Farxod rajabov


Misol.  >' = 1 + —  funksiya  berilgan  b o 'lsin ,  u  holda  | = *  va  aksincha,  lim  y =  1


Download 6.24 Mb.
Pdf просмотр
bet17/29
Sana15.12.2019
Hajmi6.24 Mb.
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   29

Misol. 
>' = 1 + —  funksiya  berilgan  b o 'lsin ,  u  holda  |
= *  va 
aksincha,  lim 
y =
 1  bo‘lgani  uchun  o ‘zgaruvchi 
y
  ni  1  bilan  cheksiz  kichik
X —
funksiyaning  yig‘indisi  ya’ni 
y =
 1 
+ a ( x )
  ko‘rinishda  yozish  mumkin.
2-teorema.
 
Agar 
x ^ a
  da  (yoki 
x
 
->■  oo 
da) 
a  

a ( x )
  nolga  intilsa-
yu,  lekin  nolga  aylanm asa,  u  holda 
y = 
— .—   cheksizlikka  intiladi.
a ( x )
3-teorema.
  Ikki,  uch  va  um um an  m a ’lum   sondagi  cheksiz  kichik 
funksiyalam ing  algebraik  yig‘indisi  cheksiz  kichik  funksiyadir.
4-teorema.
  C heksiz  kichik 
a  

a ( x )
 
funk siyan in g  ch ek lan gan  
z = 
z( x
)  funksiya  bilan  k o ‘paytm asi 
x —> a
  da  (yoki  * ->• 
oo 
da)  chek­
siz  kichik  m iqdordir.
157

1-teorema.  Chekli  sondagi  funksiyalar algebraik  yig‘indisining  limiti 
ou  funksiyalar  limitlarining  algebraik  yig'indisiga  teng.
lim(£/, 
+ U 2
 + .... + i / n) = lim£/, +lim 
U 2
 + ....+ lim£/„.
Isbod.  Isbotni  ikki  qo'shiluvchi  uchun  keltiramiz,  qo‘shiluvchilar 
soni  har  qancha  bo'lganda  ham  isbot  o‘z  kuchida  qoladi.
Aytaylik,  limt/,  = 6,;  lim
U 2  = b2
  bo'lsin.  U  holda  2.8  mavzudagi
1-teoremaga  asosan,  £/,=&,+ a, (jc), 
TJ2 - b 2 + a 2
 (x);  a, (x), 
a 2
 (jc)  lar 
cheksiz  kichik  miqdorlar-.  Demak,  {/, 
+ U 2
 = (2>, +&2) + (ar, 
+ a 2)
 ; 
(¿,+Z>2)  —  0‘zgarmas  miqdor, 
(a,  + a 2)
  esa  cheksiz  kichik  miqdor.
lim (il/, 
+ U 2) = by + b 2
 = Iimt/, + lim t/2.
Misol.
2.9  Limitlar  haqida  asosiy  teoremalar.
jc
4 -t- 3
jc
3
lun-------—  = lim
x
 
*-»«>
' i + 2 '

x ;
= lim 1 + lim — = 1 + 0 = 1.
i - w i  
%
2-teorema.
  Chekli  sondagi  funksiyalar  ko'paytmasining  limiti  bu 
funksiyalar  limitlarining  ko‘paytmasiga  teng.
lim 
U XU 2
 ....£/„ = lim C/, .lim 
U 2
.... lim 
Un.
Isboti.
lim t/,  = 6, 
lim 
U 2
 = 
b2
U x
  = 
bt  + a

U 2 = b 2 + a 2
U, U2
 = (A,  + 
or,
) (¿2 + 
a
2) 
= b lbl
 + 
bla 2
 + 
b2a x
  + 
a ]a 2 
bo'lsin. 
b]b2
  ko'paytma  o‘zgarmas  miqdor.
Demak,  lim f/, 
U 2
 = lim 
U t
 lim 
U 2.
Natija. 
0 ‘zgarmas ko‘paytuvchini limit  ishorasidan tashqariga chiqa- 
rish  mumkin.  limcC/,  ^ l i m t / , .  Agar  lim£ /,= 6 ,,  c  —o'zgarmas. 
limc = c,
lim 
(cb
x) = lim 
c
 • lim 
b{  = c
 lim 6,
3-teorema.
  Ikkita funksiya bo‘linmasining limiti,  maxraj  limiti  noldan 
farqli  bo‘lsa,  bu  funksiyalar  limitlarining  bo‘linmasiga  teng.
U
 
lim 
U
Agar  limK^O  bo‘lsa,  lim—= ------.

lim V
Isboti.  \xm.U = a,
  lim F ^O .
Demak, 
U = a + a   ,  V = b + /3,
  bu  yerda 
a
  va 
/3
  cheksiz  kichik 
miqdorlar.
158

U  
a + a  
a
V  ~  b + p ~   b
a + a  
a
T 7 p ~ ~ b

a b - a P  

b( b + P)
.. 

a 
l i m í /
Iim— = — = ------
.

b 
lim 
V
4-teorema 
(teorem a  isbotsiz  keltiriladi).  Agar  u chta 
f ¡ ( x ),   f 2(x) 
va 
(p[x
)  funksiyalam ing  qiym atlari  orasida  / , ( x ) < ^ ( x ) < / , ( x ) )   teng- 
sizliklar  bajarilsa,  bunda 
x ^ > a
  da  (yoki 
x - » o o  
da)  / , ( * ) ,   va  / , ( * )  
birgina 
b
  lim itga  intilsa,  u  holda  * - » #   da  (yoki  x -> o o d a ) 
(p[x

ham   shu  lim itga  intiladi,  ya’ni  lim ^ (x ) = ¿  bo'ladi.
Bu  teo rem a  oraliq  funksiyaning  lim iti  haqida  teo rem a  deyiladi.
sin*
2.10.  * -» 0   da  -----   funksiyaning  limiti.
Teorema.
sin*
fu n k siy a
0  da  1  ga  teng  limitga  ega. 
sin*
Isboti.
funksiya 
x — 0
  da
aniqlanm agan,  chunki  kasm ing  surat 
va  maxraji  nolga  aylanadi.  Bu  fu n ­
ksiyaning 
x ^ O
  lim itini  topam iz. 
Radiusi  1  b o ‘lgan  aylanani  qaraym iz 
(103-chizm a).
M arkaziy  bu rch ak n i  x  bilan 
belgilaymiz.
1 03-chizm a.
B unda  0 < 
x <
 —  chizm adan  quyidagilar  chiqadi:
A
MOA
  yuzi  COA
  yuzi;
AMOA
  yuzi 
S = - O A   MB
  =  — • 1 • sinjc= —sinjc ;




MOA
  sektor  yuzi 
S = -OA-MA = — - l-x = —x;

COA
  yuzi 
S = ^ O A -A C  = ~ l - t g x  = ^ t g x .
D em ak,  sin 
x < x < tgx.
H am m a  hadlarni  sin *   ga  b o ‘lam iz.
159

X
 

JC 
1
1 < ------< -------   yoki  1 > ——  > —
sm x  
COS* 
chiqardik.
sm x  
cosx
Bu  tengsizliklarni  x > 0  deb
srn(-x) 
sm x  
/
-------- = ------.  cos(-xl = cosx  ekanini  etiboiga  olsak,  x < 0   bolsa
- X  
X
ham  tengsizlik  to‘g‘ri  bo‘lib  chiqadi.
limcosx = l 
liml = 1
j- > 0 
x- »0
Demak,
sm x
.fimks¡ya  shunday  ikki  funksiya  oraliqidaki,  ular-
ning  ikkalasi  ham  birgina  limitga  intiladi  va  u  limit  1  ga  teng 
(104-chizma).
.. 
sm x 
,
lim----- = 1.
j->0
tg3x
 
3sin3x 

. . .   sin3x,. 

„ 1 

Misol.  lim-----= lim--------------- = 31im-------lim------- = 3—
 = 3 .
*-►0 
x
 
v-+o 
2X
 
cos3x 

T->0  3x 
*-*°cos3x
 
1
Teorema.
yotuvchi  limitga  ega,  yani  lim(l + —)" 
= e .
H-tm 
fl
2.11.  e-son i.
o'zgaruvchi  « ->  
oo 
da 

bilan 

orasida 
1,
Ta’rif.
' l +i '

« /
o'zgaruvchini 

—» 
oo 
dagi  limiti  e  soni  deyiladi
e =
 liml  1 + — 
"-»'V 
«
e  soni  irratsional  son. 
^ = 2 .7 1 8 2 8 1 8 4 .. 
Misol.
liml  1 + —
"->«1 
n
N /1+5
f ,  
0 Y ,  
0
5
=
1 + -
i + -
- e - \ - e
)
l  
n)

n )
160

Izoh.  Asosi 
e
  bo'lgan  ko'rsatkichli  funksiya 
y  = e x
  matematika 
kursida  juda  ko‘p  qo‘llaniladi.  Bu  funksiyani  ko‘pincha  eksponental 
funksiya  deb  yuritishadi.
2.12.  Natural  logarifinlar.
Asosi 
e = 2,
7182818284...  sondan  iborat  logarifmlar  natural  log- 
arifmlar  deyiladi.  U  In  N  bilan  belgilanadi.  Demak, 
e>  - x
  bo‘lsa,  y 
ga 
x
  ning  natural  logarifmi  deyiladi  va 
y   =
  l o g e 
X
  o‘miga 
y = \ n x  
bilan  yoziladi  (105-chizma).
9
 
1
105-chizma.
Endi  biror 
x
  sonning  o'nli  va  natural  logarifmlari  orasidagi  mun- 
osabatni  aniqlaymiz. 
y  = \ gx
  yoki  * = 10*  bo'lsin.  Bu  tenglikning  o‘ng 
va  chap  tomonlarini 
e
  asosga  ko'ra  logarifmlaymiz.
Injc = jvlnl0.
lnx
Bundan 
y
 = 7~77  yoki 
y
  ning  qiymatini  o‘miga  qo'yib
In 10
\gx = -
1
-In jc: 
M
 =
1
« 0,434294;
In 10 
In 10
M  -   soni  natural  logarifmdan  o'nli  logarifmga  o‘tish  moduli  deyiladi.
\ g x = M -
lnx; 
x = e
  deb  faraz  qilsak  lg
e = M
  (lne = l)
ln* = — lg 
jc
  — a 2.3025;

M
Shunday  qilib,  lnx * 2,3025 lg 
jc
.
2.13.  Funksiyalarning  uzluksizligi.
1.  Funksiyalarning  uzluksizligi.
y  = f{.x)
  funksiya  (
a, b
)  intervalda  aniqlangan  bo‘lsin. 
x0 &(a,b) 
nuqtada,  unga  funksiyaning 
y 0
  = 
f ( x 0)
  qiymati  to‘g‘ri  kelsin.  Boshqa
161

biror 
x e ( a , b )
  nuqtani  olaylik. 
Agar  x  biror  musbat  yoki  manfiy 
(farqi  yo‘q)  Ax  orttirma  olsa 
x  = x 0
 + Ax  qiymatga  ega  bo'lib 
qolsa,  u  holda 
y
  funksiya  ham 
biror 
A y
  orttirma  oladi.
Funksiyaning  yangi  orttirilgan 
qiymati 
y 0 + A y = f ( x 0
 +Ax)  bo‘- 
ladi  (106-chizma)  Ax = x - x 0  ar- 
X
 gument  orttirmasi,  funksiyaning 
orttirmasi esa  Ajy=/(x0+ A t)-/(x0) 
formula  bilan  ifodalanadi.
Ta’rif.  Agar 
y  = f ( x )
  funksiya  x„  nuqtada  va  uning  atrofida  an- 
iqlangan  bo'lib, 
= ®  yoki  ]™01 / ( x 0 + Ax) -  /  (x0) J = 0  bo'lsa,
x = x0  qiymatda  (yoki  x0  nuqtada)  funksiya  uzluksiz  deyiladi.  Uzluk- 
sizlik  shartini  bunday  yozish  mumkin.
H m /(x 0+Ax) = / ( x 0) 
(1)
yoki  lim /( x ) = / ( x 0)  ammo  x0 = lim x  yoki  (1)  tenglikni  tubanda- 
gicha  yozish  mumkin. 
f ( x ) =
 
ya’rii  x ^ - x 0  da  uzluksiz
funksiyaning  limitini  topish  uchun  funksiyaning  ifodasida  argument  x 
o‘miga  uning  x0  qiymatini  qo'yish  kifoya.
Berilgan  nuqtada  funksiya  uzluksizligining  geometrik  tasviri  shuni 
bildiradiki,  agar  faqat  |Ax|  yetarli  kichik  boisa  x0+Ax  va  x0  nuqta- 
larda  funksiya  grafigi  ordinatalarining  ayirmasi  absolut  qiymat  bo‘yicha 
ixtiyoriy  kichik  bo'ladi.
Misol. 
y  = x 2
  funksiyaning  ixtiyoriy  x0  va  x0 = 2 ,  nuqtada  uzluk- 
sizligini  ko‘rsating.
Yechish.
a)  y 0= x * ;y 0+Ay = (x0+Ax)2; 
Ay
 = (x + Ax)2
- x \  = 2x0Ax + Ax2;
x
  istalgan  usul  bilan  nolga  intilganda  (107-a,  b  chizmalar).
lim Ay =  lim (2x0Ax +Ax3) = 2x0  lim Ax + lim Ax - lim Ax = 0 •
Ar-»o 
Ar->o '  
'
 
A
x-* o
 
At
-*
o
 
At
-+
o
y 0 =
 2 2 =4;  Ay = (2 + Ax)2 - 4 ;
b)  A>> = 4 + 4Ax + (Ax)2 — 4 = 4Ax + (Ax)2;
lim Ay =  lim (4Ax + (Ax)2) = 4 lim Ax + lim Ax- lim Ax = 0.
Ar—
»o 
Ax-*ö' 

At
-*
o
 
A
x-*n
 
At-*«
162

107-chizma.
1-teorema.
  Chekli  sondagi  funksiyalar 
x0
  n uq tad a  uzluksiz  b o ‘lsa 
un d a  ularning  yig'indisi  ham   jc0  n uqtada  uzluksiz  boMadi.
2-teorema.
  H a r  qanday  e lem e n ta r  funksiya  o ‘zi  aniqlangan  h a r  bir 
n uqtada  uzluksizdir.
1
1-misol. 
y - ~
  funksiya  * = 0  n u q tad a  uziluvchidir.  H aqiq atan  
*
ham   * = 0  da  funksiya  aniqlanm agan.
lim  — = 
+ o o  
lim  —  - 
- o o  
.
.r->0+0 
%
 
x—
>0-0 
%
Bu  funksiya  * * 0   qiym atda  uzluksiz  ekanligini  k o ‘rsatish  oson.
\_
2) 
y -
 -t  funksiya  * = ()  n u q ta d a   u zilu vch i.  H a q iq a ta n   ham
i  
I
lim  r  = 
oo 
lim 
2 X
  = ;  * = 0  da  funksiya  aniqlanm agan  (108-chizm a).
.
t
->0+0 
.r—
>0-0
3) 

funksiyani  uzluksizlikga  tekshiram iz.
163

x
 
< O  da  i ! -   1  bo‘ladi.
* >  O  da  i .  - 1  bo'ladi.
x = 0  da  funksiya  aniqlanmagan.  x = 0  da  funksiya  uziluvchi  (109- 
chizma).
2.14.  Uzluksiz  funksiyalarnmg  ba’zi  xossalari.
Xossalar  quyidagi  teoremalar  bilan  ifodalanadi.
1-teorema.  Agar 
y
 = 
f ( x )
  funksiya 
[a, b]
  kesmada  uzluksiz  bo‘lsa,  u 
holda 
\a,b]
  kesmada  funksiya  o'zining  eng  kichik va  eng  katta  qiymatiga 
erishadi, ya’ni shunday 
x n x 2
 e 
(a, b)
  nuqtalar mavjudki, barcha 
x s  (a, b)
 lar 
uchun  / ( * , ) > / ( * )   va 
f ( x 2) <  f ( x )
  tengsizliklar  o'rinli  bo‘ladi.
Funksiyani  / ( * , )   qiymatini 
y  = f  \x)
  funksiyaning 
[a,b]
  kesmadagi 
eng  katta  qiymati  deb, 
f ( x 2)
  ni  esa  eng  kichik  qiymati  deb  ataymiz. 
Bu  teorema  qisqacha  bunday  ifodalanadi.  Kesmada  uzluksiz  funksiya 
hech  bo'lmaganda  bir  marta  eng  katta 
m
  qiymatga  va  eng  kichik 
m 
qiymatga  erishadi  (110-chizma).
2-teorema.  Agar 
y  = f { x )
  funksiya  [a, 6]  kesmada  uzluksiz  bo‘lib, 
bu  kesmaning  uchlarida  turli  ishorali  qiymatlami  qabul  qilsa,  u  holda 
[a,b]
  kesmada  hech  bo'lmaganda  shunday  bir 
x = c
  nuqta  topiladiki, 
bu  nuqtada  funksiya  nolga  aylanadi  / (c) = 0; 
a < c < b
  (111-chizma).
Misol. 
y  = x 3 - 2
  funksiya  berilgan.  Bu  funksiya  [1,2]  kesmada 
uzluksiz.  Demak,  bu  kesmada 
y  = x 3 - 2
  nolga  aylanadigan  nuqta 
mavjud.  Haqiqatan  ham 
x = l¡2
  da  j/ = 0  (112-chizma).
110-chizma.
111-chizma.
164

113-chizma.
3-teorema.  y  = f ( x )
  funksiya  [a,A]  kesmada  aniqlangan  va  uzluk- 
siz bo'lsin. Agar kesmaning uchlarida funksiya teng boimagan 
f ( a )  = A,  
f ( b )  = B
  qiymatlami  qabul  qilsa,  u  holda  funksiya 
a
  va 
ß
  sonlar 
orasidagi  barcha  qiymatlami  qabul  qiladi.  U  holda 
A < ß < B
  shartni 
qanoatlantiradigan  ixtiyoriy 
fJ-
  son  uchun  kamida bitta 
c
 e 
[a,b]
  nuqta 
mavjudki,  unda  / ( c )  = //  tenglik  to‘g‘ri  bo'ladi  (113-chizma).  2-teo- 
rema  bu  teoremani  xususiy  holi,  chunki 
a
  va 
ß
  lar  turli  ishoralarga 
ega  bo‘lsa,  u  holda 
H
  ni  o'mida  O  ni  olish  mumkin.
0 ‘z-o‘zini  tekshirish  uchun  savollar.
1.  Sonli  ketma-ketliklar  deb  nimaga  aytiladi?
2.
  Ketma-ketliklaming  berilish  usullarini  ayting  va  misollar  keltiring.
3.
  Qanday ketma-ketliklar yuqoridan  (quyidan)  chegaralangan  deb  ataladi? 
Misollar  keltiring.
4.  Qanday  ketma-ketliklar  monoton  o ‘suvchi  (kamayuvchi,  o'smaydigan, 
kamaymaydigan)  deb  ataladi?
5.  Ketma-ketliklaming  limiti  ta’rifini  aytib  bering.Yaqinlashuvchi  ketma- 
ketlikka  misol  keltiring.
6.  Yaqinlashuvchi  sonli  ketma-ketliklaming  limitlari  haqidagi  teoremalami 
aytib,  isbotlab  bering.
7.  O'zgaruvchi  miqdoming  limiti  ta’rifini tengsizlik yordamida  ifodalang va 
uni  geometrik  nuqtayi  nazardan  tushuntiring.
8.  Funksiyaning 
x —> a
 
dagi  limiti  ta’rifmi  tengsizlik  yordamida  ifodalang 
va  uni  geometrik  nuqtayi  nazardan  tushuntiring.
9.  Qanday  holatda  o'zgaruvchi  x  miqdor  cheksizlikka  intiladi  deyiladi?
10.
  Funksiyaning  o‘ng  va  chap  limitlari  nima?
11.  Cheksiz katta va cheksiz kichik flmksiyalar orasida qanday bog'lanish bor?
12.
  Limitga  ega  bo‘lgan  funksiya  bilan  cheksiz  kichik  funksiya  orasida 
qanday  bogianish  bor?
13.
  Funksiyalar  yig'indisining,  ko'paytmasining  limiti  haqidagi  teoremalar- 
ni  isbotlang.
165

14.  Bo'linmaning  limiti  haqidagi  teoremani  isbotlang.
13.  Oraliq  funksiyaning  limiti  haqidagi  teoremani  aytib  bering.
sin
16.  lim —  =  1  formulani  isbotlang.
jr->0
17.  lim [ l +  — ] 
= e
  foimulani  isbotlang.
"-»»V. 
n )
18.  ] iin ( l + —j   = e   formulani  isbotlang.
19.  Natural  logarifm  ta’rifini  ayting.  Natural  sistemadan  o'nli  sistemaga  va 
aksincha,  qanday  o ‘tiladi?
20
y  = f
 (jc)  funksiyaning 
x0
  nuqtadagi  uzluksizligi  ta ’rifini  keltiring  va
geometrik  talqin  eting.
21.  Kesmada  uzluksiz  funksiyalaming  xossalarini  ta’riflab  bering.
3-§.  Hosila
3.1  Hosila  tushunchasiga  olib  keladigan  masala.
H osila  tushunchasiga  olib  keladigan  m asalalar jum lasiga  q attiq  jism - 
n i  t o ‘g ‘ri  chiziqli  harakatini,  yuqoriga  vertikal  h o ld a  otilgan  jism ning 
h arak atin i  yoki  dvigatel  silindridagi  porshen  harak atin i  tekshirish  kabi 
m asalalam i  kiritish  m um kin.  B unday  h arakatlam i  tekshirganda  jism ­
ning  konkret  o ‘lcham larini  va  shaklini  e ’tiborga  olm ay,  u n i  harakat 
qiluvchi  m oddiy  n u q ta  shaklida  ta s a w u r  qilam iz.
H arakat  tezligi  masalasi.  Aytaylik, 
M
  m oddiy  n u q tan in g   t o ‘g ‘ri 
chiziqli  harakat  q onuniga  k o 'ra   uning 
t = t 0
 
paytdagi  tezligini  (oniy 
tezligini)  topish  talab  qilinsin.  N u q tan in g  
t0
 
va 
t0 + Ai
 
(A / *  0)  vaqtlar
orasidagi  bosib  o ‘tg an   yo ‘li 
AS = f [ t 0 + A l ) - f ( t 0)
 
b o ‘ladi.  U n in g   shu
AS 
f ( t 0 + A t ) - f ( t B)
vaqtdagi  o ‘rtac h a  tezligi  —  = ------------------------   ga  teng.
Al 
Ai
AS
M a ’lum ki,  a
t
  qanchalik  kichik  bo'Isa,  —   o ‘rtac h a  tezlik   n u q ta-
A
t
ning  t 0 paytdagi  tezligiga  shun chalik  yaqin  b o 'lad i.  S huning  u c h u n   nu q - 
tan in g   t 0  paytdagi  tezligi  quyidagi  lim itd an   iborat.  F ( f 0) = H m — .
3.2.  Funksiyaning  hosilasi.
y  = f ( x)
 
funksiya 
(a ,b )
  intervalda  aniqlan gan   bo 'lsin . 
(a,b)
  inter- 
valga  tegishli 
x0
  va 
x0 +Ax
  n u q talam i  olam iz.
166

A rgum ent  b iro r  (m usbat  yoki  m anfiy  —  bari  bir)  Ax  orttirm asini 
olsin,  u  vaqtda  y  funksiya  biro r  A y o rttirm an i  oladi.  S hunday  qilib 
argum entning  x0 qiym atida 
y 0 = f ( x 0)
  ga,  argum entning  x 0 + Ax  qiy- 
m atda 
y 0 +Ay = f
 ( x 0 + Ax)  ga  ega  b o 'lam iz.  Funksiya  orttirm asi  A
y 
ni  topam iz.
4 y = / ( * 0 + A* ) - / ( * o ) -  
( 0
Funksiya  orttirm asini  argum ent  orttirm asiga  nisbatini  tuzam iz.
A
y   =  f ( x o + t e ) - f ( x 0)
Ax 
Ax
Bu  -   nisbatning  Ax -»  0  dagi  lim itini  topam iz.
Agar  bu  lim it  mavjud  b o'lsa,  u  berilgan 
f ( x )
  funksiyaning  x 0 
nuqtadagi  hosilasi  deyiladi  va  / ' ( x 0)  bilan  belgilanadi.  S hunday  qilib, 
ta ’rifga  k o ‘ra
/ ' ( , . )  =  lin, ^  
yoki  / ■ ( , , ) =   lin, 
(3)
V  U 

 
Ar->0 
f a  
J
 
V  u /  
4 l_ ,0 
^
Demak,  berilgan 
y = f ( x )
  funksiyaning  argum ent 
x
  bo'yicha  hosilasi 
deb,  argum ent  orttirmasi 
Ax
  ixtiyoriy  ravishda  nolga  intilganda  funksiya 
orttirmasi  A
 
ning  argument  orttirmasi  Ax  ga  nisbatining  limitiga  aytiladi.
U m um iy  holda 
x
  ning  h ar  bir  qiym ati  u chu n  / ' ( x )   hosila  m a ’lum  
qiym atga  ega,  y a ’ni  hosila  ham   x  ning  funksiyasi  b o ‘lishini  qayd  qil- 
amiz.  H osilada  / ' ( x )   belgi  bilan  birga  boshqacha  belgilar  ham   ishla- 


dy
tiladi. 
 

y x, 
—  ;  B ular  birinchi  tartibli  hosilalar.  Agar  birinchi  tartibli 
dx
hosiladan  yana  bir  m arta  hosila  olihsa  ikkinchi  tartibli  hosila  topiladi.
„ 
"  d 2y
Ikkinchi  tartibli  hosila 
 

y x 
,
 
— -
  k o'rin ish da  belgilanadi.
dx'
bilan
x = a
H osilaning 
x - a
  dagi  konkret  qiym ati 
f ' ( a )
  yoki  /  
belgilanadi.
Berilgan  / ( x )   funksiyadan  hosila  topish  am ali  shu  funksiyani  dif- 
ferensiallash  deyiladi.  Funksiya  hosilasini  hosila  ta ’rifiga  k o ‘ra  hisob- 
lashni  k o ‘rsatam iz.
M isol. 
y = x 3
  funksiya  berilgan,  uning:


Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   29


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling