Eyler knematik tenglamasi

EYLER KNEMATIK TENGLAMASI

Reja:

1. 
   Eylerknematik tenglamasi haqida
   
2. 
   Eylerknematik tenglamasi turlari
   
3. 
   Eyler knematik tenglamasini ishlash usullari
   

Eyler usuli differensial tenglamalar sonli usullar. Differensial tenglamalarni sonli yechish. Eyler differensial tenglamasini doimiy koeffitsientli tenglamaga keltirish

Eyler usuli. Yaxshilangan Eyler usuli.
Klassik Runge-Kutta usuli
Hisoblash matematikasi va differentsial tenglamalar chetlab o'tmadi! Bugun sinfda biz asoslarni o'rganamiz. taxminiy hisob-kitoblar matematik tahlilning ushbu bo'limida, shundan so'ng sizning oldingizda mavzu bo'yicha qalin, juda qalin kitoblar ochiladi. Hisoblash matematikasi uchun hali diffuz tomonni chetlab o'tmagan =)
Sarlavhada keltirilgan usullar uchun taxminiy yechimlarni topish differensial tenglamalar, masofadan boshqarish tizimlari va eng keng tarqalgan muammoning qisqacha bayoni quyidagicha:
O'ylab ko'ring birinchi tartibli differentsial tenglama buning uchun siz topmoqchisiz shaxsiy qaror dastlabki holatga mos keladi. Bu nimani anglatadi? Bu biz topishimiz kerakligini anglatadi funktsiyasi (mavjud deb taxmin qilinadi), bu berilgan farqni qanoatlantiradi. tenglama va grafigi nuqtadan o'tadi.
Ammo bu erda muammo bor - tenglamadagi o'zgaruvchilarni ajratib bo'lmaydi. Ilm-fanga ma'lum emas. Va agar bu mumkin bo'lsa, unda bu chiqadi tushunib bo'lmaydigan integral. Biroq, alohida yechim bor! Va bu erda taxminiy hisob-kitoblar usullari yordamga keladi, bu esa yuqoriga imkon beradi (va ko'pincha eng yuqori) funktsiyani ma'lum bir oraliqda aniqlik bilan "taqlid qilish".
Eyler va Runge-Kutta usullarining g'oyasi syujet parchasini almashtirishdir singan chiziq, va endi biz ushbu g'oya amalda qanday amalga oshirilayotganini bilib olamiz. Va biz nafaqat o'rganamiz, balki to'g'ridan-to'g'ri amalga oshiramiz =) Keling, tarixiy jihatdan birinchi va eng oddiy usuldan boshlaylik. …Siz murakkab differentsial tenglama bilan shug'ullanmoqchimisiz? Men ham xohlamayman :)
Vazifa
Qadamli segmentda Eyler usuli yordamida boshlang'ich shartga mos keladigan differensial tenglamaning muayyan yechimini toping. Taxminiy yechimning jadvali va grafigini tuzing.
Va hisob-kitoblarning o'zi Excelda avtomatlashtirilgan bo'lishi kerak - chunki matematikada nafaqat g'alaba, balki tez yakun ham muhim :)
2 va 3-ustunlarning natijalariga ko'ra, biz chizmadagi qo'shni nuqtalarni bog'laydigan 11 nuqta va 10 ta segmentni chizamiz. Taqqoslash uchun men aniq yechimni chizaman
Oddiy Eyler usulining muhim kamchiliklari juda katta xatodir, shu bilan birga xato to'planish tendentsiyasini ko'rish oson - biz nuqtadan qanchalik uzoqlashsak, shunchalik katta bo'ladi. asosan yaqinlik va haqiqat o'rtasidagi nomuvofiqlik kuchayadi. Bu Eyler o'z usulini asoslagan printsipi bilan izohlanadi: segmentlar parallel muvofiq tangens nuqtalardagi funksiya grafigiga. Aytgancha, bu haqiqat chizmada ham aniq ko'rinadi.
Qanday qilib yaqinlashtirishni yaxshilash mumkin? Birinchi fikr bo'limni yaxshilashdir. Segmentni, masalan, 20 qismga bo'ling. Keyin qadam quyidagicha bo'ladi: , va 20 ta havoladan iborat siniq chiziq muayyan yechimga aniqroq yaqinlashishi aniq. Xuddi shu Excel yordamida 100-1000 va hatto million (!) Oraliq segmentlarni qayta ishlash qiyin bo'lmaydi, lekin o'zimizga savol beraylik: usulni SIFATLI yaxshilash mumkinmi?
Lekin bu savolni ochishdan avval bugun qayta-qayta tilga olinayotgan ismga to‘xtalib o‘tmasdan ilojim yo‘q. O'qish Leonhard Eylerning tarjimai holi, inson o'z hayotida qanchalik aql bovar qilmaydigan darajada ko'p ish qila olishiga hayron qolasiz! Faqat K.F.ni solishtirish mumkin edi. Gauss. ...Shuning uchun biz o'rganish va yangi kashfiyotlar uchun motivatsiyani yo'qotmaslikka harakat qilamiz :))
Yaxshilangan Eyler usuli
Xuddi shu misolni ko'rib chiqing: differensial tenglama, shartni qanoatlantiradigan ma'lum bir yechim, interval va uning 10 qismga bo'linishi
(har bir qismning uzunligi).
Yaxshilashning maqsadi poliliniyaning "qizil kvadratlarini" aniq yechimning mos keladigan "yashil nuqtalari" ga yaqinlashtirishdir. .
Va modifikatsiyaning g'oyasi quyidagicha: segmentlar parallel bo'lishi kerak tangens, ular funksiya grafigiga chiziladi chap tomonda emas, lekin bo'linish oraliqlarining "o'rtasida". Bu, albatta, yaqinlashish sifatini oshiradi.
Yechim algoritmi xuddi shu tarzda ishlaydi, ammo formula, siz taxmin qilganingizdek, yanada murakkablashadi:
, qayerda 
Biz ma'lum bir yechimdan yana raqsga tushamiz va darhol "tashqi" funktsiyaning 1-argumentini topamiz:
Endi biz unchalik qo'rqinchli bo'lmagan "yirtqich hayvon" ni topamiz - e'tibor bering, bu SAME funktsiya , boshqa nuqtada hisoblangan:
Natijani bo'linish bosqichiga ko'paytiramiz:
Shunday qilib:
Biz uning 2-argumentini hisoblaymiz va topamiz:
Keling, qiymatni hisoblaylik:

va uning har bir qadamdagi mahsuloti:

Excelda hisob-kitoblarni amalga oshirish maqsadga muvofiqdir (formulalarni xuddi shu tarzda takrorlagandan so'ng - yuqoridagi videoga qarang) va natijalarni jadvalda jamlang:
Raqamlar 4-5-6 kasrgacha yaxlitlanishi kerak. Ko'pincha muayyan vazifa sharoitida mavjud to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatma Yaxlitlash qanchalik aniq bo'lishi kerak? Men kuchli "dumli" qiymatlarni 6 belgigacha qisqartirdim.
2 va 3-ustunlar natijalariga ko'ra (chapda) quraylik singan chiziq, va taqqoslash uchun men yana aniq yechimning grafigini beraman :
Natija sezilarli darajada yaxshilandi! - qizil kvadratlar aniq yechimning yashil nuqtalari orqasida amalda "yashirin".
Biroq, mukammallikka hech qanday cheklovlar yo'q. Bir bosh yaxshi, lekin ikkitasi yaxshiroq. Va yana nemis:
Klassik 4-tartibli Runge-Kutta usuli
Uning maqsadi “qizil kvadratlar”ni “yashil nuqtalar”ga yanada yaqinlashtirishga erishishdir. Qanchalik yaqin, deb so'rayapsizmi? Ko'pchilikda, xususan, jismoniy tadqiqotlar, 10-chi, hatto 50-chi aniq kasr nuqtasi. Yo'q, bunday aniqlikka oddiy Eyler usuli bilan erishish mumkin, ammo bo'shliqni QANCHA QISMGA bo'lish kerak bo'ladi?! ... Garchi zamonaviy hisoblash quvvati bilan bu muammo emas - Xitoy kosmik kemasining minglab stokerlari kafolatlanadi!
Va, sarlavha to'g'ri ko'rsatganidek, Runge-Kutta usulidan foydalanganda har qadamda funksiyaning qiymatini hisoblashimiz kerak 4 marta (oldingi xatboshidagi ikki tomonlama hisob-kitobdan farqli o'laroq). Ammo, agar siz xitoyliklarni yollagan bo'lsangiz, bu vazifa juda qiyin. Har bir keyingi "yunoncha" qiymat avvalgisidan olinadi - biz formulalarni ushlaymiz:
, qayerda , bu erda:
Chizma hech qanday ma'noga ega emas, chunki u endi ko'rsatkich emas. Keling, analitik taqqoslash qilaylik aniqlik uchta usul, chunki aniq yechim ma'lum bo'lganda , keyin solishtirmaslik gunohdir. Tugun nuqtalaridagi funktsiya qiymatlari xuddi shu Excelda hisoblab chiqiladi - formulani to'ldirib, qolgan qismiga takrorlaganimizdan keyin.
Quyidagi jadvalda men qiymatlarni (uchta usulning har biri uchun) va mos keladiganlarni umumlashtiraman mutlaq xatolar taxminiy hisob-kitoblar:

Ko'rib turganingizdek, Runge-Kutta usuli takomillashtirilgan Eyler usulidagi 2 ta to'g'ri kasrga nisbatan 4-5 ta to'g'ri kasrni beradi! Va bu tasodif emas:

– “Oddiy” Eyler usulining xatosi oshmaydi qadam bo'limlar. Va aslida - xatolarning eng chap ustuniga qarang - verguldan keyin faqat bitta nol bor, bu bizga 0,1 aniqligi haqida gapiradi.
– Kengaytirilgan Eyler usuli aniqlikni kafolatlaydi: (o'rtadagi xato ustunidagi kasrdan keyin 2 nolga qarang).
- Nihoyat, klassik Runge-Kutta usuli aniqlikni ta'minlaydi .
Belgilangan xatolarni baholash nazariy jihatdan qat'iy asoslanadi.
Qanday qilib men HALA yaqinlashuvning aniqligini oshirishim mumkin? Javob aniq falsafiy: sifat va / yoki miqdor =) Xususan, Runge-Kutta usulining boshqa, aniqroq modifikatsiyalari mavjud. Miqdoriy usul, yuqorida aytib o'tilganidek, qadamni kamaytirishdir, ya'ni. segmentni bo'lishda katta miqdor oraliq kesmalar. Va bu raqamning ortishi bilan singan chiziq borgan sari aniq yechim grafigiga oʻxshab qoladi Va chegara doirasida- mos keladi.
Matematikada bu xususiyat deyiladi egri tekislash. Aytmoqchi (kichik oftopik), hamma narsadan uzoqda "to'g'rilash" mumkin - men eng qiziqarlisini o'qishni maslahat beraman, bunda "o'rganish maydoni" ning pasayishi o'rganish ob'ektini soddalashtirishga olib kelmaydi.
Shunday bo'ldiki, men faqat bitta differentsial tenglamani tahlil qildim va shuning uchun bir nechta qo'shimcha mulohazalar. Amalda yana nimani yodda tutish kerak? Muammo holatida sizga boshqa segment va boshqa bo'lim taklif qilinishi mumkin va ba'zida quyidagi so'zlar paydo bo'ladi: "usul bo'yicha ... ... oraliqda, uni 5 qismga bo'ling". Bunday holda, siz bo'lim bosqichini topishingiz kerak , va keyin odatiy yechim sxemasiga amal qiling. Aytgancha, boshlang'ich shart quyidagi shaklda bo'lishi kerak: , ya'ni "x nol", qoida tariqasida, segmentning chap uchiga to'g'ri keladi. Majoziy ma'noda, singan chiziq har doim nuqtani "tark qiladi".
Ko'rib chiqilayotgan usullarning shubhasiz afzalligi shundaki, ular juda murakkab o'ng tomoni bo'lgan tenglamalarga qo'llanilishi mumkin. Va mutlaq kamchilik - bu shaklda har bir diffurni ifodalash mumkin emas.
Ammo bu hayotda deyarli hamma narsani tuzatish mumkin! - Axir, biz mavzuning kichik bir qismini ko'rib chiqdik va semiz, juda semiz kitoblar haqidagi iboram umuman hazil emas edi. DE va ​​ularning tizimlariga yechim topish uchun juda ko'p taxminiy usullar mavjud bo'lib, ularda boshqa narsalar qatorida tubdan farqli yondashuvlar qo'llaniladi. Shunday qilib, masalan, ma'lum bir yechim bo'lishi mumkin kuch qonuni bilan taxminan. Biroq, bu boshqa bo'lim uchun maqola.
Umid qilamanki, men zerikarli hisoblash matematikasini diversifikatsiya qilishga muvaffaq bo'ldim va siz qiziqdingiz!
E'tibor uchun rahmat!
Ma'lumki birinchi tartibli oddiy differensial tenglama ko‘rinishga ega bo‘ladi: .Bu tenglamaning yechimi differensiallanuvchi funksiya bo‘lib, u tenglamaga almashtirilganda uni o‘ziga xoslikka aylantiradi. Differensial tenglamani yechish grafigi (1.-rasm) deyiladi integral egri chiziq.

Har bir nuqtadagi hosilani shu nuqtadan o'tuvchi eritma grafigiga teginish qiyaligining tangensi sifatida geometrik talqin qilish mumkin, ya'ni:.

Asl tenglama yechimlarning butun oilasini belgilaydi. Bitta yechimni tanlash uchun sozlang Dastlabki holat: , argumentning berilgan qiymati qayerda, va funktsiyaning boshlang'ich qiymati.
Cauchy muammosi asl tenglama va dastlabki shartni qanoatlantiradigan funksiyani topishdan iborat. Odatda, Koshi muammosining yechimi boshlang'ich qiymatning o'ng tomonida joylashgan segmentda aniqlanadi, ya'ni.
Oddiy birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun ham har doim ham analitik yechimni olish mumkin emas. Shuning uchun echishning son usullari katta ahamiyatga ega. Raqamli usullar ba'zi tanlangan argument qiymatlari to'plamida kerakli echimning taxminiy qiymatlarini aniqlashga imkon beradi. Ballar chaqiriladi panjara tugunlari, va qiymat panjara qadamidir. tez-tez hisobga olinadi forma panjaralar, buning uchun qadam doimiydir. Bunday holda, yechim har bir panjara tugunlari tarmoq tugunlaridagi funktsiyaning taxminiy qiymatlariga mos keladigan jadval shaklida olinadi.
Raqamli usullar umumiy shaklda yechim topishga imkon bermaydi, lekin ular differensial tenglamalarning keng sinfiga nisbatan qo'llaniladi.
Koshi masalasini yechishning sonli usullarining yaqinlashuvi. Koshi muammosining yechimi bo'lsin. Qo'ng'iroq qilaylik xato raqamli usul, tarmoq tugunlarida berilgan funktsiya. Mutlaq xato sifatida biz qiymatni olamiz.
Koshi masalasini echishning raqamli usuli deyiladi yaqinlashish, agar uning uchun. Agar xato uchun taxmin qilingan bo'lsa, usul aniqlik darajasiga ega deyiladi – doimiy, .
Eyler usuli
Koshi masalasini yechishning eng oddiy usuli Eyler usulidir. Keling, Koshi muammosini hal qilaylik
segmentida. Keling, qadamlarni tanlaymiz va tugunlar tizimi bilan panjara quramiz. Eyler usuli tarmoq tugunlarida funksiyaning taxminiy qiymatlarini hisoblab chiqadi:. Hosilni segmentlar bo'yicha cheklangan farqlar bilan almashtirib, biz taxminan tenglikni qo'lga kiritamiz:, uni quyidagicha qayta yozish mumkin:,.
Bu formulalar va dastlabki shart Eyler usulining hisoblash formulalari.
Eyler usulining bir qadamining geometrik talqini shundan iboratki, segmentdagi yechim shu nuqtadan o‘tuvchi integral egri chiziqqa nuqtada chizilgan tangens bilan almashtiriladi. Bosqichlarni bajargandan so'ng, noma'lum kümülatif egri chiziq singan chiziq bilan almashtiriladi (Eylerning siniq chizig'i).
Xato taxmini. Eyler usulining xatosini baholash uchun quyidagi teoremadan foydalanamiz.
Teorema. Funksiya quyidagi shartlarga javob bersin:.
Keyin Eyler usuli uchun quyidagi xato bahosi amal qiladi: , bu erda segment uzunligi. Eyler usuli birinchi darajali aniqlikka ega ekanligini ko'ramiz.
Eyler usulining xatosini baholash ko'pincha qiyin, chunki u funktsiyaning hosilalarini hisoblashni talab qiladi. Xatoning taxminiy bahosi tomonidan berilgan Runge qoidasi (ikki marta hisoblash qoidasi), aniqlik darajasi --chi darajaga ega bo'lgan turli xil bir bosqichli usullar uchun qo'llaniladi. Runge qoidasi quyidagicha. Qadam bilan olingan yaqinlashishlar va qadam bilan olingan yaqinlashishlar bo'lsin. Keyin taxminiy tenglik to'g'ri bo'ladi:
.
Shunday qilib, qadam bilan bir bosqichli usulning xatosini baholash uchun oxirgi formulada o'ngdagi qiymatni hisoblash uchun qadamlar bilan bir xil yechim topish kerak, ya'ni Eyler usuli birinchi aniqlik tartibiga ega bo'lgani uchun, ya'ni, taxminiy tenglik ko'rinishga ega:.
Runge qoidasidan foydalanib, berilgan aniqlik bilan Koshi muammosining yechimini taxminiy hisoblash tartibini qurish mumkin. . Buning uchun ma'lum bir qadam qiymati bilan hisob-kitoblarni boshlab, har safar taxminiy qiymatni hisoblab, bu qiymatni ikki baravar kamaytirish kerak, . Shart bajarilganda hisob-kitoblar to'xtaydi: . Eyler usuli uchun bu shart quyidagi shaklni oladi. Taxminiy yechim qiymatlar bo'ladi .
1-misol Quyidagi Koshi muammosining segmentida yechim topamiz:,. Keling, bir qadam tashlaylik. Keyin.
Eyler usulining hisoblash formulasi quyidagi shaklga ega:
Jadvaldan xato ekanligini ko'rish mumkin
Eyler usuli - bu kerakli funktsiyaning taxminiy qiymatlari jadvali ko'rinishida yechim beradigan raqamli usullarni anglatadi. y(x). Bu nisbatan qo'pol va asosan taxminiy hisob-kitoblar uchun ishlatiladi. Biroq, Eyler usuli asosidagi g'oyalar bir qator boshqa usullar uchun boshlang'ich nuqtadir.
Birinchi tartibli differentsial tenglamani ko'rib chiqing
dastlabki holat bilan
x= x 0 , y(x 0 )= y 0 (3.2)
[ segmentidagi tenglamaning yechimini topish talab qilinadi. lekin, b].
Keling, segmentni ajratamiz [ a, b] n ta teng qismga ajrating va ketma-ketlikni oling X 0 , X 1 , X 2 ,…, X n, qayerda x i = x 0 + ih (i=0,1,…, n), lekin h=(b- a)/ n- integratsiya bosqichi.

Eyler usulida taxminiy qiymatlar y (x i +1 )  y i +1 formulalar bo'yicha ketma-ket hisoblab chiqiladi:

y i+1 = da i +hf(x i ,y i ) (i=0,1,2…) (3.3)
Bunday holda, kerakli integral egri y=y(x) nuqtadan o'tish M 0 (X 0 , y 0 ), siniq chiziq bilan almashtiriladi M 0 M 1 M 2 … cho'qqilari bilan M i (x i , y i ) (i=0,1,2,…); har bir havola M i M i +1 deb nomlangan bu singan chiziq Eyler singan chizig'i, nuqtadan o'tuvchi (1) tenglamaning integral egri chizig'ining yo'nalishiga to'g'ri keladigan yo'nalishga ega. M i(2-rasmga qarang):

2-rasm. Eyler siniq chizig’ining ko’rinishi

O'zgartirilgan Eyler usuli To'g'riroq.Dastavval kerakli funksiyaning yordamchi qiymatlari hisoblanadi da k+1/2 nuqtalarda X k+1/2, keyin (3.1) tenglamaning o'ng tomonining qiymati o'rta nuqtada topiladi y k+1/2 =f( xk+1/2 ,y k+1/2 ) va aniqlang da k+ :

Keyin:
(3.4)

Formulalar (3.4) Eyler usulining takrorlanuvchi formulalari.
Nuqtadagi xatoni taxmin qilish uchun X uchun hisob-kitoblarni bajaring da uchun qadam ba qadam h, keyin qadam bilan 2 h va bu qiymatlar farqining 1/3 qismini oling:
,
qayerda y(x) differensial tenglamaning aniq yechimidir.
Eyler usuli osonlik bilan differensial tenglamalar tizimiga va yuqori tartibli differensial tenglamalarga tatbiq etiladi. Ikkinchisini birinchi navbatda birinchi tartibli differentsial tenglamalar tizimiga keltirish kerak.
3.2. Runge-Kutta usuli
Runge-Kutta usullari quyidagi xususiyatlarga ega:
Bu usullar bir bosqichli: topish da k+1 oldingi nuqta haqida ma'lumot kerak (x uchun  y uchun ) 
Usullar buyurtma shartlariga qadar Teylor seriyasiga mos keladi h p daraja qayerda R uchun farq qiladi turli usullar va seriya raqami yoki deb ataladi usul tartibi
Ular hosilalarini talab qilmaydi f(x y) lekin funksiyaning o'zini hisoblashni talab qiladi
Runge-Kutta algoritmi uchinchi buyurtma:
(3.5)

Runge-Kutta algoritmi to'rtinchi buyurtma:

(3.6)

Uchinchi va to'rtinchi tartibli algoritmlar har bir bosqichda mos ravishda uchta va to'rtta funktsiyani hisoblashni talab qiladi, lekin juda aniq.

3.3. Adams usuli
Adams usuliga ishora qiladi ko'p bosqichli DE yechim sxemalari, joriy tugundagi yechim, bir bosqichli usullarda bo'lgani kabi, bitta oldingi yoki keyingi tarmoq tugunidagi ma'lumotlarga bog'liq emas, balki ma'lumotlarga bog'liqligi bilan tavsiflanadi. bir nechta qo'shni tugunlar.
Adams usullarining g'oyasi aniqlikni oshirish uchun oldingi bosqichlarda allaqachon hisoblangan qiymatlardan foydalanishdir.
Y k -1 , Y k -2 , Y k -3 …
Agar qiymatlar ishlatilsa k oldingi tugunlar, keyin biz tenglamani integratsiyalashning k-bosqich usuli haqida gapiramiz. Ko'p bosqichli usullarni yaratish usullaridan biri quyidagicha. Oldingi k tugunlarda hisoblangan funktsiya qiymatlariga asoslanib, darajali interpolyatsiya polinomi (k-1) -L k -1 (x) , differensial tenglamani quyidagi ifoda bilan integrallashda foydalaniladi:

Bunday holda, integral kvadratura formulasi orqali ifodalanadi:

qayerda λ l kvadratura koeffitsientlaridir.
Shunday qilib olingan formulalar oilasi deyiladi aniqk -Adams qadam diagrammasi. Ko'rinib turibdiki, at k=1 alohida holat sifatida Eyler formulasi olinadi.
Masalan, 4 ta buyurtma formulasi uchun bizda:
(3.7)
y ( p ) k +1 - oldingi nuqtalardagi qiymatlar yordamida hisoblangan "prognoz", f ( p ) k +1 prognozni olish nuqtasida hisoblangan funktsiyaning taxminiy qiymati, y ( c ) k +1 - prognoz qiymatini "tuzatish"; y k +1 Adamsga ko'ra kerakli qiymatdir.
DEni yechishning bu usulining afzalligi shundaki, har bir nuqtada funksiyaning faqat bitta qiymati hisoblanadi F(x, y). Kamchiliklarga ko'p bosqichli usulni bitta boshlang'ich nuqtadan boshlashning mumkin emasligi kiradi, chunki hisob-kitoblar uchun k-qadam formulasi funksiya qiymatining qiymatini talab qiladi k tugunlar. Shuning uchun kerak (k-1) birinchi tugunlarda yechim x 1 , x 2 , …, x k-1 bir bosqichli usul yordamida, masalan, 4-tartibli Runge-Kutta usuli yordamida olinadi.
Yana bir muammo - yechim jarayonida qadamni o'zgartirishning mumkin emasligi, bu bir bosqichli usullarda osonlik bilan amalga oshiriladi.
4. C++ tilida dasturning qisqacha tavsifi va uning bajarilishi natijalarini taqdim etish
differensial tizim tenglamalar shakl sistemasi deyiladi
bu erda x - mustaqil argument,
y i - bog'liq funktsiya, ,
y i | x=x0 =y i0 - dastlabki shartlar.
Funksiyalar y i (x), almashtirilganda tenglamalar tizimi o'ziga xoslikka aylanadi, deyiladi differensial tenglamalar sistemasini yechish.
Differensial tenglamalar sistemalarini yechishning sonli usullari.
Ikkinchi tartibli differensial tenglama shakldagi tenglama deyiladi

Tenglama almashtirilganda bir xillikka aylanadigan y(x) funksiya deyiladi differensial tenglamaning yechimi.

Berilgan dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan (2) tenglamaning ma'lum bir yechimi sonli izlanadi, ya'ni Koshi masalasi yechiladi.
Raqamli yechim uchun ikkinchi tartibli differensial tenglama ikkita birinchi tartibli differensial tenglamalar tizimiga o'zgartiriladi va 2 ga qisqartiriladi. mashina ko'rinishi (3). Buning uchun yangi noma'lum funktsiya kiritiladi, chap tomonda tizimning har bir tenglamasida faqat noma'lum funktsiyalarning birinchi hosilalari qoldiriladi va hosilalarning o'ng qismlarida bo'lmasligi kerak.