Энергетический метод определения частоты специфических колебаний. Общие сведения о виброизоляции и определении ее параметров

Тема: Энергетический метод определения частоты специфических колебаний. Общие сведения о виброизоляции и определении ее параметров

Вычисление частот не вызывало бы больших затруднений, если бы была известна форма колебаний, соответствующая той или иной частоте. Но поскольку эти формы неизвестны, то ими нужно задаваться. Отсюда возникает приближенность методов. Одним из таких методов и является энергетический метод.

В основу этого метода положен закон сохранения полной механической энергии колеблющейся системы. Согласно этому закону при колебании кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот, в то время как их сумма остается постоянной при пренебрежении рассеиванием энергии, т.е.

где W— потенциальная энергия системы; К — кинетическая энергия системы.
Потенциальной энергией упругой системы называется работа, совершаемая внутренними и внешними силами системы при переводе ее из деформированного в начальное недеформированное состояние. Потенциальная энергия является функцией перемещений, а кинетическая энергия — функцией скорости.
Рассмотрим колебания балки, изображенной на рис. 4.1. Вначале учтем только распределенную массу т. В положении статического равновесия (недеформированное состояние) прогиб балки равен нулю, поэтому W = О, а скорость при прохождении положения равновесия будет максимальной.

Рис. 4.1. Колебание однопролетной балки
Следовательно, кинетическая энергия при у = 0 будет иметь максимальное значение. В крайних же положениях прогибы будут максимальными, следовательно, и потенциальная энергия будет максимальной. Скорость же в крайних положениях, когда меняется направление движения, будет равна нулю, поэтому К = 0. Так как сумма энергий должна быть постоянной в любом положении, то приравняем сумму энергий недеформированного состояния к сумме энергий крайнего положения, т.е. W_niax +0 = 0 + К_тлх, или

Для дальнейшего, как и в гл. 3, представим полную функцию перемещений в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от линейной координаты, а другая — только от времени. Выше было показано, что выведенная из состояния равновесия система совершает простые гармонические колебания, поэтому функцию времени примем в виде синусоиды. Тогда полная функция для описания одной из главных форм колебаний примет вид
где у(рс) — функция формы колебаний, которую следует задавать; со — искомая частота свободных колебаний.
Ограничимся далее плоскими системами, состоящими из прямолинейных стержней с распределенными массами. Для таких систем при учете только изгибных деформаций потенциальная энергия определяется следующим выражением:

Здесь k — число стержней в системе. Используя дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня EI_xy"(x, t) = -М_к, заменим в выражении (4.4) М_х через функцию прогиба:

./-• и
Если сюда подставить значение функции (4.3), то получим

Следует помнить, что для ряда конструкций при вычислении энергии необходимо учитывать или поперечные силы, или продольные силы, или и то, и другое. В противном случае можно получить заниженный результат. Выражение кинетической энергии систем с распределенной массой имеет вид

где v = у(х, t) = coz/(;t)cos(cq? + v) — скорость колебаний. Подставим это значение в выражение (4.5):

Частоту свободных колебаний определим из выражения (4.2), куда подставим W при sin(co? + v) = 1 и К при cos(co? + v) = 1, что соответствует максимальным значениям:

откуда
Точность вычислений по формуле (4.6) в значительной мере зависит от выбора функции у(х). Для устранения произвола, который мог бы дать слишком далекую от истинной форму колебаний, рекомендуется в качестве функции у(х) принимать форму статического перемещения от нагрузки, пропорциональной массе. Форма колебаний задается с точностью до постоянного множителя, так как он входит и в числитель, и в знаменатель и поэтому сокращается.
Частота, определяемая но формуле (4.6), может оказаться точной только в том случае, если у(х) совпадает с истинной формой колебаний. Во всех остальных случаях она будет выше действительной частоты. Этот факт объясняется экстремальным свойством потенциальной энергии, находящейся в числителе формулы (4.6). Экстремальность заключается в том, что из всех мыслимых вариантов изогнутой оси, проходящей через опорные концы стержня, изогнутая ось, действительно имеющая место, требует минимального значения потенциальной энергии. Первое применение энергетического метода, когда истинная форма колебаний заменялась кривой, удовлетворяющей граничным условиям, связано с именем английского физика Д. У. Рэлея.
Энергетический метод применим и в тех случаях, когда кроме распределенной нагрузки имеются и сосредоточенные массы. Числитель формулы (4.6) при этом не изменяется, так как функция у(х) подбирается по-прежнему. Что касается кинетической энергии, то она увеличится за счет кинетической энергии сосредоточенных масс:

где п — число сосредоточенных масс; m_i — сосредоточенные массы; v_i = (M/_;cos(cof + v) — скорость колебаний; у_х — перемещение под массой т_х.
Максимальное значение К_с по-прежнему будет при cos(co? + v) = 1. Подставим в формулу (4.7) значение скорости и максимальное значение К_с добавим к кинетической энергии распределенной массы в формулу (4.2). Из полученного равенства найдем со²:

Формула (4.8) справедлива и при т(х) = 0, когда на системе имеются только сосредоточенные массы. В последнем случае энергию деформации удобнее подсчитывать по формуле (4.4).
Энергетический метод применяется не только при расчете отдельных стержней, но и при расчете сложных сооружений. Так, в примере 4.3 энергетическим методом определена низшая частота собственных колебаний балки жесткости большепролетного вантового моста. Главное при использовании метода — правильно вычислять значения энергий.
Рассмотрим примеры.
Пример 4.1. Определим низшую частоту консольной балки постоянного сечения с равномерно распределенной массой (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Колебание консольной балки постоянного сечения
Решение
f кх⁴
В качестве формы колебаний примем функцию у(х) = а 1-cos— , которая
*•1 )
удовлетворяет следующим граничным условиям: при х = 0 у = 0, при х = I у = а. Для решения задачи используем формулу (4.6). Возьмем производные полги подсчитаем числитель: