Eng kichik kvadratlar usuli ma’ruza rejasi

MA’RUZA

ENG KICHIK KVADRATLAR USULI

Ma’ruza rejasi:

1. 
   Eng kichik kvadratlar usuli tarixi
   
2. 
   Chiziqli hol uchun eng kichik kvadratlar usuli.
   
3. 
   Tenglamalar sistemasi va uning yechmi.
   

Eng kichik kvadratlar usuli birinchi marta 1874 yilda Gauss tomonidan ishlab chiqilgan bo’lib, ayrim adabiyotlarda bu usul Gauss usuli deb ham ataladi.

			…
			…

jadvaldagi qiymatlarga mos nuqtalarni koordinata tekisligida tasvirlaylik.

2.1.1. – chizma. Tajriba nuqtalarining koordinatalar tekisligida joylashishi.
Demak, biz ana shu tajriba o’tkazish natijasida hosil qilingan nuqtalardan juda kam farq qiladigan
y= ax+b (2.2)
funkstiyani qurishimiz kerak(chiziqli hol).
Chizmada yasalgan to’g’ri chiziqdagi va tajriba nuqtalari orasidagi masofalar ayirmasining kvadratlarining yigindisining xatolari minimum bo’lsin:

Ushbu shart bajarilishi uchun, no’malum koeffitsiyentlardan olingan xususiy hosilalar nolga teng bo’lishi kerak, ya’ni
Ushbu ikki hosilani olamiz:

Sistemada shakl almashtirishlar qilib, quyidagiga ega bo’lamiz:

Bu erda no’malumli hadlarni tenglikning bir tomoniga, ma’lum hadlarni tenglikning boshqa tomoniga o’tkazib, ega bo’lamiz:

(2.3)

Ushbu sistemani yechgandan so’ng biz koeffitsiyentlarni aniqlashtiramiz, so’ng ularni (2.2) formulaga qo’yib, nazariy qiymatlarni hisoblab, tajriba nuqtalari bilan solishtirib ko’ramiz.

Umumiy holda regression va korrelyatsion tahlil quyidagi 2 bosqichdan iborat bo`ladi:
1) bog’lanish shakli va regressiya tenglamasini aniqlash;
2) regressiya tenglamasining koeffisientlarini aniqlash, korrelyasion tahlil qilish.
Eng kichik kvadratlar usulining formulasi
_(2.1.2)
Bu yerday_i – berilgan qiymatlar
ning hisoblangan qiymatlari
(2.1.3)
Bu formulalar bo’yicha, agar regressiya tenglamasi chiziqli bo’lsa, a va v parametrlarni topish mumkin, chiziqlimas bog’liqliklarda eng kichik kvadratlar usuli qo’llanilganda hosil bo’lgan tenglamalar sistemasi chiziqlimas ko’rinishni olib, uni echish esa katta qiyinchiliklar bilan bog’liq bo’ladi. Shuning uchun bunday hollarda chiziqlimas bog’liqliklar chiziqli bo’g’liqlikka keltiriladi va shundan keyin regressiya tenglamasining shakli almashtirilgan koeffistientlari eng kichik kvadratlar usuli bilan topiladi.
Quyida chiziqlimas bo’g’liqliklarni chiziqliga keltirish uchun shakl almashtirishlar beramiz: tenglamalarning hammasiga ko’rinishda hosil bo’lsin. Bu yerda s va d o’zgarmaslar keltirilgan chiziqli bo’g’liqlikning koeffistientlari

1. 
   Chiziqli bo’g’liqlik.
   

y=ax+b; z=y; p=x; c=a; d=b
z=cp+b

2. 
   Darajali bo’g’liqlik:
   

funkstiyani logarifmlaymiz:
; ; ; c=b; d=lna eki b=c; a=e^d

3. 
   Ko’rsatkichli bo’g’liqlik
   

funkstiyani logarifmlaymiz ; ; ; c=lnb; d=lna; yoki ;

4. 
   Giperbolik funkstiya
   

; z=y; ; c=a; d=b

5. 
   Ratsional funkstiya
   

; bunga teskari funkstiyani yozamiz. ; ; p=x; c=a; d=b

6. 
   Ratsional funkstiya
   

; ; ; p=x; c=a; d=b

7. 
   Logarifmik funksiya
   

; z=y; (Paskal tilida standart lgx funksiya yo’q) c=a; d=b