Eyler usuli Eylerning ketma-ket yaqinlashish usuli

_{12-Ma’ruza: Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechish}
Reja:

1. 
   Eyler usuli
   
2. 
   Eylerning ketma-ket yaqinlashish usuli
   
3. 
   Eylerning takomillashgan usuli
   

Aytaylik bizga birinchi tartibli
y = f (x,y) (9.1)
differentsial tenglama berilgan bo‘lib, [x,b] kesmada
x=x₀, y=y₀ (9.2)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimning qiymatlarini taqribiy hisoblash masalasi qo‘yilgan bo‘lsin. Bu masala Koshi masalasi deyiladi. Bu masalani taqribiy yechishning bir nyecha usullari majud bo‘lib shulardan biri Shvetsariyalik, rus olimi, akademik Leonard Eyler (1707-1783) usulini ko‘ramiz.


9.1.1. Eyler usuli

Berilgan [x₀,b] kesmani n ta teng bo‘lakka bo‘lib bo‘linish nuqtalari orasidagi qadam

h=(b-x₀)/n (9.3)
bo‘lganda, bu nuqtalar koordinatalari
x_i=x_i-1+ h, i=1, 2, ….n (9.4)


bo‘ladi. Boshlang’ich shartdagi x₀ va y₀ lardan foydalanib tenglama yechimining qiymatlarini taqriban quyidagicha hisoblaymiz.


y₁=y₀+hf (x₀,y₀)


y₂=y₁+hf (x₁,y₁)


y₃=y₂+hf (x₂,y₂) (9.5)
- - - - - - - - - -
y_n=y_n-1+hf (x _n-1,y _n-1)
natijada izlanayotgan yechimni qanoatlantiruvchi
(x₀;y₀), (x₁;y₁), (x₂;y₂), ……, (x_n;y_n)
nuqtalarni aniqlaymiz. Bu nuqtalarni tutashtiruvchi sinik chiziq Eyler chizig’i deb ataladi va u tenglama yechimining taqribiy grafigini ifodalaydi.