиган ҳодисага айтилади.
Мисол:
ва




Юқоридаги мисолдаги мумкин бўлган, яъни муқаррар ҳодиса дейилади ва билан белгиланади. Бу ҳодисага қарама-қарши яъни мумкин бўлмаган ҳодисани каби белгилаймиз.
Фараз қилайлик ни қисм тўпламларини бири тўпламлар системаси берилган бўлсин
Таъриф: -алгебра дейилади, агарда
1)
2) учун
3)
Алгебрага мисоллар.
1) тўпламлар системаси алгебра бўлади (тривиал алгебра).
2) система ҳодиса ҳосил қилган алгебра.
3) ни барча қисм тўпламлари алгебра бўлади.
Шундай қилиб жуфтликни қурдик. Энди эҳтимоллик (ўлчов) тушунчасини киритамиз.
Таъриф: Элементар ҳодисаларни эҳтимолликлари берилган дейилади, агарда ни га акслантирувчи функция берилган бўлиб, у қуйидаги шартларни қаноатлантирса:
1)
2)
У ҳолда ҳодисани эҳтимоллиги деб

сонга айтилади.
Эҳтимолликни ҳоссалари.

Исбот бевосита таърифдан келиб чиқади.

Исботи.

дан натижа. Агар ва ҳодисалар биргаликда бўлмаса, яъни, бўлса, у ҳолда

.
Исбот.



бу ердан,

Шундай қилиб, -Эҳтимоллик моделини қурдик.
1. Фараз қилайлик -чекли эҳтимоллар фазоси ва -ҳодиса бўлсин.
Таъриф: ҳодисанинг ҳодисага нисбатан шартли эҳтимоллиги деб, қуйидаги қийматга айтилади:

Эҳтимолликни классик таърифидан

Қуйидаги хоссалар шартли эҳтимоллик таърифидан бевосита келиб чиқади.

Мисоллар.
1-мисол. Иккита шашқолтош ташланаётган бўлсин. Элементар ҳадлар фазоси.
бўлади.



2-мисол. 2 та болали оилани кўрайлик. Оилада 2 та бола ҳам ўғил бўлиш эҳтимоллиги нимага тенг. Фараз қилайлик а) катта бола-ўғил б) ҳеч бўлмаганда 1 таси- ўғил?
,
қаерда ЎҚ-катта бола ўғил эканлигини билдиради.
P(ЎЎ)*P(ЎҚ)*P(ҚЎ)*P(ҚҚ)
А*(оилада катта бола-ўғил)
В*(оилада кичик бола-ўғил)
У ҳолда

Сўралаётган савол қуйидаги шартли эҳтимолликдан иборат.


Фараз қилайлик бизга бирорта бўлинма берилган бўлсин, яъни

P(A_i)>0 бўлсин.
У ҳолда тўплам учун бўлади.

(1)
тўла эҳтимоллик формуласи.
Хусусий ҳолда агар бўлса . Шартли эҳтимоллик таърифидан
(2)
эҳтимолликлар кўпайтмаси формуласи.
Индукция бўйича қуйидаги тенгликни исботланг.
шунақаси , у ҳолда

3. Фараз қилайлик А ва В ҳодисалар шунақаки . У ҳолда
(3)
ўринли (2) ва (3) дан
(4)
Байес формуласи.
Агар ни бўлинмасини ташкил қилса у ҳолда (1) дан Байес теоремаси келиб чиқади.
(5)
Таъриф-2. А ва В ҳодисалар боғлиқмас дейилади (Р эҳтимолликка нисбатан), агарда бўлса.
Таъриф-3. Иккита ҳодисалар (тўпламлар) алгебраси А₁ ва А₂ боғлиқмас дейилади, агар ва тўпламлар (мос равишда А₁ ва А₂ олинган) боғлиқмас бўлса.
Мисол учун иккита алгебра олайлик.

-тўпламлар.
Агар А₁ ва А₂ лар боғлиқмас бўлса, у ҳолда А₁, А₂ алгебралар боғлиқ бўлади.
Фараз қилайлик А₁ ва А₂, боғлиқмас, яъни 16 та қуйидаги жуфтликлар боғлиқмас.
А₁ ва А₂, А₁ ва А₂ ва боғлиқмас.
А₁ ва А₂ боғлиқмас. Энди қолган 15 та жуфтликни боғлиқмаслигини кўрсатамиз. А₁ ва А₂ ни боғлиқмаслигини текширамиз.

А₁ ва А₂ боғлиқмас. қолганлари ҳудди шундай текширилади.
5. А₁, А₂, ..., A_n тўпламлар боғлиқмас дейилади, агар ва ўринли бўлса, алгебра боғлиқмас дейилади, агар (мос равишда алгебрадан олинган) тўпламлар боғлиқмас бўлса.
Жуфт-жуфти билан боғлиқмасликда ўзаро боғлиқмаслик келиб чиқмайди. Масалан

боғлиқмас
ва ҳоказо.

6. Масала тангани n марта ташлашдан иборат, яъни герб тушиши рақам тушиши. Умумий ҳолда, элементар ҳодиса фазоси қуйидагича бўлади.

Биномиал тақсимот

алгебралар кетма-кетлигини кўрамиз. Бу алгебралар боғлиқ эмаслигини кўрсатамиз.

боғлиқмас ва хоказо.