Elementlar hodisalar ehtimolligi

ELEMENTLAR HODISALAR EHTIMOLLIGI


REJA:

1. 
   Ehtimollar nazariyasi elementlarini molekulyar fizikada qo‘llanilishi.
   
2. 
   Tasodifiy voqealar va hodisalar ehtimolligi.
   
3. 
   Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari.
   

Yuqorida aytganimizdek, ko‘p sonli zarralar sistemasi xossalarini o‘rganishda dinamika (mumtoz mexanika) qonunlarini qo‘llab bo‘lmaydi. Masalan: bir idish olib, unda hajm bo‘yicha ideal gaz bor desak, ma’lum molekula qaysi paytda idish hajmining qaysi qismida bo‘lishini aytish qiyin. Chunki bu molekula idish hajmining o‘sha qismida o‘sha paytda bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin. Shuning uchun ham bshnday jarayonlarni o‘rganishda tasodifiy hodisalar qonuniyatlaridan foydalaniladi. Tasodifiy hodisalar qonuniyatlari ehtimollik nazariyasiga bo‘yso‘nadi. Bu nazariyaga kura biror tasodifiy xodisa yuz berishi ham, bermasligi ham mumkin. Shu voqeaning sodir bo‘lish darajasi extimliyat chastotasi bilan aniqlanadi.
Masalan: biror qutida turt xil rangdagi to‘rtta bir xil shar bo‘lsin. Agar shu qutidagi sharni ko‘rmasdan oladigan bo‘lsak, har qaysi rangda sharni chiqarib olish extimoliyati tajribalar soning ortishi bilan tenglasha boradi va № 14 ga intiladi. Extimoliyatning ta’rifini berishda biror voqeaning sodir bo‘lishi yoki bo‘lmasligini kuzatish bilan javob berish mumkin: Voqeaning ehtimolligi voqea amalga oshadigan tajribalar sonining tajribalarning umumiy soniga nisbatini tajribalar soni cheksiz ortib borgandagina limitiga aytiladi. Agar kuzatishlar soni N ta bo‘lib, shunday kuzatishlarda Na ga marta (N >>N_a) shu voqea sodir bo‘lsa, u xolda shu voqeaning sodir bo‘lish ehtimoliyati ξ (a) deb quyidagi kattalikka aytiladi.
(3.1)
shu voqea bir vaqtning o‘zida bir joyda emas, bir necha joyda ruy bersa, bunday sistemasiga sistemalar ansambli deyiladi.
2. Agar voqealar vaqt o‘tishi bilan o‘zgaruvchan kattalik bilan xarakterlansa, ularning sodir bo‘lish ehtimoliyatlarini (1) formula bilan aniqlab bo‘lmaydi. Shunday hollarda berilgan voqeaning sodir bo‘lishi ehtimoliyat zichligi tushunchasi kiritiladi. Ehtimoliyat zichligi deb, berilgan voqeaning xajmda yuz berishi yoki bermaslik ehtimoliyatiga aytiladi. Ya’ni
(3.2)
Formuladan ko‘rinadiki hajmi birligidagi ehtimoliyatga ehtimoliyat zichligi deyiladi. Bugun hajmdan sodir bo‘ladigan ehtimoliyat zichligining normallashtirish sharti deyiladi. U quyidagicha ifodalanadi.
(3.3)
Agar voqealar bir-birini inkor etuvchi bo‘lsa, masalan, biror molekula V1 xajmda bo‘lsa, uning shu payt qo‘shni V2 hajmda bo‘la olmasligi aniq u holda shu molekulaning
V= V1+ V2 xajmda bo‘lishi ehtimoliyati


(3.4)
bilan topiladi. Bu formuladan ko‘rinadiki, o‘za’ro bir-birini inkor etuvchi voqealar ehtimoliyati shu ehtimoliyatlar yig‘indisiga teng bo‘ladi. Agar biror tasodifiy kattalik Z, vaqt o‘tishi bilan Z1, Z2,….Zn qiymatlarni qabul qilsa , uning o‘rtacha qiymati quyidagicha aniqlanadi:
(3.5)

2. Agar o‘zgaruvchan kattalikning qiymati vaqt o‘tishi bilan uzluksiz o‘zgaruvchan bo‘lsa, uning o‘rtacha qiymati vaqtga bog‘liq bo‘ladi. Biror va vaqt oralig‘ida o‘zgaruvchan Z kattaligining o‘rtacha qiymati.

(3.6)
bilan topiladi.
Umumiy holda, uzluksiz ravishda o‘zgaruvchan kattalik uchun o‘rtacha qiymat quo‘idagicha topiladi.
(3.7)
bu yerda f(z) o‘zgaruvchan Z kattalikning ehtimoliyat zichligidir.
O‘zgaruvchan kattalikning o‘rtacha miqdoridan chetlashishi, dispersiya Bilan xarakterlanadi. Dispersiya o‘rtacha miqdoridan chetlanish kvadratining o‘rtacha qiymati bilan aniqlanadi.
(3.8)

vaqt birligi ichida diskret o‘zgaradigan tasodifiy xodisalar uchun dispersiya

(3.9)
bilan aniqlanadi. Vaqt birligi ichida uzluksiz o‘zgaradigan tasodifiy hodisalar uchun
(3.10)
oraliq aniqlanadi.
4.Statistik fizikadagi eng muhim kattaliklardan biri ehtimoliyatlar taqsimot funksiyasidir. Bu funksiya juda o‘zgaruvchan tasodifiy Z kattalik berilgan Z₀ dan kichik qiymatlar qabul qilish ehtimoliyatini ko‘rsatuvchi funksiyadir:


(3.11)
Bu yerda funksiyaga ehtimoliyatlar taqsimot funksiyasi deyiladi va uzlusiz o‘zgaruvchan kattalik uchun ehtimoliyat zichligi orqali quyidagicha ifodalanadi:


(3.12)
Istalgan vaqt birligi ichida o‘zgaruvchan kattalikning o‘rtacha qiymatini ehtimoliyatlar taqsimot funksiyasi orqali ifodalash mumkin;


(3.13)
Ko‘p sondagi zarralar sistemasining xossalarini statistik usulorqali bayon qilishda ko‘pincha statistik taqsimotlar tushunchasidan foydalaniladi. M: Gaz molekulalari tezligining taqsimot funksiyasi va hokazo.

Gauss taqsimoti.

1. 
   Gauss dekart koordinata sistemasida sakrab harakatlanuvchi modda nuqtaning juda ko‘p sakrashlardan keyin uning koordinatalarini aniqlash ehtimoliyatini xisoblab, bu ehtimoliyati zichligi F (Z), Z koordinata sistemasida
   

(3.14)
Агар берилган шароитда воqеа албатта руй берадиган бo‘лса, бу воqеа ишончли воqеа деб ekanligini ko‘rsatadi. Bu yerda A va a lar integrallash doimiylari. Bunday ehtimoliyat zichligi taqsimotligi Gauss taqsimoti deyiladi. Bu taqsimot funksiyasi orqali juda ko‘pgina o‘zgaruvchan kattaliklarning o‘zgarish qonuniyatlari tushuntiriladi. Shuning uchun katta ahamiyatga ega. Demak, xulosa qilib aytadigan bo‘lsak, Gauss taqsimot funksiyasi sistemasining dispersiyasiga bog‘liq bo‘lar ekan. Dispersiya qiymati qancha kichik bo‘lsa, uning grafikda ifodalangan qiymati shuncha tik bo‘ladi va dispersiya qiymatining ortishi bu taqsimot funksiyasi shuncha yoyila boradi.
Ehtimollar nazariyasida amalga oshishi mumkinmi yoki yo‘qmi deb savol quyish mumkin bo‘lgan har qanday xodisalar voqealar yoki xollar deb ataladi. U yoki bu voqea ruy berishiga sabab bo‘lgan tajriba yoki shart-sharoitlar majmui ehtimollar nazariyasida sinash deb ataladi. Agar berilgan sharoitda voqea albatta ro‘y beradigan bo‘lsa, bu voqea ishonchli voqea deb ataladi. Agar u amalga oshmaydigan bo‘lsa, mumkin bo‘lmagan voqea deb yuritiladi. Masalan, biz qog‘ozda uchburchak chizdik. Bunda uning har bir tomoni qolgan ikki tomonining yig‘indisidan kichik bo‘lgmn uchburchak hosil bo‘lishidan iborat bo‘lgan voqea ishonchli voqeadir. Tomonlarning biri qolgan ikki tomonining yig‘indisidan katta (uzun) bo‘lgan uchburchakning paydo bo‘lishi ham, garchi mumkin bo‘lmagan bo‘lsada, voqeadir. Sinash natijasida ruy berishi mumkin bo‘lgan, shuningdek ruy berishi mumkin bo‘lmagan voqea tasodifiy voqea deb ataladi.
O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika sohasida butun dunyoga tanilgan ilmiy maktab yaratildi. Bu maktabning asoschilari, shu sohaning yirik namoyondalari akademiklar Vsevolod Ivanovich Romanovskiy (1879-1954), Тoshmuхammad Alievich Sarimsoqov (1915-1995), Sa’di Хasanovich Sirojiddinov (1920-1988) edilar. Quyida biz bu buyuk allomalar faoliyati haqida qisqa bo‘lsa ham ma’lumotlar berishga harakat qilamiz.
V.I.Romanovskiy 1879 yil 5 dekabrida Qozog‘istonning Verniy (hozirgi Olma-ota) shahrida tug‘ildi. Uning yoshlik yillaridayoq Romanovskiylar oilasi Тoshkentga ko‘chib kelgan edi. U o‘rta maktabni (aniqrog‘i o‘sha paytdagi real bilim yurtini) bitirgandan so‘ng Sankt-Peterburg Universitetining fizika-matematika fakultetiga o‘qishga kiradi. Universitetda unga mashhur rus matematigi Andrey Andreevich Markov (1856-1921) ustozlik qilgan. 1904 yilda V.I.Romanovskiy universitetni a’lo baholar bilan bitirgandan so‘ng uni professorlik lavozimiga tayyorlash uchun magistraturaga qabul qilingan (A.A.Markov rahbarligida). V.I.Romanovskiyning ilmiy va pedagogik faoliyati Sankt-Peterburg Universitetida privant-dotsentlik lavozimidan boshlangan. (1906 y). Keyinchalik u Varshavadagi rus Universitetida, Rostovning Don Universitetida ishlagandan so‘ng 1917 yili Тoshkentga qaytib keladi va mahalliy gimnaziyalarda matematika va fizikadan darslar beradi. 1918 yilda Тoshkentda bir guruh o‘zbek ziyolilarining tashabbusi bilan hozirgi Mirzo Ulug‘bek nomidagi O‘zbekiston Milliy universiteti ochildi va tez orada V.I.Romanovskiy bu o‘quv maskanida faoliyat ko‘rsata boshladi.
Akademik S.Х.Sirojiddinov O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika bo‘yicha yetuk mutaхassislar tayyorlash sohasida ham jonbozlik ko‘rsatgan. Uning bevosita rahbarligida 60 tadan ko‘p nomzodlik, 10 tadan ko‘p doktorlik dissertatsiyalari himoya qilingan. Bulardan tashqari ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika bo‘yicha mutaхassislarning Хalqaro Bernulli jamiyatining I-kongressi Тoshkentda (1986 y.) o‘tkazilganligi va bu anjumanda S.Х.Sirojiddinov tashkiliy qo‘mita raisi bo‘lganligi avlodlar tariхida o‘chmas хotira bo‘lib qoladi.
Ehtimollikning klassik ta’rifida elementar natijalar soni chekli deb faraz qilinadi. Amaliyotda esa ko’pincha mumkin bo’lgan natijalari soni cheksiz bo’lgan tajribalar uchraydi. Bunday hollarda klassik ta’rifni qo’llab bo’lmaydi. Biroq bunday hollarda ba’zan ehtimollikni hisoblashning boshqacha usulidan foydalanish mumkin bo’lib, bunda ham avvalgidek ba’zi hodisalarning teng imkoniyatlilik tushunchasi asosiy ahamiyatga ega bo’lib qolaveradi.
Ehtimollikning geometrik ta’rifi deb ataladigan usuldan, tasodifiy nuqtaning biror sohaning istalgan qismiga tushishi ehtimolligi bu sohaning o’lchoviga (uzunligiga,yuziga, xajmiga) proportsional bo’lib, uning shakli va joylashishiga bog’liq bo’lmagan holda foydalanish mumkin.
1) e kesma L kesmaning bo’lagini tashkil etsin. L kesmaga tavakkaliga nuqta tashlangan. Agar nuqtaning e kesmaga tushish ehtimolligi bu kesmaning uzunligiga proportsional bo’lib, uning L kesmaga nisbatan joylashishiga bog’liq emas deb faraz qilinsa, u holda nuqtaning kesmaga tushishi ehtimolligi
Ehtimollar nazariyasi fanining dastlabki tushunchalari shakllangan davr XVIXVII asrlar bo’lib, Kardano, Gyuygens, Paskal, Ferma va Yakov Bernulli kabi olimlarning nomlari bilan bog’liqdir. Ehtimollar nazariyasining paydo bo’lishiga qimor o’yinlarining matematik modellarini va nazariyasini yaratish yo’lidagi izlanishlar turtki bo’ldi. Ehtimollar nazariyasining keyingi yutuqlari Muavr, Laplas, Puasson kabi olimlarning nomlari bilan bog’liq. Ehtimollar nazariyasining yangi samarali rivoji Chebishev, Markov, Lyapunov kabi rus olimlarining ilmiy izlanishlari bilan bog’liq bo’ldi. Fanning mustaqil fan bo’lib uyg’unlashishida va keyingi rivojida Bernshteyn, Romanovskiy, Kolmogorov, Xinchin, Gnedenko, Smirnov va boshqalarning xizmatlari katta bo’ldi. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanining rivojida S. X. Sirojiddinov, T. A. Sarimsoqov kabi zabardast o’zbek olimlarining ham munosib hissalari bor. Hozirgi kunda bu ikki olimning shogirdlari tomonidan O’zbekistonda ham ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fani bo’yicha ham nazariy, ham amaliy tadqiqotlar davom ettirilmoqda. Ehtimollar nazariyasining dastlabki tushunchalari – tajriba, hodisa, elementar hodisa, ehtimollik, nisbiy chastota kabi tushunchalar bo’lib, ularni bayon qilishga o’tamiz. Tajriba hodisani ro’yobga keltiruvchi tayin shartlar to’plami S ning bajarilishidan iboratdir. Hodisani esa tajriba natijasi sifatida qaraymiz. Masalan, tajriba tangani muayyan sharoitda tashlashdan iborat bo’lsin. Tanga va uni tashlash S shartlar to’plamini tashkil etsa, tajriba natijalari tanganing “gerb” yoki “raqam” tomonlari bilan tushishi hodisalaridir. Biz kuzatgan hodisalarni uch turga ajratish mumkin: muqarrar, ro’y bermaydigan va tasodifiy hodisalar. 4 Muqarrar hodisa deb, tajriba natijasida albatta ro’y beradigan hodisaga aytiladi va biz bunday xodisani Ω (omega) harfi bilan belgilaymiz. Mumkin bo’lmagan hodisa deb, tajriba natijasida mutlaqo ro’y bermaydigan hodisaga aytiladi va bu hodisani ∅ belgisi bilan belgilaymiz. Tasodifiy hodisa deb, tajriba natijasida ro’y berishi ham, ro’y bermasligi ham mumkin bo’lgan hodisaga aytiladi. Tasodifiy hodisalarni A, V, S, … katta lotin harflari bilan belgilaymiz. Misol: O’yin kubigi bir marta tashlanadi. Bu holda Ω = { tushgan ochko 6 dan katta emas} – muqarrar hodisa; ∅ = {tushgan ochko 10 ga teng} – mumkin bo’lmagan hodisa; A = {tushgan ochko juft son} – tasodifiy hodisalardir. Albatta bu tajribaga mos bo’lgan boshqa ko’plab hodisalarni ta’riflashimiz mumkin. Elementar hodisa deb, tajribaning har qanday natijasiga aytiladi, hamda ω harfi bilan belgilanadi. Tajriba natijasida ro’y berishi mumkin bo’lgan barcha elementar hodisalar to’plami elementar hodisalar fazosi deyiladi. Elementar hodisalar fazosi Ω kabi belgilanadi. Misollar: 1. Tajriba tangani ikki marta tashlashdan iborat bo’lsin. Bunda elementar hodisalar quyidagicha bo’ladi: ω1=(gg), ω2=(gr), ω3=(rg), ω4=(rr). Elementar hodisalar fazosi Ω to’rt elementdan iborat: 2. Agar tanga uch marta tashlansa, u holda ω1=(ggg), ω2=(ggr), ω3=(grr), ω4=(rrr) ω5=(rrg), ω6=(rgg), ω7=(rgr), ω8=(grg). 3. Tajriba o’yin kubigini ikki marta tashlashdan iborat bo’lsin. Bu holda ωij=(i,j) bo’lib, i-birinchi tashlashda tushgan ochkoni bildirad

Tajriba nuqtani [a;b] kesmaga tashlashdan iborat bo’lsin. Bunda Ω=[a;b] to’plamidan iboratdir. Biz yuqorida hodisalarni uch turga bo’lgan edik. O’z navbatida tasodifiy hodisalarni ham quyidagi turlarga ajratamiz. Birgalikda bo’lmagan hodisalar deb, bitta tajribada birining ro’y berishi qolganlarining ro’y berishini yo’qqa chiqaradigan hodisalarga aytiladi. Agar tajriba natijasida bir nechta hodisalardan bittasi va faqat bittasining ro’y berishi muqarrar hodisa bo’lsa, u holda bu hodisalar yagona mumkin bo’lgan hodisalar deyiladi. Agar bir nechta hodisalardan hech birini boshqalariga nisbatan ro’y berishi mumkinroq deyishga asos bo’lmasa, ular teng imkoniyatli hodisalar deyiladi. Bizni qiziqtirayotgan hodisaning ro’y berishiga olib keladigan elementlar hodisalarni bu hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi deb ataymiz. Ehtimol tushunchasi asosiy tushunchalardan biri bo’lib, uning bir nechta ta’rifi mavjud. Umumiy qilib aytganda, ehtimol - tasodifiy hodisaning ro’y berish imkoniyatini miqdoriy jihatdan xarakterlovchi sondir. Quyida ehtimolning klassik ta’rifini keltiramiz. Ta’rif. A hodisaning ehtimoli deb, bu hodisa ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi elementar natijalar sonining tajribaning yagona mumkin bo’lgan va teng imkoniyatli elementar natijalari jami soniga nisbatiga aytiladi hamda R(A) = n m formula bilan aniqlanadi. Ehtimolning klassik ta’rifidan bevosita quyidagi xossalar kelib chiqadi. 1-xossa. Muqarrar hodisaning ehtimoli 1 ga teng. Haqiqatan ham, bu holda m=n va demak.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.

1. 
   A.K.Kikoin, I.K.Kikoin. molekulyar fizika, T. “O‘qituvchi”, 1978 y.
   
2. 
   S.E.Frish, A.V.Timoreva. “Umumiy fizika kursi”It. T. “O‘qituvchi”, 1965 y.
   
3. 
   D.V.Sivuxin. “Umumiy fizika kursi”IIt. T. “O‘qituvchi”, 1984 y.
   
4. 
   O.Axmadjonov. “Fizika kursi” (Mexanika va molekulyar fizika) T. “O‘qituvchi”, 1985y.
   
5. 
   U.B.Jurayev. Molekulyar fizika.Samarqand. 1999y.
   
6. 
   R.V.Telesnin. “Molekulyarnaya fizika” M. Izd. «Vsshaya shkola»,1973 g.