Fanidan tayyorlagan kurs ishi topshirdi: Ergashev Musurmon

TERMIZ DAVLAT UNIVERSITETI

FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
MATEMATIKA
TA’LIM YO’NALISHI 2-KURS 207 - GURUH
TALABASI ERGASHEV MUSURMONNING
“ MATEMATIK ANALIZ”
FANIDAN TAYYORLAGAN
KURS ISHI



Topshirdi: Ergashev Musurmon.
Qabul qildi:______________________
Mavzu: Differensial hisobning ba’zi bir tatbiqlari.

Reja:
1.Kirish

2. Asosiy qism.
a) Bir o’zgaruvchili funksiyaning hosila yordamida monotonlik oraliqlarini topish va misollar.
b)Funksiyaning ekstremum qiymatlari hamda ekstremumini topishda yuqori tartibli hosilalardan foydalanish hamda misollar.
c) Funksiyaning qavariqlik botiqlik intervallari va egilish nuqtalari haamda misollar.
d) Funksiya grafigining asimtotalari va misollar.
e) Hosila yordamida funksiyani tekshirish grafigini chizish sxemalari.
f) Hosila yordamida funksiyani grafigini chizishga doir misollar yechish.
3, Xulosa.
4, Foydalanilgan adabiyotlar.

Ushbu mavzuda funksiyaning hosilalari yordamida uning o’zgarish xarakteri (oraliqda o’zgarmas qiymatini saqlashi, o’suvchi yoki ka-mayuvchi bo’lishi, maksimum va minimum qiymatlari), shuningdek funksiya grafigini tekshirish (funksiya grafigining qavariq yoki botiqligi, buralish nuqtalarini aniqlash) kabi masalalar o’rganiladi.

Funksiya o’zgarmas qiymatini saqlashi. f(x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan bo’lsin.
Teorima: f(x) funksiya (a, b) intervalda chekli f’(x) hosilalarga ega bo’lsin. Bu funksiya (a, b) intervalda o’zgarmas bo’lishi uchun shu intervalda
f ‘(x) = 0
bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi: Shartga ko’ra f(x) funksiya (a, b) intervalda o’z-garmas, ya’ni f(x) = C, C = const. Ravshanki, bu holda (a, b) inter-valda f ’(x) = 0 bo’ladi.
Yetarligi: Shartga ko’ra f(x) funksiya (a, b) intervalda chekli f”(x) hosilaga ega va f’(x) = 0. Endi (a, b) intervalda istalgan x tayinlangan x₀ nuqtani olib, [x, x₀] yoki [x₀, x] segmentni qaraylik. Bu segmentlar (a, b) intervalda butunlay joylashgan, ya’ni [x₀, x]C (a, b), [x, x₀] C(a, b). Demak, f(x) funksiya [x₀, x] segmentda uzluksiz (funk-siyaning uzluksiz bo‘lishi, uning (a, b) da chekli f '(x) xosilaga ega bo‘lishidan kelib chiqadi) hamda chekli f ' (x) hosilaga ega. Lagranj teoremasiga ko’ra x₀ bilan x nuqtalar orasida shunday c (c є (x₀ x)) nuqta mavjudki,
f(x)-f(x₀)= f ’ (c) (x – x₀) (1)
tenglik o’rinli bo’ladi. (a, b) da f ' (x) = 0 bo’lganidan f ’ (c) = 0 bo’lib (1) tenglikdan esa f(x) = f(x₀) tenglik kelib chiqadi. Agar c nuqta (x, x₀) intervaldan olingan bo’lsa, ham f ’ (c) = 0 dan f(x) = f(x₀) kelib chiqadi. Endi C = f(x₀) desak, (a, b) intervalda f(x) funksiya uchun f(x) = C C = const munosabatga egamiz. Bu f(x) funksiyaning (a, b) intervalda o’zgarmas ekanligini anglatadi. Teorima isbot bo’ldi.
1-natija. Agar f(x) va g(x) funksiyalar (a, b) intervalda chekli f ' (x) va g ' (x) hosilalarga ega bo‘lib, shu intervalda
f ' (x) = g ' (x)
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda f (x) bilan g(x) funksiyalar (a, b) intervalda bir-biridan o‘zgarmas songa farq qiladi:
f(x) = g(x) + C, C = const.
Haqiqtdan ham
F(x) = f(x) – g(x) (2)
deb, (a, b) da
F ' (x) = f ' (x) – g ' (x) = 0
bo’lishini topamiz. Isbot etilgan teorimaga ko’ra F(x) = C, C = const bo’ladi. (2) munosabatdan f(x) = g(x) + C ekani kelib chiqadi.

Funksiyaning monoton bo’lishi: Biz o’tgan mavzulardan ma’lumki, o’tgan funksiya mavzularida funksiyaning monotonligi o’suvchi, qat’iy o’suvchi, kamayuvchi. qat’iy kamayuvchiligi bilan tanishgan edik. Ta’riflarini yana bir bor esga olib o’tamiz.

Ta’rif. Agar argument xning X to’plamdan olingan ixtiyoriy x₁ va x₂ qiymatlari uchun x₁ < x₂ bo’lishidan f(x₁) ≤ f(x₂) (f(x₁) < f(x₂)) tengsizlik kelib chiqsa, f(x) funksiya X to’plamda o’suvchi(qat’iy o’suvchi) deyiladi.

Ta’rif. Agar argument xning X to’plamdan olingan ixtiyoriy x₁ va x₂ qiymatlari uchun x₁2 bo’lishidan f(x₁) ≥ f(x₂) (f(x₁) > f(x₂)) tengsizlik kelib chiqsa, f(x) funksiya X to’plamda o’suvchi(qat’iy o’suvchi) deyiladi.

Misol: f(x) = x³ funkiya X = R da qat’iy o’suvchi ekanligini tekshiring.

Yechish: x₁ x₂ nuqtalar olib, x₁ < x₂ bo’lsin deb qaraylik. U holda
(f(x₁) - f(x₂) = x₂³ - x₁³ = (x₂ – x₁)( x₂² + x₁x₂ + x₁² ) = (x₂ – x₁) [((x₂ +0.5 x₁)² + 0.75x₁²] > 0
Demak, x₁ < x₂ shartni bajaradigan f(x₁) < f(x₂) tengsizlik topildi. Bundan funksiya qat’iy o’suvchi ekamligi kelib chiqadi.
Biz yuqoridagi misol orqali qat’iy o’suvchi ekanligini tekshirdik. Xuddi shunday usul bilan funksiyalarni o’suvchi, qat’iy o’suvchi, kamayuvchi, qat’iy kamayuvchilikka tekshirish mumkin. Bir takrorlab oldik va hozirgi mavzumizga qaytamiz. Funksiya hosilasi yordamida funksiyaning monotonligini aniqlash mumkinligini ko’rsatamiz.
Bizga berilgan f(x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan bo’lsin.
Teorima: f(x) funksiya (a, b) intervalda chekli f ' (x) ho-silaga ega bo’lsin. Bu funksiya shu intervalda o’suvchi yoki kamayuvchi bo’lishi uchun (a, b) intervalda
f ' (x)≥0 yoki f ' (x)≤0 (3)
tengsizlik o’rinli bo’lishi zarur va yetarlidir(Teorimadagi 1-formula o’suvchi uchun 2-si kamayuvchi uchun).
Isbot. Zarurligi. Shartga ko’ra f(x) funksiya (a, b) intervalda chekli f ' (x) hosilaga ega bo’lib, u holda u (a, b) intervalda o’suvchi (kamayuvchi). nuqtani olib, u bilan birga x+∆x nuqtani ham qaraymiz. U holda
∆x > 0 da f(x) ≤ f ( x + ∆x) (f(x) ≥ f ( x + ∆x))
∆x < 0 da esa f(x) ≥ f ( x + ∆x) (f(x) ≤ f ( x + ∆x))
munosabatlar o’rinli bo’ladi va bu munosabatlar har doim
≥0 ≤0 (4)
tengsizlik kelib chiqadi. f(x) funksiya (a, b) da chekli f ' (x) hosilaga ega bo’lgani uchun ushbu


(5)

limit mavjud va chekli bo’lib,

= f ' (x) (6)
o’rinli. (5) va (6) munosabatlar (a, b) intervalining barcha nuqtalarida
f ' (x)≥0 yoki f ' (x)≤0
tengsizlik o’rinli bo’lishini topamiz.
Yetarliligi. SHartga ko‘ra f(x) funksiya (a, b) intervalda chek-li f ' (x) hosilaga ega bo‘lib, shu intervalda f ' (x) > 0 (f ' (x) < 0) tengsizlik o‘rinli.

Endi (a, b) intervalda ixtiyoriy x (x (a, b)) va x + x {(x + x) (a, b); x > 0) nuqtalarni olaylik. Ravshanki, bu holda [x, x + x] (a, b) bo‘lib, [x, x + x] segmentda f(x) funksiya Lag-ranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Lagranj teoremasiga muvofiq x va x + x nuqtalar orasida shunday c(x< c< x + x) nuqta mavjudki, ushbu

f(x + x) — f(x) = f ' (c) • x (6)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. (6) tenglikdan x > 0 va x (a, b) da f ' (x) 0 (f ' (x) 0) bo‘lgani uchun
f ( x + x) — f ( x ) 0 ( f ( x + x) — f( x ) 0)
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, x < x + x bo‘lganda f(x) f(x + x) ( x < x + x f (x) f(x + x)) tengsizlik ham o‘rinli. Bu f(x) funksiyaning (a, b) intervalda o‘suvchi (kamayuv-chi) bo‘lishini ifodalaydi. Teorema isbot bo‘ldi.