Eyler modifikatsiyasi va Eyler-Koshi metodlari Reja: I. Kirish 2 II. Asosiy qisim

A sl tenglamalar mavjud edi ajratilgan har biri oddiy to'lqinni tavsiflovchi N + 2 xarakterli tenglamalarga, o'z qiymatlari to'lqin tezligiga ega. O'zgaruvchilar wmen deyiladi xarakterli o'zgaruvchilar va konservativ o'zgaruvchilarning bir qismidir. Xarakterli o'zgaruvchilar nuqtai nazaridan dastlabki qiymat muammosining echimi nihoyat juda oddiy. Bitta fazoviy o'lchovda:

Keyin asl konservativ o'zgaruvchilar nuqtai nazaridan echim orqaga qaytish yo'li bilan olinadi:

bu hisoblash xususiy vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida tushuntirilishi mumkin:

Endilikda xarakterli o'zgaruvchilar yakobiy xususiy vektorlarining chiziqli birikmasida og'irlik vazifasini o'tashi aniq bo'lib qoldi. Yechimni to'lqinlarning superpozitsiyasi sifatida ko'rish mumkin, ularning har biri shakli o'zgarmasdan mustaqil ravishda e'lon qilinadi. Har biri men- uchinchi to'lqin shaklga ega w_menp_men va tarqalish tezligi λ_men. Quyida biz ushbu echim protsedurasining juda oddiy namunasini ko'rsatamiz.

Ideal suyuqliklarning termodinamikasi

Yilda termodinamika mustaqil o'zgaruvchilar o'ziga xos hajm, va o'ziga xos entropiya, esa o'ziga xos energiya a davlatning funktsiyasi bu ikki o'zgaruvchidan.

Termodinamik tizimlar uchun amal qiladigan shaklni chiqarib tashlash
Birinchi tenglamani hisobga olgan holda o'zgaruvchini zichlikdan ma'lum hajmgacha o'zgartirish kerak. Ta'rif bo'yicha:

Shunday qilib, quyidagi identifikatorlar mavjud:

Keyin ushbu ifodalarni massa saqlanish tenglamasiga almashtirish orqali:


Va ko'paytirish yo'li bilan:

Ushbu tenglama umumiy davomiy tenglamalarga tegishli yagona narsa, shuning uchun faqat ushbu tenglama bir xil shaklga ega, masalan, Navier-Stoks tenglamalarida ham.

Boshqa tomondan, termodinamikadagi bosim solishtirma hajmga nisbatan o'ziga xos ichki energiyaning qisman hosilasiga qarama-qarshi:

chunki termodinamikadagi ichki energiya yuqorida aytib o'tilgan ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lgani uchun, momentum tenglamasiga kiritilgan bosim gradyani quyidagicha tushuntirilishi kerak:

Koshi vazifasi chekka vazifalardan farq qiladi, chunki kerakli echim aniqlanishi kerak bo'lgan maydon bu erda oldindan ko'rsatilmagan. Biroq, Koshi muammosini chekka vazifalardan biri sifatida ko'rish mumkin.

Koshi vazifasi bilan bog'liq asosiy savollar:
Koshi muammosining echimi (hech bo'lmaganda mahalliy) bormi?
Agar yechim mavjud bo'lsa, unda uning mavjudligi sohasi qanday?
Yagona yechimmi?
Berilgan ishning maqsadi Eyler va Eyler-Koshi usullari yordamida differentsial tenglamani echish usullarini o'zlashtirishdir.
Kurs loyihasi uch qismga bo'lingan. Nazariy qism birinchi qismda tasvirlangan. Amaliy (Eyler va Eyler-Koshi usullarining vazifalarini qo'lda hisoblash) qismi ikkinchi qismda amalga oshiriladi. Uchinchisi ikkala usulni echish algoritmlarini, usullarni dasturiy amalga oshirishni, shuningdek berilgan muammo uchun test muammolarini taqdim etadi.
Agar differentsial tenglamaning barcha echimlarini topish muammosini algebraik operatsiyalarning cheklangan soniga, ma'lum funktsiyalarni birlashtirish va farqlash operatsiyalariga qisqartirish mumkin bo'lsa, unda tenglama kvadratlarda birlashtirilgan deyiladi. Ilovalarda kvadratlarda birlashtirilgan tenglamalar juda kam uchraydi. Shuning uchun differentsial tenglamalarni o'rganish uchun ularni echishning taxminiy, sonli usullari keng qo'llaniladi.
Koshi muammosining mavjudligi va o'ziga xosligi teoremasi. Funktsiya aniqlangan va nuqtalar to'plamida uzluksiz bo'lsin . Aytaylik, u Lipschitz shartini qondiradi: hamma uchun va o'zboshimchalik bilan,, bu erda L - ba'zi bir doimiy (Lipschitz doimiysi). Keyin har bir boshlang'ich qiymat uchun segmentda aniqlangan Koshi muammosining y(x) yagona echimi mavjud .
Geometrik jihatdan, differentsial tenglamalarni integratsiyalash muammosi har bir nuqtada tangensning berilgan yo'nalishiga ega bo'lgan integral egri chiziqlarni topishdir. Dastlabki shartning vazifasi bilan biz echimlar oilasidan sobit nuqtadan o'tadigan bitta egri chiziqni ajratamiz

Koshi muammosining raqamli echimi nuqtalarda taxminiy qiymatlar jadvalini tuzishdan iborat . Nuqtalar panjara tugunlari, kattaligi esa panjara qadamlari deb ataladi. Koshi diskret muammosini qurish differentsial tenglamani uning diskret analogi bilan almashtirishning u yoki bu usuliga asoslangan. Eng oddiy usul tenglamaning chap tomonini o'ng farq hosilasi bilan almashtirishga asoslangan:. Nisbatan tenglamani yechib, Eyler usulining hisoblash formulasini olamiz:,.

Geometrik jihatdan, bular formula segmentda integral egri chiziq egri chiziqqa tangens segmenti bilan almashtirilishini anglatadi.

Agar yechimni keyingi nuqtada hisoblash aniq formulaga muvofiq amalga oshirilsa, raqamli usul aniq deyiladi. Agar keyingi nuqtada echimni hisoblash faqat bitta oldingi qiymat yordamida amalga oshirilsa, usul bir bosqichli deb nomlanadi . Eyler usuli aniq bir bosqichli usul.