Farxod rajabov


  Boshlang‘ich  funksiya  tushunchasi


Download 6.24 Mb.
Pdf просмотр
bet20/29
Sana15.12.2019
Hajmi6.24 Mb.
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   29

5.1.  Boshlang‘ich  funksiya  tushunchasi.
Biz  F(x)  funksiya  berilganda  uning  hosilasini  yoki  diflerensiali 
f ( x )  = F \ x )   ni  topishni  ko'rdik.  Endi  esa  teskarí  masalani  qaraymiz. 
f(jc)  funksiya  berilgan:  shunday  F(x)  funksiyani  topish  kerakki,  uning 
hosilasi  f(x)  ga  teng  bo'lsin,  ya’ni  F ’(x)  =   f(x)  (1)  bo'lsin.
Ta’rif.  Agar  [a,b]  kesmada  aniqlangan  f(x)  funksiya  uchun  bu  kes- 
maning  barcha  nuqtalarida  F ’(x)=f(x)  tenglik  bajarilsa,  F(x)  funksiya 
shu  kesmada  f(x)  funksiyaga  nisbatan  boshlang'ich  funksiya  deb  ataladi. 
Misol.  f(x )= ^   funksiyaga  nisbatan  boshlang'ich  funksiya  topilsin.
5
X
Boshlang'ich  funksiya  ta ’riflga  asosan  F(x)=  —   funksiya  boshlang'ich
5-§.  Aniqmas  integral  va  uning  xossalari
ekani  kelib  chiqadi,  chunki
Agar  f(;x)  funksiya  uchun  boshlang'ich  funksiya  mavjud  bo'lsa,  u 
boshlang'ich  yagona  bo'lmasligini  ko'rish  oson.
Masalan,

5
F(x) = —  + S;F(x) = —  + 9 .

5
X '
F(x) = —  + c  lar  ham   f ( x ) = x A  funksiya  uch u n   b o sh lan g 'ich  
funksiyalardir.
Agar  F,(x)  va  F
2
(x)  funksiya  f(x)  funksiyadan 
[a,b]  kesmada 
boshlang'ich  funksiyalar  bo'lsa,  ular  orasida  ayirma  o'zgarmas  songa 
teng  bo'ladi.  Agar  berilgan  f(x)  funksiya  uchun  qanday  bo'lm asin  bir- 
gina  F(x)  boshlang'ich  funksiya topilgan  bo'lsa,  f(x)  funksiya  uchun  har 
qanday  boshlang'ich  funksiya  F (x)+ C   ko'rinishga  ega  bo'ladi.
5.2.  Aniqmas  integral  va  uning  xossalari.
Ta’rif.  Agar  F(x)  funksiya  biror  kesmada  f(x)  funksiya  uchun 
boshlang'ich  bo'lsa,  F(x)+ C   ifoda  F(x)  funksiyadan  aniqmas  integral
deb  ataladi  va  ushbu 
j/(x)cbc  ko'rinishda  belgilanadi.  Ta’rifga  ko'ra
F ’(jc)=f(jc)  bo'lsa
,  j f ( x ) d x  = F(x) + c  bo'ladi.
Bunda  f(x)  funksiya  integral  ostidagi  funksiya,  f(x)dx  integral  osti- 
dagi  ifoda,  }  —  belgi  integral  belgisi  deb  ataladi.
188

Shunday  qilib,  aniqmas  integral  y=F(x)+C  funksiyalar  to ‘plamidan 
iborat.  Geom etrik  nuqtayi  nazaridan  qaraganda  aniqmas  integral  egri 
chiziqlar  to ‘plamidan  (oilasidan)  iborat  bo‘lib,  ulaming  har  biri  egri 
chiziqlardan  bittasini  o ‘z -o ‘ziga  parallel  holda  yuqoriga  yoki  pastga, 
ya’ni  Oy  o ‘q  bo'ylab  siljitish  yo‘li  bilan  hosil  bo‘ladi.  Har  qanday  f(x) 
funksiya  uchun  ham  boshlang'ich  funksiya  mavjud  boiaveradim i?  Tek- 
shirishlar  har  qanday  funksiya  uchun  ham  boshlang'ich  funksiya  mavjud 
bo‘lavermasligini  ko'rsatadi.  Agar  f(x)  funksiya  [a,  b]  kesmada  uzluksiz 
bo‘lsa,  bu  funksiya  uchun  boshlang‘ich  funksiya  mavjud  bo‘ladi.  Be- 
rilgan  f(x)  funksiya  bo'yicha  uning  boshlang‘ich  funksiyasini  topish  f(x) 
funksiyani  integrallash  deyiladi.
Aniqmas  integral  quyidagi  xossalarga  ega:
1.  Aniqmas  in te g ra tin g   hosilasi  integral  ostidagi  funksiyaga  teng, 
ya’ni  F ’(x)=f(x)  bo‘lsa,  u  holda:
(J/Q 0 < fr)  = (F (x )  + c)  = f ( x ) .
2.  Aniqmas  integralning  differensiali  integral  ostidagi  ifodaga  teng.
d [ \ f ( x ) c b c )  = f {x) dx .
3.  Biror  funksiya  differensialining  aniqmas  integrali  shu  funksiya 
bilan  ixtiyoriy  o'zgarmas  sonining  yig'indisiga  teng.
d F( x ) = F( x)  + c.
4.  Biror  funksiyaning  hosilasidan  olingan  aniqmas  integral  shu  fun­
ksiya  bilan  ixtiyoriy  o ‘zgarmasning  yig‘indisiga  teng,  ya’ni
F \ x ) d x  = F(x) + c.
5.  Chekli  sondagi  funksiyalar  algebraik  yig'indisining  aniqmas  inte­
grali,  shu  funksiyalar aniqmas  integrallarining  algebraik  yig'indisiga  teng.
J I/i (*) + f i  W ]dx = J /i (x)dx +  J / ,  ( x ) d x .
Haqiqatan  ham  bu  tenglikning  chap  va  o‘ng  tomonlarining  hosila- 
larini  topsak.
( J [ / ,  ( * )  +   / 2 W
] ^ ) '   =  / ,  
( * )  +
  / 2  ( J c )


t
( j / i U > f r +   \fz(.x)dx}  = (J /,(x )o !r)  + ( J / 2(x)rfx)  = / , W  + / : W .
ga  ega  bo'lam iz.  Demak,  tenglikning  chap,  o ‘ng  tomonlarining  hosila- 
lari  o'zaro  teng,  ya’ni  chap  tom onda  turgan  har  qanday  boshlang‘ich 
funksiyaning  hosilasi  o ‘ng  tom onda  turgan  har  qanday  funksiyaning 
hosilasiga  teng.
189

6

0
‘zgarmas ko'paytuvchini  integral  ishorasi  ostidan  chiqarish m um - 
kin,  ya’ni  a=const  bo'lsa, 
j q f  (x)dx = a j f  (x)dx
t
Buni  isbotlash  uchun  ham   hosila  olamiz. 
^ a f( x ) c b cj  = a f(x)

t 
[ a \f{ x )d x }  
=a(J/(*)a5c)  = 
a f ( x ) .
Aniqmas integrallami hisoblaganda  quyidagi  qoidalami  nazarda tutish 
foydali:
1.  Agar 
j f ( x ) d x  = F(x) + c  bo‘lsa  jf ( a x ) d x  = —F(ax) + c  bo'ladi. 
Haqiqatan  ham,
t
( J
f(ax)dx}  = f ( a x ); 
t
i - F ( a * ) l   = - ( JF(ax)) 
= -F '(a x)a ;  F'(ax) = f(a x ).
\ a  
)  

a
2.  Agar 
^ f(x )d x  = F(x) + c  bo'lsa  ^ f { x  + b)dx = F (x  + b) + c.
3.  Agar 
\ f ( x ) d x  = F(x) + c  bo'lsa  \ f ( a x  + b)dx = - F ( a x  + b) + c. 
riiso l.
1)  J(5jc
4
-3 co sjc  + 4-s/jf
^dx = ^5x*dx-  J3 cos xdx +  j4\[xdx =
i  i 
—+1
4+1 

>
 

_
_  x  
x -  
<
 
_  . 

{—
= 5 -— - - 3 s m jt  + 4 - ---- + c = x   - 3 s m x  + - x y / x  +c;
2
4+1 
l. + 
1
 
3 '
2)  f—'^   ■
 = —ln(2jc + 5) + c;  3)  lsin
8
;raic = - - c o s
8
;t + c;

2 x
 + 5 


8
4)  jc o s(3 ;c -5 )d t = ^ s in (3 ;t-5 ) + c.
Asosiy  fonnulalar  jadvali.
Aniqmas  integralning  ta ’rifi,  xossalari,  shuningdek  differensiallash- 
ning  asosiy  formulalaridan  foydalanib,  eng  sodda  elem entar  funksiya- 
lam ing  integrallarini  jadvalini  tuzamiz:
190

l)¡dx =
x + c;
n )í:
dx

 =  
-c tg x
 +  c;
a+1
2) 
fx a í¿t = - —  

c  ( a r * - l ) ;  
12) 
frgx¿/jc =  
— 
l n
Icos
jc| + 
c; 

a  + 1 
J
_4  cdx 
1
3)1—  = —  + c;
J X‘ 
X
4 ) f * = 2Æ  + c;
V I
5)  f—  = ln(jr) + c;
J  x
6)  [a ' Ja: = 
c; 
J
 
ln o
l ) ^ e xdx = e x  + c;
13) jctgxdx = ln |sin jc| + c; 
И ) / - "
1
 + 
X

 arctgx + c;
, 5 ) f -
16)J
dx
 

X
— 7
 = -  arctg— + c; 
a  + x ' 

a
dx
2
 
2
= —  ln
a  - x ' 
2a 
dx
a + x
+ c
;
arcsin x  + c:
8) Js¡nxútc = - c o s x  + c; 
18) J   ,— =
y] a 2  -  x 2
9) jcos xdx = sin 
+ c;
dx 
.  x
= arcsin — + c; 
a
19)  f  .  ^ —  = ln 
x + j x
2
 ± a
2
yjx 1  ± a 2
+ c.
10)  f
= Щх + с;
* Г П С ■  V
Yuqoridagi  formulalaming  to ‘g ‘riIigi  diflerensiallash  yo‘li  bilan  is- 
botlanadi.
5.3.  Integrallash  metodlari.
1) 
0 ‘zgaruvchilarni  almashtirish  usuli  bilan  yoki  o'm iga  qo‘yish 
usuli  bilan  integrallash.
j' f ( x ) d x   ni  hisoblash  talab  qilinsin.  Ayrim  hollarda    o ‘zgaruvchini
yangi  o ‘zgaruvchiga  almashtirish  yordamida,  ya’ni  x = 
 deb  olib, 
integral  ostidagi  ifodani  soddalashtirish  mumkin.
dx -  
j f ( x ) d x  =  ^f[
Integrallashdan  so‘ng  t  o'm iga  uning  x  orqali  ifodasi  qo'yiladi.
191

( J / д а * )  х  = / ( * ) •
0
‘ng  tom onini  X  bo'yicha  murakkab  funksiya  kabi  differensial- 
dx 
,
laymiz.  t  oraliq argument 
~  = (P (Oteskari  funksiya differensialiga asosan
at
dt 
1
dx 



¡w w w ), =
 ( 
\№*)W№)t
 ¿ =
nmm)-—
=
пт]=m
integrallashda  o'zgaruvchini  almashtirish  b a’zan 
x  = 
  ko'rinishda 
emas,  balki 
t = if/(x)  ko‘rinishda  qulayroq  bo'ladi. 

i//'(x)dx
Agar  integral  J—
ko' ri ni shda  bo'lsa,  quyidagi  ko'iinishda  al- 
m ashtirish  bajaramiz.
t//(x) = f,  y/\x)d x = dt. 
r r W * = M   = |n | ,   c = |n | 
.

v(x) 
> t 
11
 
1 1

j
Misol. 
\— e xdx  integral  hisoblansin.
J x
1
 

1
 
j  
Yecbish. 
x = -   deb  olamiz.  U  holda  d x - — - d t  ■
 

t
J f V ^
— ^jjdt = - j e ' d t  = 
- e ‘ 
+c = - e s  + c  .
2
)  bo‘laklab  integrallash.
Ko'paytmaning  differentsiali  formulasiga  ko‘ra:
d(u&) = udS +
1
9du;  uS =  JudS +  j&du;
ju d S  = Mt9 -  j$du; 
bu  formula  boiaklab  integrallash  formulasi  deb  ataladi.
M isol.  Jxsinxdx  integral  hisoblansin.
Yechish.
и = x; du = dx; d S  = smxdx\  i9 = -co sx .
Jxsin 
Xdx = -x co s x +  Jcos xdx = -x c ö s  x + sin x + c.;
Jx*sinaxc£t, Jx* 
cosaxdx, j x ^ e ^ d x , Jx* lnxcir,
192

kabi  va  teskari  trigonom etrik  funksiyalar  ishtirok  qilgan  b a’zi  integrallar 
bo'laklab  integrallash  yordaml  bilan  hisoblanadi.
Misol.  Jarcctgjrdv  integral  hisoblansin
w = arcctgx; 
du = — — r',  d S  = dx;  & = x. 
l + x
Jarcctgxdx = xarcctgx + J   *  2 dx = xarcctgx’+^-bjl + x 21 + c.
0 ‘z -o ‘zini  tekshirish  uchun  savollar.
1.  Boshlang'ich  funksiya  deb  nimaga  aytiladi?
2.  Berilgan  funksiyaning  aniqmas  integrali  deb  nimaga  aytiladi?
3.  Aniqmas  integralning  xossalarini  aytib  bering.
4.  Aniqmas  integralda  o'zgaruvchilami  almashtirish  usuli  nimadan  iborat?
5.  Aniqmas  integralda  bo'laklab  integrallash  formulas ini  keltirib  chiqaring.
6-§.  Aniq  integral
6.1.  Aniq  integral  va  uning  xossalari.
Aniq  integral  m atem atik  analizning  asosiy  tushunchalaridan  bin 
bo'lib,  m atem atika,  fizika,  mexanika  va  boshqa  fanlarda  tekshirishning 
eng  kuchli  quroli  hisoblanadi.
Egri  chiziqlar  bilan  chegaralangan  yuzalarni,  egri  chiziq  yoylari 
uzunliklarini,  hajm lam i,  ishlam i,  tezliklami,  yo'llam i,  inersiya  m o- 
m entlarini  va  hokazolam i  hisoblash  ishlarining  hammasi  aniq  integralni 
hisoblashga  keltiriladi.
127-chizma.
193

Aniq  intégral  tushunchasiga  olib  keluvchi  masala. 
[a,  b]  kesmada 
y=f(x)  uzluksiz  funksiya  berilgan  b o isin   (127-chizm a).  Berilgan  y=f(.x) 
funksiya  grafigi,  abssissa  o ‘qi, 
x=a  va  x=b  vertikal  to ‘g‘ri  chiziqlar 
bilan  chegaralangan 
aABb  tekis  figura  egri  chiziqli  trapetsiya  deyiladi. 
Shu  egri  chiziqli  trapetsiya  yuzini  topam iz.  Buning  uchun 
y=f(x)  fun- 
ksiyaning  kesmadagi  eng  katta  va  eng  kichik  qiymatlarini  mos  ravishda
b — a .   .
 va  m  bilan  belgilaymiz.  [a;  b\  kesmani  x t =a-\------- /,  z = U, 
1
,. .., «
n
nuqtalar  bilan 
n  ta   kesmachalarga  ajratamiz,  bunda  x
0
deb  hisoblaymiz  va 
x ~ x = A x {  x
2
~ x= A xv   xn—xri_=Axn  deb  faraz  qi- 
lamiz,  so'ngra 
f(x)  funksiyaning  eng  kichik  va  eng  katta  qiymatlarini: 
[jc0; 
x,]  kesmada  /n,  va 
M,  bilan;
[x,; 
x7]  kesmada  m
2
  va 
M
2
  bilan;
[xn  l;xn]  kesmada  m n  va  M n bilan  belgilaymiz.
Endi  quyidagi  yig‘indilami  tuzamiz:
n
£*  =   m (Ax,+  m
2
Ax2+.  .  .+   m nAxn= X m ' ^ ' ;
/-1
n
7n =  M,Ax,+  M
2
AXj+.  .  .+   M nAxn= Z M ^ -   •
i “ l
Bu  yig'indilar  intégral  yig'indi  deyilib,  mos  ravishda  ichki  va  tashqi 
chizilgan  zinasimon  shaklni  siniq  chiziq  bilan  chegaralangan  yuziga 
teng  bo ‘ladi.  Bundan  esa 
s n  < 
< s n tengsizlik  o ‘rinli  bo'ladi.  Agar 
[a;b]  kesmalam i  yana  ham   kichiklashtirib  bo'laklarga  ajratsak,  n  yetar- 
lik  darajada  b o ‘lganda  £„  va 
sn lar  bir-biridan  kam  farq  qiladi  va  egri 
chiziqli  trapetsiyaning  yuzini  aniqlaydi.
Ta’rif.  Aytaylik, 
y=f(x)  xe[a\  b]  manfiy  bo'lm agan,  uzluksiz  fun­
ksiya  bo‘lsin.  Bu  holda,  agar  | î b}  va  | î „ |   ketm a-ketliklar  limitlari
mavjud  b o ‘lib,  bir-biriga  teng  bo'lsa,  lim itning  qiymati  egri  chiziqli 
trapetsiyaning  yuzi  deyiladi.
6.2.  Integra!  yig‘indi,  aniq  integraIning  ta’rifi.
Endi  [x#;  x,],  [x,;  x2],  ...,  [xn.p  xn]  kesmalam ing  har birida bittadan 
nuqta  olamiz.  Bu  nuqtalam i 
bilan  belgilaymiz.
Bu  nuqtalam i  har  birida  / ( # , ) , / ( £ 2)>—> /(£ * )  qiymatlami  hisob­
laymiz.
194

= / ( i , ) A x ,   + / ( £ ; ) A
x
;  + . . .  + / ( £ „ ) A x „   = £ / ( £ , ) Ax ,
)=i
yig'indini  tuzamiz.
Bu  yig‘indi  [a\  b]  kesmada  f(x)  funksiyaning  integral  yig‘indisi  deb 
ataladi.
[xM;  x]  kesmaga  tegishli  bo'lgan  har  qanday  £,  nuqta  uchun 
mi  < / ( £ , ) < M , v a  barcha  Ax,  > 0   bo'lganda  m tAx,  < / ( £ ,  )Ax,  < M tAxt


n
demak, 
 
yoki  s n  < s „ < ^ .
/ = 1  
i=i  
i = i  

Bundan  ko‘rinadiki,  yuzi  s n  ga  teng  bo'lgan  shakl  ichki  va  tashqi
chizilgan  siniq  chiziq  bilan  chegaralangan  yuzalar  orasida  yotadi.  sn 
yig'indining  qiymati  [a;  b\  kesmani  [x 
x ]  kesmalarga  ajratish  usuliga 
hamda  hosil  qilingan  kesmani  ichida 
nuqtalami  tanlab  olishga  bog'liq. 
Endi  max[x 
x]  bilan  kesmalami  eng  uzunini  belgilaymiz  va  max[x 
xj 
nolga  intiladigan  holni  qaraymiz.  H ar  bir  ajratish  uchun 
ning  mos
n
qiymatini  tanlab  s „  ~ ^ f ( ^ ,  ) ^ x ,  integral  yig'indisini  tuzamiz.
/ =i
n -> oo intilganda  max Ax,  -> 0  bo'ladigan  Jn  ketma-ketlikni  qaraymiz 
va  u  biror  limitga  ega  bo‘lsin.
H
lim  s„= 
lim  £ / ( £ ) A x ,   = s.
maxArl -+0 
max A
t
, —>0 /= |
l - t a ’rif.  Agar  [a;  b\  kesma  max A x ,->  Oshartni  qanoatlantiradigan
har  qanday  bo‘laklarga  ajratilganda  va  [x 
x]  kesmada  £,  ni  istalgan-
/>
cha  tanlab  olganda 
= 
integral  yig‘indi  birgina  limitga
/ = i
intilsa,  u  holda,bu  limit  [a;  b\  kesmada  f(x)  funksiyaning  aniq  integrali
h
deb  ataladi  va  j/(x)< /x  bilan  belgilanadi.  Shunday  qilib,  ta ’rifga  ko‘ra:
a
lim  ¿ / ( # ,  )Ax,  =  j f ( x ) d x .
maxA.T,-*0  ,  .

v-i 
a
a  —  son  in te g ratin g   quyi  chegarasi,  b  —  son  esa  integralning  yuqori 
chegarasi  deyiladi.  [a;  b]  integrallash  kesmasi,  x  esa  integrallash 
o ‘zgaruvchisi  deyiladi.
195

2-ta’rif.  Agar 
f(x)  funksiya  uchun  yuqoridagi  limit  mavjud  b o isa , 
u  holda  funksiya  [a; 
b]  kesmada  integrallanuvchi  funksiya  deyiladi.
Agar integral  ostidagi 
y=f(x)  funksiyaning graflgini  chizsak  / ( * ) > 0  
b
bo'lgan  holda  //(* )* &   integralning  son  qiymati 
y=f(x)  egri  chiziq,
a
x=a,  x=b  to ‘g‘ri  chiziqlar  hamda  Ox  o ‘qi  bilan  chegaralangan  egri 
chiziqli  trapetsiya  yuziga  teng.
6.3.  Integralning  mavjudligi  haqidagi  teorema.
Teorem a.  (isbotsiz  keltiramiz).  Agar 
f(x)  funksiya  [a;  b]  kesmada 
uzluksiz  bo* Isa,  u  holda  bu  funksiya  shu  kesmada  integrallanuvchidir. 
U ziluvchan  funksiyalar  orasida  integrallanuvchi  funksiyalar  va  integral- 
lanmovchi  funksiyalar  ham  bo'lishi  mumkin.
Eslatma.  1.  aniq  integral  faqat  f(x)  funksiyaning  turiga  va  integral­
ning  chegarasiga  bog'liq,  amm o  har  qanday  harf  bilan  belgilanishi 
m um kin  bo'lgan  integrallash  o'zgaruvchisiga  bog'liq  emas.
\ f ( x ) d x  = \ f ( t ) d t  =... =  j f ( z ) d z .


a
b
2
.  \ f { x ) d x   aniq  integral  tushunchasini  berishda  a  deb  faraz
a
qildik.  Agar 
b  bo'lsa,  ta ’rifga  ko‘ra  :

a
 

6
\fi.x )d x  = -   | / (x)d x;  Misol  \ x
3
 dx = - f r d x

b
 

0
3.  Agar 
a=b  b o ‘lsa,  ta ’riflarga  ko'ra,  har  qanday  funksiya  uchun 
tubandagi  tenglik  o ‘rinli  bo'ladi.
J /  
(x)dx = 
0
6.4.  Aniq  Integralning  asosiy  xossalari.
y =f ( x )   funksiya  [a;  b\  kesmada  aniqlangan  va  uzluksiz  bo'lsin. 
b
U   holda 
\ f ( x ) d x mavjud  va  quyidagi  xossalar  o'rinli.
a
1-xossa.  O'zgarm as  ko'paytuvchini  aniq  integral  belgisining  tashqa- 
risiga  chiqarish  m umkin,  agar 
C= const  bo'lsa,  u   holda
jC f(x)d x = C jf( x ) d x _

a
196

) c / ( x ) d x  = 
lim 
¿ C / ( £ ) A x , =
»  
ffiav Av  _kH  .  .
Isboti.
max Arf->0
b
= C  *lim  ' £ f ( 4 l)Axl = c j f ( x ) d x .
m axA r,->0;_. 
J
• 
i- i 
a
2-xossa.  Bir  necha  funksiyalar algebraik  yig‘indisining  aniq  integrali 
qo'shiluvchilar  aniq  integraliarining  algebraik  yig'indisiga  teng.  Masa- 
lan,  ikkita  qo'shiluvchi  bo'lgan  hoi  uchun  yozib  isbotlaymiz.
J[/, 
O ) + 
f
2
 (x)]dx =  J/ ,  (x)dx + 
J/ 2 
(x)dx.


a
Isboti.  f[ A( x)  + 
f
2
(x)]dx=  lim  ¿ [ / 1(#,) + / 2(i,)]A x< =
*  
ma v  Ar .  —
.  .
Xl 
/b!
=  lim
maxA.T->0
=  lim  2 / , ( £ ) A x , +
m ax A r,-»0  ;
b j
+  lim  2 / 2(£ )A x,  = 
\ f , ( x ) d x + \ f
2
(x)dx.
max A*,—
»0 ,  . 
•  
"

/s| 

a
Qo‘shiluvchilar  soni  har  qancha  b o ‘lganda  ham  shunday  isbot 
qilinadi.
3-xossa.  (Bu  xossa  a t b   bo'lgandagina  bajariladi).  Agar  [a,  b] 
(a  kesmada  f ( x ) v a  
  funksiyalar  f ( x ) < ( p ( x )   shartni  qanoat-

b
lantirsa,  u  holda  j /
(x)dx <,  j
  o'rinli.

a
Isboti.  Tubandagi  ayirmani  qaraymiz:
\
  ff ( x ) d x  =  \[(p(x) -  / ( * ) ]  d x =   lim  X  [? (£ ,) -  / ( £  )]Ax,;


J 
maxAxl->
0
'
7
T



• 
t -i
bunda:  < ? ( £ ) - / ( £ ) > 0   Axy>0;
demak,  butun  yig‘indi  manfiy  emas  va  uning  limiti  ham  manfiy  emas, 
ya’ni


b 
J[p (x )-/ (x )]a!x > 0  
yoki 
ty (x )d x  
-  
\ f ( x ) d x >
0.
197

4-xossa.  Agar  M  va  m  sonlar  f(x)  funksiyaning  [a;b]  kesmadagi  eng 
katta  Ya  eng  kichik  qiymatlari  bo‘lib,  a < b  bo'lsa,  u  holda
b
m (b-a) <  j /
(x)dx < M (b -  a)  bo'ladi.
Isboti.  Teorem aning  shartiga  ko‘ra:
m < f ( x ) < M .  




b
3-xossaga ko ‘ra 
\™dx <  j f  (x)dx <  ¡Mdx  bunda  \ mdx>
 
\ Mdx  ning




a

b
qiymatlari  mos  ravishda 
j mdx -  m(b -  a
va 
jM i c  = M ( b - a )  ga teng.

a
Agar 
f ( x )  > 0  bo'lsa,  u  holda  bu  xossani  geometrik  usulda  tasvir-
lasak,  egri  chiziqli 
aABb  trapetsiyaning  yuzi,  aA,B,b  va  a A ß p   to ‘g‘ri 
to ‘rtburchaklar  orasida  yotadi  (128-chizma).
5-xossa.  ( 0 ‘rta  qiymat  haqida  teorem a).  Agar 
f(x)  funksiya  [a;  b] 
kesmada  uzluksiz  bo  Isa,  u  holda  bu  kesmada  shunday  b ir 
c  nuqta
b
topiladiki,  bu  nuqta  uchun 
\ f ( x )dx  = ( b - d ) f ( c )   tenglik  o'rinlidir.
a
Isbot.  Aniqlik  uchun 
a  boMgan  holni  qaraymiz.  Agar  m  va   lar 
f(x)  ning 
[a;  b\  kesmadagi  eng  kichik  va  eng  katta  qiymatlari  bo‘lsa,
1
 
h
u  h o ld a   o ld in g i  xossaga  k o 'ra  
m < - -----\( f( x ) d x  ^    b u n d a n
b — a  J
a

*
— -  \ f ( x ) d x -  P  bo'ladi.  m < n < M   bunda  f(x)  uzluksiz  funksiya
a
bo'lgani  uchun 
m  va    orasidagi  ham m a  oraliq  qiymatlami  qabul
qiladi.  D em ak,  biror 
c  ( a < c < b )   qiymatda  /i = / ( c )   bo'ladi,  ya’ni
b
a
\f(.x )d x  = f ( c ) ( b - a ) .
198

6
-xossa.  Agar  quyidagi  uchta  integralning  har  bid  mavjud  bo‘lsa, 
u  holda  har  qanday  uchta  a , b , c   son  uchun
j f ( x ) d x  = j f ( x ) d x  + j f ( x ) d x  ;


c
tenglik  o ‘rinli  bo'ladi.
6.5.  Yuqori  chegarasi  o ‘zgaruvchi  bo‘lgan  aniq  integral.
h
f ( x ) d x
aniq  integralning  quyi  chegarasi  a  yuqori  chegarasi  b
a
o'zgaruvchan  bo'lsin.  U  holda  integral  yuqori  chegarasining  funksiyasi
X
bo'ladi. 
ko‘rinishdagi  integralni  hosil  qilamiz.  a  o'zgarmas  son
a
bo'lganda  bu  integral  yuqori    chegarasining  funksiyasi  boMadi.  Bu 
funksiyani  O (x)  bilan  belgilaymiz.
.v
® { x ) = \ f { t ) d t .  
(
1
)
Ü
Agar  f ( t )  > 0   bo‘lsa,  u  holda  C>(x)  funksiyaning  son  qiymati  egri 
chiziqli  aAXx  trapetsiyaning  yuziga  teng  (129-chizma).
Bu  yuz    o ‘zgarishi  bilan  o'zgarib  boradi.  (1)  aniq  integraldan 
yuqori  chegaraga  nisbatan  hosila  olamiz.
Teorema.  Agar  f(x)  funksiya  [a;  b]  kesmada  uzluksiz  funksiya  va
.T
0 ( x )=  
J/(0* 
b o‘lsa,  u  holda  \x) = f ( x )   tenglik  o ‘rinli  bo'ladi.
a
Boshqacha  aytganda,  aniq  integraldan  yuqori  chegarasi  bo‘yicha 
olingan  hosila  integral  ostidagi  funksiyaga  teng  bo‘lib,  unda  integrallash 
o'zgaruvchisini  o'rniga  yuqori  chegaraning  qiymati  qo'yilgan.
Isbot.    argumentga  musbat  yoki  manfiy  orttirm a  beramiz,  u  holda
jr+Ax 
.t 
jr+Ax
(P(x+Ax)= 

f ( t ) d t  =  j f ( t ) d t  + 
J  
f ( t ) d t .
O(x)  funksiyaning  orttirmasi.
x
 
at
+ A
x
 
.v
A 0  = 0 ( x  + Ax) -  0 ( x )  =  j f ( t ) d t  + 
J  
f ( i ) d t  -   j f ( t ) d t ;

x  
a
x+Ax
ya’ni  A 0 -   J   f ( t )d t .
Oxirgi  integrafga  o ‘rta  qiymat  haqidagi  teorem ani  tatbiq  etamiz. 
A 0  = f { Z ) { x  + A x - x )  = f ( 4 ) A x ;
199
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   29


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling