Eylerning dinamik tenglamalari

atrofida harkatlanuvchi jismning kinetik momenti. O vektorni aniqlash uchun, avvalo uning uchta Oxyz koordinata o’qlaridagi proektsiyalarini aniqlash kerak. Kerakli formulalarni soddaroq holda olish uchun (341 shakl), jism bilan mahkamlangan Oxyz koordinata o’qlarini O nuqtaning bosh inertsiya o’qlari bo’ylab yo’naltirish zarur (§104 ga q.). Hisoblashni Kx dan boshlaymiz. §28 dagi (47) formulaga o’xshatib, m[(mkk)= mk(ykvkz-zkvky). Lekin Eyler formulasiga [62p dagi(77) formula] asosan; vky=zxk-xzk, vkz=xyk-yxk. Bu yerdagi x, y, z -lar, jismning oniy burchakli tezligini Oxyz o’qlardagi proektsiyalari; xk, yk, zk lar jism nuqtalarining koordinatalari. Ushbu vky, vkz qiymatlarni oldingi tenglamaga keltirib qo’yamiz; Oxyz o’qlari bosh markaziy o’qlar bo’lganligi sababli, markazdan qochma inertsiya momentlari nolga teng bo’ladi, shu sababli bu tenglamada paydo bo’ladigan koordinatalarning ko’paytmalarini tashlab yuboramiz, ya’ni mkxkyk=mkxkzk=0 bo’ladi. Natijada umumiy ko’paytma bo’lgan x qavsdan chiqarib, quyidagini yozamiz; Kx=m[(mkk)=[mk(+)]x, bu erdagi kvadrat qavslarning ichidagi qiymat, §102 dagi (3) formulaga asosan Ox o’qiga nisbatan inertsiya momentining ifodasi. Shu kabi hisoblarni olib borib Ky va Kz larni ham aniqlaymiz, natijada: Kx=Jxx, Ky=Jyy, Kz=Jzz (78) formulalar O vektorning O nuqta uchun bosh inertsiya o’qlaridagi proektsiyalarining ifodalaridan iborat.

• Eylerning dinamik tenglamalari deb ataladi. Agar jismning holatini , ,  burchaklar orqali ifodalasak (§60), u holda dinamikaning asosiy masalasi shundan iborat bo’ladiki, Mx, My, Mz lar ma’lum bo’lsa, jismning harakat qonuni aniqlanadi, ya’ni , ,  larning vaqtga bog’liq funktsiyasi aniqlanadi. Ushbu masalani echish uchun, (82) tenglamalarga, x, y, z lar bilan , ,  larni bog’lovchi Eylerning kinematik tenglamalarini (§61) qo’shish lozim bo’ladi
• Eylerning dinamik va kinematik tenglamalari oltita 1 darajali chiziqsiz differentsial tenglamalardan iborat bo’ladi; ularni integrallash matematikaning murakkab masalalaridan hisoblanadi. §131 da giroskopik hodisalarning taqribiy nazariyasi bayon etilgan edi. Giroskopning aniq nazariyasi (82) tenglamalar sistemasi orqali aniqlanadi. Konkret masalalarni echishda, ushbu differentsial tenglamalarni integrallash uchun, matematikaning u yoki bu taqribiy usullaridan foydalaniladi.
• O vektor inertsial sistemada o’zgarmas yo’nalishga ega bo’ladi. Bundan foydalanib, keyingi hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida qo’zg’almas Oz1 o’qni O vektor bo’yicha yo’naltiramiz (342 shakl); qolgan ikkita o’qlarni ixtiyoriy ravishda yo’naltirish mumkin, ular chizmada ko’rsatilmagan. Giroskopga mahkamlangan qo’zg’almas o’qlarni yo’naltirishda qo’zg’aluvchan Oz o’qni giroskopning simmetriya o’qi bo’ylab yo’naltiramiz. U holda Jx=Jy bo’ladi va (82) tenglamalarning oxirgisi, ushbu misolda Mz=0 bo’lganligi uchun dz/dth0 bo’ladi, bundan: z=sonst

• Bunga asosan, (78) formuladan Kz=Jzz=const kelib chiqadi. Lekin, 342 shakldan ko’rinib turganidek shu vaqtda Kz=KOcos bo’ladi, =z1Oz -nutatsiya burchagi (§60 dagi 172 shakl). (a) tenglamaga ko’ra KO= const bo’lgani uchun, cos=const bo’ladi, yoki cos=const=0 (v) bu yerdagi 0 -nutatsiya burchagining boshlang’ich holati.
• Endi (82) tenglamaning birinchisining ikkala tomonini x ga, ikkinchisini u ga, ko’paytirib yuborib ularni hadma-had qo’shsak va ushbu misolda Mx=Mu=0 va Jx=Jy bo’lganligi uchun, Jx(x+y)=0, buni integrallab va ikkala tomonini o’zgarmas qiymatga bo’lib yuborsak, +=sonst. x va u larni, Eylerning kinematik tenglamalaridagi qiymatlari bilan almashtirsak (§61). Hamda =const va =0 bo’lganligi uchun; x=sinsin, y=sinsos, bundan, +=2sin2 Lekin, yuqorida isbot qilganimizdek, tenglamaning chap tarafi va sin o’zgarmas qiymatlar bo’lgani uchun, =const=0.(g) va nihoyat, Eylerning kinematik tenglamalarining oxirgisidan z=+cos bo’ladi. Bu erdagi z, , va cos lar o’zgarmas qiymatlar. Demak, =const=0 (d)

• Lekin, tenglamalarni eng sodda ko’rinishlarda yozish uchun, (80) tenglamaning ikkala tomonini jism bilan qattiq mahkamlangan, hamda jism bilan birgalikda harakatlanuvchi Oxyz bosh inertsiya o’qlariga proektsiyalaymiz. U holda O vektorning proektsiyalari (78) formula bilan aniqlanadigan sodda holga keladi va ularda ishtirok etayotgan Jx, Jy, Jz, inertsiya momentlari o’zgarmas qiymatlardan iborat bo’ladi.
• V nuqtaning absolyut tezligi V ni qo’zg’aluvchi o’qlardagi proektsiyalarini aniqlash uchun, V -ni ikkita tashkil etuvchilarga ajratib olamiz, nis -nisbiy tezlik (qo’zg’aluvchan Oxyz o’qlarga nisbatan) va ko’ch-ko’chirma tezlik. U holda (80) tenglamadan:
•  nis+ko’ch=V nuqtaning koordinatalarini x, y, z lar bilan belgilaymiz. Hamda, V nuqtaning radius vektori O bilan bir xil bo’lganligi uchun (341 shakl), x=Kx, y=Ky, z=Kz.O va +=Mx.
• Eylerning dinamik tenglamalari deb ataladi. Agar jismning holatini , ,  burchaklar orqali ifodalasak (§60), u holda dinamikaning asosiy masalasi shundan iborat bo’ladiki, Mx, My, Mz lar ma’lum bo’lsa, jismning harakat qonuni aniqlanadi, ya’ni , ,  larning vaqtga bog’liq funktsiyasi aniqlanadi. Ushbu masalani echish uchun, (82) tenglamalarga, x, y, z lar bilan , ,  larni bog’lovchi Eylerning kinematik tenglamalarini (§61) qo’shish lozim bo’ladi

• Qo’zg’almas nuqta atrofida harakatlanuvchi jismning kinetik energiyasi. Qattiq jismning qo’zg’almas O nuqta atrofidagi har qanday elementar ko’chishi, faqat O nuqtadan o’tuvchi Ol oniy o’q atrofidagi burchakli tezlik bilan sodir bo’ladigan elementar burilishlardan iborat bo’ladi (§60 ga q.). Shu sababli uning kinetik energiyasi: T=Jl2/2. Jl -ning qiymatini (12) formuladan (§105 dagi 280 shaklga q.) keltirib qo’yamiz va sos=x, sos=y, sos=z , chunki -vektori Ol oniy o’qi bo’ylab yo’nalgan. U holda; 21=Jx+ Jy+ Jz-2Jxyxy-2Jyzyz-2Jzxzx.
• Agar, koordinat o’qlari sifatida O nuqta uchun bosh inertsiya o’qlarini tanlab olinsa, u holda markazdan qochma inertsiya momentlari nolga teng bo’ladi va 21=Jx+ Jy+ Jz .
• Eylerning dinamik tenglamalari. Qo’zg’almas O nuqta atrofida harakatlanayotgan qattiq jismga ,,.., kuchlar ta’sir etsin (341 shakl). Shu vaqtni o’zida jismga bog’lanish reaktsiyasi O ta’sir etadi (shaklda ko’rsatilmagan). Tenglamalardan bu noma’lum reaktsiya kuchini chiqarib yuborish uchun, O nuqtaga nisbatan momentlar teoremasining (74) ko’rinishdagi formulasidan foydalanamiz (§116), ya’ni Rezal teoremasi ko’rinishidan. U holda, O(O)=0 bo’lgani uchun (74) formuladan; V=O (80) bu erdagi O=O(), va V - Ox1y1z1 inertsial hisob sistemasiga nisbatan O vektorning uchidagi V nuqtaning tezligi. Jismning harakati ham Ox1y1z1 inertsial hisob sistemasiga nisbatan aniqlanadi