Элементар ҳодисалари чеклита бўлган эҳтимоллар фазоси

Elementar hodisalari cheklita bo‘lgan ehtimollar fazosi.shartli ehtimollik. Bog‘liqmaslik.
Reja:

1. 
   Shartli ehtimollik va xossalari.
   
2. 
   To‘la ehtimollik.
   
3. 
   Bayes teoremasi.
   
4. 
   Bog‘liqmaslik.
   
5. 
   Algebralar bog‘liqmasligi.
   
6. 
   Algebralar bog‘liqmasligiga misol.
   
7. 
   Elementar hodisalar fazosi, misollar.
   
8. 
   Tasodifiy hodisa ustida amallar.
   
9. 
   Algebra tushunchasi.
   
10. 
    Elementar hodisalar ehtimolligi.
    
11. 
    Tasodifiy xodisa ehtimolligi, xossalari.
    

Elementar hodisalari cheklita bo‘lgan ehtimollar fazosi.

ehtimollikli model quramiz.
Faraz qilaylik

ixtiyoriy chekli to‘plam berilgan bo‘lsin.
- elementar hodisalar deyiladi.
-elementar hodisalar fazosi deyiladi.
Misollar.
1) Tajriba tangani 1 marta tashlashdan iborat

2) Tajriba tangani 2 marta tashlashdan iborat.

3) Tajriba tangani marta tashlashdan iborat


4) Tajriba shoshqoltoshni 1 marta tashlashdan iborat.

5) Tajriba 1 marta tanga tashlanadi, agar “G” tomon tushsa, so‘ngra shoshqoltosh tashlanadi, agar “R” tushsa yana tanga tashlanadi:

ni qism to‘plamlari tasodifiy xodisa deyiladi.
Masalan.
lar quyidagicha taʼriflanadi.
1) hodisa, yoki ro‘y bergandagina ro‘y beradigan xodisaga aytiladi.
2) hodisa, ham, ham ro‘y bergandagina ro‘y beradigan hodisaga aytiladi.
3) ro‘y berib, ro‘y bermagandagina ro‘y beradigan hodisaga aytiladi.
4) hodisa ro‘y bermagandagina ro‘y beradigan hodisaga aytiladi.
Misol:
va




Yuqoridagi misoldagi mumkin bo‘lgan, yaʼni muqarrar hodisa deyiladi va bilan belgilanadi. Bu hodisaga qarama-qarshi yaʼni mumkin bo‘lmagan hodisani kabi belgilaymiz.
Faraz qilaylik ni qism to‘plamlarini biri to‘plamlar sistemasi berilgan bo‘lsin
Taʼrif: -algebra deyiladi, agarda
1)
2) uchun
3)
Algebraga misollar.
1) to‘plamlar sistemasi algebra bo‘ladi (trivial algebra).
2) sistema hodisa hosil qilgan algebra.
3) ni barcha qism to‘plamlari algebra bo‘ladi.
Shunday qilib juftlikni qurdik. Endi ehtimollik (o‘lchov) tushunchasini kiritamiz.
Taʼrif: Elementar hodisalarni ehtimolliklari berilgan deyiladi, agarda ni ga akslantiruvchi funksiya berilgan bo‘lib, u quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:
1)
2)
U holda hodisani ehtimolligi deb

songa aytiladi.
Ehtimollikni hossalari.

Isbot bevosita taʼrifdan kelib chiqadi.

Isboti.

dan natija. Agar va hodisalar birgalikda bo‘lmasa, yaʼni, bo‘lsa, u holda

.
Isbot.



bu yerdan,

Shunday qilib, -Ehtimollik modelini qurdik.
1. Faraz qilaylik -chekli ehtimollar fazosi va -hodisa bo‘lsin.
Taʼrif: hodisaning hodisaga nisbatan shartli ehtimolligi deb, quyidagi qiymatga aytiladi:

Ehtimollikni klassik taʼrifidan

Quyidagi xossalar shartli ehtimollik taʼrifidan bevosita kelib chiqadi.

Misollar.
1-misol. Ikkita shashqoltosh tashlanayotgan bo‘lsin. Elementar hadlar fazosi.
bo‘ladi.



2-misol. 2 ta bolali oilani ko‘raylik. Oilada 2 ta bola ham o‘g‘il bo‘lish ehtimolligi nimaga teng. Faraz qilaylik a) katta bola-o‘g‘il b) hech bo‘lmaganda 1 tasi- o‘g‘il?
,
qayerda O‘Q-katta bola o‘g‘il ekanligini bildiradi.
P(O‘O‘)*P(O‘Q)*P(QO‘)*P(QQ)
A*(oilada katta bola-o‘g‘il)
V*(oilada kichik bola-o‘g‘il)
U holda

So‘ralayotgan savol quyidagi shartli ehtimollikdan iborat.


Faraz qilaylik bizga birorta bo‘linma berilgan bo‘lsin, yaʼni

P(A_i)>0 bo‘lsin.
U holda to‘plam uchun bo‘ladi.

(1)
to‘la ehtimollik formulasi.
Xususiy holda agar bo‘lsa . Shartli ehtimollik taʼrifidan
(2)
ehtimolliklar ko‘paytmasi formulasi.
Induksiya bo‘yicha quyidagi tenglikni isbotlang.
shunaqasi , u holda

3. Faraz qilaylik A va V hodisalar shunaqaki . U holda
(3)
o‘rinli (2) va (3) dan
(4)
Bayes formulasi.
Agar ni bo‘linmasini tashkil qilsa u holda (1) dan Bayes teoremasi kelib chiqadi.
(5)
Taʼrif-2. A va V hodisalar bog‘liqmas deyiladi (R ehtimollikka nisbatan), agarda bo‘lsa.
Taʼrif-3. Ikkita hodisalar (to‘plamlar) algebrasi A₁ va A₂ bog‘liqmas deyiladi, agar va to‘plamlar (mos ravishda A₁ va A₂ olingan) bog‘liqmas bo‘lsa.
Misol uchun ikkita algebra olaylik.

-to‘plamlar.
Agar A₁ va A₂ lar bog‘liqmas bo‘lsa, u holda A₁, A₂ algebralar bog‘liq bo‘ladi.
Faraz qilaylik A₁ va A₂, bog‘liqmas, yaʼni 16 ta quyidagi juftliklar bog‘liqmas.
A₁ va A₂, A₁ va A₂ va bog‘liqmas.
A₁ va A₂ bog‘liqmas. Endi qolgan 15 ta juftlikni bog‘liqmasligini ko‘rsatamiz. A₁ va A₂ ni bog‘liqmasligini tekshiramiz.

A₁ va A₂ bog‘liqmas. qolganlari huddi shunday tekshiriladi.
5. A₁, A₂, ..., A_n to‘plamlar bog‘liqmas deyiladi, agar va o‘rinli bo‘lsa, algebra bog‘liqmas deyiladi, agar (mos ravishda algebradan olingan) to‘plamlar bog‘liqmas bo‘lsa.
Juft-jufti bilan bog‘liqmaslikda o‘zaro bog‘liqmaslik kelib chiqmaydi. Masalan

bog‘liqmas
va hokazo.

6. Masala tangani n marta tashlashdan iborat, yaʼni gerb tushishi raqam tushishi. Umumiy holda, elementar hodisa fazosi quyidagicha bo‘ladi.

Binomial taqsimot

algebralar ketma-ketligini ko‘ramiz. Bu algebralar bog‘liq emasligini ko‘rsatamiz.

bog‘liqmas va xokazo.