Eyler teoremasi va uning bir isboti D. Musurmonov

Eyler teoremasi va uning bir isboti 

D. Musurmonov

 

Teorema  (Leonard  Eyler  1747-yil):  Har  qanday  uchburchakka  tashqi  va  ichki 

chizilgan aylanalar markazi orasidagi masofa l uchun quyidagi tenglik o`rinli: 

l

2

=

R(R − 2r) 

Isbot:  Berilgan  chizmaga  ko`ra,  ΔABC  ga  tashqi  chizilgan  aylana  markazini  O, 

ichki  chizilgan  aylana  markazini  O

1

  deb  belgilaymiz.  U  holda  OO

1

=l,  OF=R, 

O

1

K=r bo`ladi. 

AC  yoy  BF  bissektrisa  yordamida  𝐹 

nuqtada teng ikkiga bo`linadi: 

AF

̆ =FC

̆  

AB  yoy  CL  bissektrisa  yordamida  L 

nuqtada teng ikkiga bo`linadi: 

AL

̆ =LB

̆  

Bundan  esa,  LAF

̆=LB

̆ +FC

̆   kelib 

chiqadi.  O

1

CF  burchak  esa  LB  va  FC 

yoylar  yig`indisining  yarmi  bilan 

o`lchanadi  va  bundan 

∠

CO

1

F=

∠

O

1

CF 

ekani  ma’lum  bo`ladi.  Demak,  O

1

FC 

uchburchakning  O

1

F  va  CF  tomonlari 

o`zaro teng ekan.  

Endi, qanday qilib O

1

F

2

=2R

⋅

FM tenglik o`rinli ekanini tushunishga harakat 

qilamiz. Birinchidan, O

1

F=CF. ΔCMF ning to`g`ri burchakli uchburchakligidan  

MC

2

=CF

2

−

FM

2

 (*) 

Ikkinchidan,  AM=MC  hamda  M  nuqtada  kesishuvchi  AC  va  FH  vatarlar 

xossasidan AM

⋅

MC=FM

⋅

MH. Bundan  

MC

2

=

FM

⋅

MH (**) 

(*) va (**) tengliklarni birlashtirib, quyidagi ishlarni bajaramiz: 

CF

2

−

FM

2

=FM

⋅

MH 

CF

2

=

FM

⋅(

FM+MH

)

 

CF

2

=FM

⋅

FH 

CF

2

=FM

⋅

2R 

O

1

F

2

=2R

⋅

FM. 

OO

1

F uchburchakka ko`ra quyidagiga egamiz: 

O

1

F

2

=

OO

1

2

+OF

2

−

2OF

⋅

ON 

2R

⋅

FM = l

2

+R

2

−

2R

⋅

ON 

2R

⋅

FM = l

2

+R

2

−

2R(OM − r) 

l

2

+R

2

=

2R(FM+OM − r) 

l

2

+R

2

=

2R(R − r) 

l

2

=

R

2

−

2Rr. 

Teorema isbotlandi.