Farxod rajabov


)  ixtiyoriy  x  nuqtadagi  va  2


Download 6.24 Mb.
Pdf просмотр
bet18/29
Sana15.12.2019
Hajmi6.24 Mb.
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   29

1)  ixtiyoriy  x  nuqtadagi  va  2)  * = 3  nuqtadagi  hosilasi 
y
  topilsin.
Yechish.
1)  argum entning  x  ga  teng  qiym atida 
y = x
3  ga  teng.  A rgum ent 
x + Ax  qiym atida 
y + Ay = {x +
 Ax) 3  ga  ega  b o 'lam iz.
167

Ay = (x + Ax)3 
- x 3
 = 3x2(Ax) + 3x(Ax)2 +(Ax)3, 
—   nisbatni  tu-
Ax
zamiz.
Ay _  3 , .  (Ar) + 3 ^ ) ! 
* m > _  s 3 x , + M & x )
 + ( i i ) !
Ax 
Ax
Limitga  o‘tib,  berilgan  funksiyadan  hosila  topamiz.
y  =  lim —  =  lim (3x2 + 3x(Ax) + (Ax)2).
Ax->0 ^   Ax->0
Demak, 
y  = x 3
  funksiyaning  ixtiyoriy  nuqtadagi  hosilasi  y  = 3x2
2)  x = 3  da 
y
= 3-32 = 2 7 . 
x = 3
3.3.  Hosilaning  geometrik  ma’nosi.
Harakat  qiluvchi  jismning  tezligini  tekshMsh  riatijasida,  ya’ni  me- 
xanik  tasawurlardan  chiqib  borib,  hosila  tushunchasiga  keldik.  Endi 
hosilaning  geometrik  ma’nosini  beramiz.  Buning  uchun  awal  egri  chiz- 
iqga  uning  berilgan  nuqtasida  o'tkazilgan  urinmani  ta’riflab  berishimiz 
kerak.  Biror  egri  chiziq  va  unda  tayin 
M 0
  nuqta  berilgan  bo'lsin.  Egri 
chiziqda bir  M,  nuqtani  olamiz va  M 0M ,,  kesuvchini  o‘tkazamiz.  Agar 
nuqta  egri  chiziq  bo‘yicha 
M 0
  nuqtaga  cheksiz  yaqinlasha  borsa,  u 
holda 
M
q
M,  ,
  kesuvchi 
M 0M [ , M 0M"
  va hokazo turli vaziyatlami oladi.
Agar  nuqta  egri  chiziq  bo'yicha  istalgan  tomondan  M0  nuqtaga 
cheksiz  yaqinlasha  borganda  kesuvchi  ma’lum 
M QT
  to‘g‘ri  chiziq 
vaziyatini  egallashga  intilsa,  u  holda bu  to‘g‘ri  chiziq 
M 0
  nuqtada  egri 
chiziqqa  urinma  deyiladi  (114-chizma).
To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida 
y  = f ( x )
  ga mos egri chiziqni 
qaraylik,  x  ning  biror  qiymatida  funksiya 
y  = f ( x
)  qiymatga  ega.  Egri 
chiziqda  x  va 
y
  ni  bu  qiymatlariga 
M g( x, y)
  nuqta  to‘g‘ri  keladi.  Argu­
ment 
x
  ga  orttirma  beramiz.  Argumentning  yangi 
x +
 Ax  orttirilgan  qiy- 
matiga  funksiyaning  orttirilgan 
y  + Ay =
 / ( x  +Ax)  qiymati  to‘g‘ri  keladi;
168

Egri chiziqning bunga mos nuqtasi  M,( 
x + A x , y
 + Ay )  nuqta bo'ladi. 
M0  Af,  kesuvchini  o'tkazamiz  va  uni  Ox  o‘qining  musbat  yo‘nalishi
Ay
bilan  hosil  qilgan  burchagini 


  bilan  belgilaymiz. —   nisbatni  tuzamiz.
Ax;
Ay
Shakldan: 
~
 =tg 
9
  ekanligi  ko'rinadi.  Agar  Ax  nolga  intilsa,  u  holda 
kesuvchi 
M0
  nuqta  atrofida  aylanadi  (115-chizma).
Agar  Ax -» 0 
da  q>
  burchak  biror 
a
  limitga  intilsa,  u  holda  M0 
nuqtadan  o‘tuvchi  va  abssissalar  o'qining  musbat  yo‘nalishi  bilan 
a 
burchak  tashkil  qiluvchi  to‘g‘ri  chiziq  izlangan  urinma  bo'ladi.  Uni 
burchak  koeffitsientini  topish  qiyin  emas.
Demak, 
t g a =
  lim 
tg

 = lim 

f ' ( x )
 ya’ni  argument  x  ning
Ax->0 
'
berilgan  qiymatida  / ’(x)  hosilaning  qiymati 
f(x)
  funksiyaning  grafigiga 
uning  M0(x,y)  nuqtasidagi  urinmaning 
OX
  o'qining  musbat  yo'nalishi 
bilan  hosil  qilgan  burchak  koeffitsientiga  teng  ekan.
3.4.  Funksiyaning  differensiallanuvchanligi.
Ta’rif.  Agar 
y = f ( x )
  funksiya  x = x 0  nuqtada  chekli  hosilaga  ega
.. 
Av 
.. 
f(x„ + A x ) - f ( x 0)
bo'lsa,  ya’ni  lun —  = lim ----------------------  mavjùd  bo'lsa,  u  holda
Ax^OAx 
Ax
berilgan  x = x 0 qiymatda  funksiya  differensiallanuvchi  yoki  hosilaga  ega 
deyiladi.  Agar  funksiya  biror  [a,b]  kesmaning  yoki  (a,b)  intervalining 
har bir  nuqtasida  differensiallanuvchi  bo‘lsa,  u  holda  funksiya  kesmada 
yoki  intervalda  differensiallanuvchi  deyiladi.
Teorema.  Agar 
y = f ( x )
  funksiya  biror  x = x 0  nuqtada  differensial­
lanuvchi  bo‘lsa,  u  holda  fbnksiya  shu  nuqtada  uzluksizdir.
Isboti. 
y = f ( x )
  funksiya  x0  nuqtada  differensiallanuvchi  bo'lgani
uchun litk.—  = / '  (*o ) ~   chekli  son.
Ar->0 Ax
Limitga  ega  bo‘lgan  funksiya  o‘zgarmas  va  cheksiz  kichik  funksiya 
yig‘indisiga  teng  boigani  uchun  quyidagicha  yoza  olamiz:
—  - f ' ( x o) + y
  bu  yerda  A x-»0  da  y  nolga  intiluvchi  funksiya,  u 
Ax
holda  Ay = / ' ( x 0)Ax + ?Ax  bo‘ladi.  Bundan  A x-»0  da  A y -» 0 ,  bu 
esa 
x0
 nuqtada 
f ( x)
  funksiya  uzluksiz  demakdir.
Shunday  qilib,  uzilish  nuqtasida  funksiya  hosilaga  ega bo‘la  olmay- 
di.  Teskari  xulosa  to‘g‘ri  emas,  ya’ni  biror 
x = x 0
  nuqtada 
y = f ( x )  
funksiya  uzluksiz  bo‘lishidan  bu  nuqtada  u  differensiallanuvchi  ham
169

bo‘ladi  degan  xulosa  chiqmaydi, 
x 0
  nuqtada  funksiya  hosilaga  ega 
bo'lmasligi  ham  mumkin.
3.5.  0 ‘zgarmas  miqdorning  hosilasi.  0 ‘zgarmas  miqdor  bilan
fiinksiya  ko'paytmasining  hosilasi,  yig‘indining,  ko‘paytmaning, 
bo‘Iinmaning  hosilasi.
1..0 ‘zgarmas  miqdorning  hosilasi  nolga  teng,  ya’ni  agar 
y = c
  bo'lsa 
(c=const) 
ÿ = 0
  bo'ladi.
2.  0 ‘zgarmas  ko'paytuvchini  hosila  ishorasidan  tashqariga  chiqarish 
mumkin 
y =c u( x)
  bo‘lsa 
y ' = c u ’(x)
  bo‘ladi.
3.
  Chekli  sondagi  differensiallanuvchi  funksiyalar  yig‘indisining 
hosilasi  shu  funksiyalar  hosilalarining  yig'indisiga  teng.
y
 = 
U ( x )
 + 
V( x)  + W (
jc); 
ÿ  = U' ( x)  + V'(x) + W' ( x)
4.  Ikkita  differensiallanuvchi  funksiyalar  ko‘paytmasining  hosilasi 
birinchi  fiinksiya  hosilasining  ikkinchi  funksiya  bilan  ko‘paytmasi  plyus 
birinchi  funksiyaning  ikkinchi  funksiya  hosilasi  bilan  ko'paytmasiga  teng.
y  = u3
  bo‘lsa 
ÿ  = u'S + uS' .
5.  Kasming  hosilasi  kasrga  teng  bo‘lib,  uning  maxraji  berilgan  kasr 
maxrajining  kvadratidan,  surati  esa  maxrajining  surat  hosilasi  bilan  va 
suratning  maxraj  hosilasi  bilan  ko'paytmalari  orasidagi  ayirmadan  ibo-

u' 3- u3'
rat.  Agar 
y  = --
  bo‘lsa 
y  =
 — —
2—
&
3.6.  Oshkormas  fiinksiya  va  uni  difFerensiallash.
Ikkita  x  va  y  o'zgaruvchilaming  qiymatlari  o‘zaro  biror  tenglama 
bilan  bog‘langan  bo'lsa,  uni  tubandagicha  belgilaymiz.
F(x,
  y)=0. 
(1)
Agar 
y = f ( x )
  funksiya biror 
(a,  b)
  intervalda  aniqlangan  bo‘lib,  (1) 
tenglamada  y  o'miga 
f(x)
  ifoda  qo'yilganda  tenglama 
x
  ga  nisbatan 
ayniyatga  aylansa,  u  holda 
y=f[x)
  funksiya  (1)  tenglama  bilan  aniqlan­
gan  oshkormas  fiinksiya  bo'ladi.
Masalan,  x2+ y 2~ a 2=0
  tenglama  quyidagi
y  =
 Vo2
- x 2  ; y = - y j a 2  - x 2 
elementar  funksiyalami  oshkormas  tarzda  aniqlaydi.  Oshkormas  funk- 
siyalami oshkor tarzda,  ya’ni 
y = f ( x )
  ko'rinishida ifodalab bo'lavermaydi.
Masalan,  y 9 - y 2 - x 3 =
 
0.
Endi  shu  oshkormas  funksiyalardan  hosila  olishni  ko'rsatamiz.
l-misol.  x2 + y2- a 2=0  funksiyani  xosilasini  toping.
170

Buni  ikki  tom onini  x  bo'yicha  differensiallab,  (m urakkab 
funksiyani 
difFerensiallash  qoidasidan  foydalanib)  shuni  topam iz.
2x + 2yy'
 = 0 
y' = 
——;
y
2
-m isol. 
y 9 - y : - x i =
 0 .
Buni  x  b o 'y ich a  differentsiallaym iz.
9 y iy ' - 2 y y ' - 3 x 2
 
= 0 ;
y ' ( 9 y * - 2 y )  = 3x2-,
? =  
3x2
 
.
9 y ‘ - 2 y
3 . 7 .  
Murakkab  funksiyaning  hosilasi.
Aytaylik, 
y=F(u)
 
m urakkab  funksiya  b o ‘lsin,  ya’ni 
y=F(u), 

(p(x) 
yoki 
y  
f \ j p ( x ) \ ,
 
u—o ‘zgaruvchi,  oraliq  argum enti  deyiladi. 
y=F(u)
va 
u = 

differensiallanuvchi  funksiyalar  b o is in .
M urakkab  funksiyani  differensiallash  qoidasini  keltirib 
chiqaramiz. 
Teorema. 
M urakkab 
F(u)
 
funksiyaning  erkli  o'zgaruvchi 
x
  bo‘yicha 
hosilasi  bu  funksiyaning  oraliq  aigum enti  b o ‘yicha  hosilasining 
oraliq 
argum entining  erkli  o'zgaruvchi 
x
 
b o ‘yicha  hosilasiga 
ko'paytmasiga 
teng,  y a’ni
y'x =F;,(u)-u'x( x).
 
(1)
Misol. 
y
 = (x 7 +3xJ + 5 ;r +4) 
funksiyaning  hosilasini 
toping. 
Yechish. 
berilgan  funksiyani  m urakkab  funksiya  deb  qaraym iz 
ya’ni 
y = u
6; 
u = x 1  +'3x^  + 5 x 2  + A
  (1)  form ulaga  asosan
y[.  =y'u ■ u\
 
+ 3 jf’ + 5 x 2 + 4 )6j  = 6^a'7 +3.rJ + 5x2 + 4) 
-{ix6 +9x2
 + 10jc|
3.8.  Teskari  funksiya  va  uni  difTerensiallash.
Aytaylik  biror  [a,b]  kesm ada  aniqlangan  o ‘suvchi  yoki  kam ayuvchi
y  = f ( x )  
(1)
funksiya  berilgan  bo‘lsin.  Shu  bilan  biiga  f(a)=c;  f(b)=d  bo‘lsin  (116-chizma).
171

Y]
i /í ií íM
i


^  al 
!* 
¡ 
¡
i  
/



.
'S   0
• 
** 
i
Aniqlik  uchun  ya’ni  o'suvchi 
ñinksiyani tekshiraylik. 
[a,  b
]  kesmaga 
tegishli  ikkita  har xil  x,  va 
x2
  qiymat- 
lami  qaraymiz.
0 ‘suvchi  funksiya  ta’rifidan,  agar
x,y,  = / ( * , )  
y 2 = f ( x 2)
bo'lsa  u  vaqtda 

  bo'lishi  kelib 
chiqadi.  Shunday  qilib, 
x
  ning  qiy- 
matlari  bilan  y  ning  ularga  mos  qiy- 
, , ,   ,. 
matlari  orasidagi  o'zaro  bir  qiymatli
116-cluzma- 
moslik  aniqlanadi.
y
  ning  qiymatlarini  argumentning  qiymatlari  deb, 
x
  ning  qiymat- 
larini  esa  funksiyaning  qiymatlari  deb  qarab, 
x
  ni 
y
  ning  funksiyasi 
sifatida  olamiz.
x = 

 
(
2
)
Bu funksiya 
y = f ( x )
  funksiya uchun teskari funksiya deyiladi. 
y = f ( x )
funksiya ham 
x = 

)  funksiya uchun teskari funksiya ekanligi ravshan.
Xuddi  shuningdek,  kamayuvchi  funksiya  ham  teskari  funksiyaga  ega 
ekanligini  ko‘rsatish  mumkin.
Teskari  funksiya 
y=f(x)
 tenglamani 
x
 ga  nisbatan  yechish  yo‘li bilan 
topiladi.  Bu  funksiyaning  grafíklari  ustma-ust  tushadi.  Agar  teskari 
funksiya  argumentini  yana  x  bilan,  funksiyani  esa  y  bilan  belgilasak  va 
ulami  bir  koordinata  sistemasida  chizsak,  u  holda  ikkita  har  xil  grafik 
yechim  bo'ladi.  Grafiklar  birinchi  koordinata  burchagining  bissektrisa- 
siga  nisbatan  simmetrik  bo‘ladi.
Endi  teskari  funksiyaning  hosilasini  bilgan  holda 
y = f ( x )
  funksiya 
hosilasini  topishga  imkon  beruvchi  teoremani  ko'rib  o'tamiz.
Teorema.  Agar 
y = f ( x )
  funksiya  uchun  tekshiriladigan  y  nuqtada 
noldan  farqli 


  hosilaga  ega  bo'lgan 
x -  

  teskari  funksiya
mavjud  bo‘lsa,  u  holda  tegishli 
x
  nuqtada  y=f(x)  funksiya 
y   ~ 

ga  teng  bo‘lgan 
f ’(x)
  hosilaga  ega  bo'ladi.  ya’ni 
f ' ( x ) =
Isboti.  Ay  orttirmani  olganimizda  Ax = ç?(y + 
à y ) - ( p ( ÿ )
  (2)  ga 
asosan 
ç ( y ) -
  monoton  funksiya  bo'lgani  uchun  Ax*0
Ay  _
  1
Ushbu  ayniyatni yozamiz. 
¿sx~  Ax
  uzluksiz funksiya bo'lgani uchun
172

Ay-»O  da  A x -> 0 A y -» 0   da  limitga  o ‘tamiz.  y'x = 

  yoki
f ( x ) = 7 ( 7 )
3.9.  Ba’zi  bir  elementar  funksiyalarning  hosilalarí.
1)  Logarifmik  funksiyaning  hosilasi.
1
,
1-teorema.  y  =
 loga Jc  funksiyaning  hosilasi  —logae  ga  teng  ya’ni 
*  1.
agar  y = loga x  bo'lsa,  y
 
= —loga e  bo'ladi.
Isboti. 
x  ga 
Ax 
ga  orttirma  beramiz,  u  holda  y  ham  Ay  orttirma 
oládi;  ya’ni 
y  +
 Ay = Ioga(x + Ax);
Ay = loga (x + Ax) -  loga x = log„
x + Ax 
X  
)
= log  I  1 + — I.
Tenglikning  har  ikkala  tomonini  Ax  ga  bo‘lamiz.
4 ü = -L .lo g

A  
6
 
0
Ax 
Ax
i + *
A
y
 

x 
:  -
 =  - — . l o g a 
Ax 
x  Ax
i + *
= - - lo g a
- f f
Ax 
Ay
 
1  ,
—  = 
ce
 bilan  belgilaymiz.  —  = —- l o g f l  + a )« 
x
 
Ax 
x
—  = a
  boMgani  uchun, 
y'
 = lim— -lo g ^ l + a )«   = —Iogae  bo'ladi. 

m
0
x
 
x

1 , 1 1  
loga e = —  
y = ~ — .
\ na
 
x  ln 
a
, 1  

  , 
1
Agar  y=lnx  bo‘lsa 
y   = —
  bo'ladi. 
y   = —
x
 
x
2)  n  butun  va  musbat  bo‘lganda 
y  = x n
  funksiyaning  hosilasi.
2-teorema.  y  = x"
  funksiyaning  hosilasi  (bunda  n  butun  musbat) 
^.n-iga  teng,  ya’ni 
y  = x"
  bo'lsa 
y' = n - x
"~1  ga  teng.
1)  ,y +  Ay =  ( x  +  A x )" .
173

2) 
Д у = (х  

Ах)"  - x ” 

x"
  + у х " ~ 1Ах 
Я^7
 
^
x"
  2(Дх)2  + ....+ (A x)" 
- x "
yoki  A
y = nx"~l 
Лх +  И^И  ^  
x "  2
  (A jf)2+ ....
+ (A*)”
AV_,  n-l  ,  " ( " “ О
, - 2
3) 
—  = 
nx"~'+-^
----- ¿ x n_2Ax + .... + (Ax)'
Ax 
1-2  

7
4
\   У  =  lim —  =  lim

Д г - » 0   Д у  
Дх->0
л-1 
я ( / 7  
l )  
;  •> 
/  А  \ л
их 
+ —------ - x   'Д х + .... + (Ах)
1-2 


= пх
Demak, 
ÿ  = их"'1.  Bü  formulani  n  kasr  va  manfiy  bo‘lgan  holda 
ham 
to‘g‘riligini 
ko‘rsatish  mumkin.
3)  y = s in x ,  y = c o s x   funksiyaning  hosilalari.
3-teorema,  cosx  ning  hosilasi  -s in x ,  ya’ni  agar  >> = cosx  bo‘lsa 
У  = -sin x   ga  teng.
Isboti.
 

Ay 
= co s(x  + Ax) 
A
y  = cos(x + Ax) -  cos x = 2sin
.  x  + Ax +  x  
.  x - A x - x  
-------- sin-------------
_  . 
2
x + Ax  . f
Ax^
= -
2
sin|
Ax^

2
sm --------- sm

x  + —
2
^4
~
2
>

2
 
J
4
у
Ax
2
 sin
/  
Л 
N
Ax
x + —

2
  y
•  Ax 

Ax 
sm —  
sin —
Ax
Ax
2
2
•sm
.  Ax 
sin —
Ax 
x + —

2
  y
.  Ax
sin-
..  A
y
 
..  J“‘ 2  r 
■  f
 
A* 
lim —  = -  h m —
l im sm|   x + —
дг->о д* 
Ax
  Дг-Ю
2
.  Ax 
sm—
I
m
«  A
x
 
^  bo'lgani  uchun  ^  

= —s 'n * .
4-teorema.  sinx  ning  hosilasi  (sin x ) ’ = co sx  ga  teng.
174

Isboti.  (Yuqoridagiga  o ‘xshash  isbot  qilinadi,  isbot  qilish  talabalarni 
o'zlariga  topshiriladi).
5-teorem a.  tg  x  ning  hosilasi  (tgjc)' = — —  ga  teng.
eos' 
 
,  
1
6
-teorem a.  ctgx  ning  hosilasi  (ctgx)  = — —  ga  teng.
sin 
X
Bu  teoremalarni  mustaqil  isbot  qilish  ham  talabalaming  o ‘zlariga 
topshiriladi.
3.10.  Teskari  trigonometrik  funksiyalar  va  ularning  hosilalari.
1
)  y= arcsinx  funksiyasini  qaraylik.
Buning  uchun  ushbu  x = s in y   funksiya- 
ni  olam iz.  Bu  funksiya 
- a o < _ y < + o o  
intervalda  aniqlangan  (1 17-chizma).

n
- < y <  — kesmada  funksiya  o ‘suv-

2
chi,  uning  qiymatlari  — 
1
  < jc < 
1
  kesmani 
to ‘ldiradi.  x=siny  funksiyaga  teskari  fun­
ksiya  mavjud.  Bu  funksiya 
- 1
 <  < 1  kes­
m ada  a n iq la n g an ,  u n in g   qiy m atlari

я
—  <>■<—  kesmani  toMdiradi.

2
1
1
-teorem a.  aresinx  funksiyaning  hosilasi  У  ~  ^ -----
7
  ga  teng.
Isbot.  x = s in y , 
=cos>>  Teskari  funksiyani  differensiallash  qoi-
dasiga  binoan  y ' x - ~ - ------ ! 
eos y - y j \ - s i n 2 y  - \ J \ - x ~  
bo‘lga-
x 
eos y
1
nidan  Ух  ~  ^ ---- -  ga  teng.
Ildiz  oldida  plyus  ishora  olinadi,  chunki  y=arcsinx  funksiya 

n
~ — < y < —  kesmada  qiymatlar  qabul  qiladi.  Demak,  cosy>0.
1
Misol.  y  = arcsin er ;  y' = — , 
-(g T)  =
175

2-teorema.  arc  cosx  ; 
У
  ~ 
~ ^  
2-  ga  teng.
1
3-teorema.  arc  tgx  ;  у   = - -----   ga  teng.
1
 + дс
4-teorema.  arc  ctgx  ;  /  = -  
*  ,  ga  teng.
1 + 
X '
Yuqoridagi  teoremalami  mustaqil  isbot  qilish  talabalaiga  topshiriladi.
3.11.  Differentsiallashmng  asosiy  formnlalari  jadvali.
Oldingi  mavzularda  chiqarilgan  barcha  form ulalar  va  qoidalam i 
tubandagicha  jadval  qilamiz.
1)  y=const  ;  y'  = 0 .
2) 
y  
= x a;  y  = a x a~\
1
3)  , - Æ ;
1
 
1
4) 
y = ~ ;  
y  = ~ —
X  
X
5)  y  = a*;  y' = a*\na.
6)  y  = ex;  /  =
7)  ^ = log0 x; 
y ' = -
log0e.

1
8
)  y  = ln * ; 
у   = - .
9)^ = sin^; 
ÿ
 = cosx.
10)  jy = cosx; 
y  = -sin x  
1
11) 
y  = igx;  y' =
C O S2 
X
1
12) 
У = ctgx; 
у  
= — :
sin2 
X
1
13) 
У = arctgx; 
у   =
1 + x 2
176

1
14) 
y  = arcctgx;  y   = -
l + x 2
1
15) 
У = 
arcsine; 
у   -- ^ ------ .
1
16) 
У = arccosx;  y   = - - j = = .
Diñerentsiallashning  umumiy  qoidalari.
1) 
y  = cu(x) ; ÿ  = cu'x, (с = const).
2) 
у  = и
 + 


w
 ; 
у' = и' +
 v' + w\
3) 
y  = u - v ;  ÿ  = u'-v + u-v'.
и 

u ' - v - u - v '
4>
5) 
У 
| ; У = / ; ( “ )■«Л 4
u = f ( x )  J
6

y  = u v  ;  y ' = vuv-'u' + uv'\nu.
0 ‘z-o‘zini  teksbirish  uchun  savollar.
1.  Funksiyaning  berilgan  nuqtadagi  hosilasi  ta’riflni  bering.
2.  Funksiyaning berilgan nuqtadagi hosilasining geometrik ma’nosi nimadan 
iborat?
3.  Hosilaning  mexanik  ma’nosi  nimadan  iborat?
4.  Funksiya  differensiallanuvchanligini  zaruriy  sharti  nimadan  iborat?
5.  0 ‘zgarmas  sonning  hosilasini  keltiiib  chiqaring.
6.  Yig’indi,  ko‘paytma  va  bo'linmaning  hosilasini  hisoblash  formulalarini 
keltiiib  chiqaring.
7.  Oshkormas  funksiyani  differensiallash  formulasini  keltirib  chiqaring.
8.  Murakkab  funksiyani  differensiallash  formulasini  keltirib  chiqaring.
9.  Qanday  funksiya  teskari  funksiya  deyiladi?
10.  Teskari  funksiyani  differensiallash  formulasini  keltirib  chiqaring.
11.  Logarifmik  funksiya  hosilasining  formulasini  keltirib  chiqaring.
12.  Ko‘rsatkichli,  trigonometrik  funksiyalar  hosilalari  uchun  formulalar 
chiqaring.



Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   29


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling