Farxod rajabov


Download 6.24 Mb.
Pdf просмотр
bet22/29
Sana15.12.2019
Hajmi6.24 Mb.
1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   ...   29

Misol.  Vint  prujinasining    qisilishi  unga  ta ’sir  etuvchi  kuchga 
proporsional.  Agar  prujinani  1  sm  qisish  uchun  3  kg  kuch  kerak  bo'Isa, 
F kuch  prujinani  20  sm  qisish  uchun  qancha  ish  bajarish  kerak  bo‘lishi 
hisoblansin.
Yechish.  Shartga  ko‘ra 
F kuch  va  5  siljish  F = kS   munosabat  orqali 
bogMangan,  bunda  k  o'zgarmas  son.  5   ni  metr  bilan 
F  ni  kg  bilan 
ifodalaymiz.  5=0,01, 
F=3  boMganda  3 =K 0,01  bo'ladi.  A"=300;  /=300  S.
7.5.  Ishni  aniq  integral  yordamida  hisoblash.

7.6.  Egri  chiziq  va  tekis  shaklning  statik  momentlari.
Biror  /  o ‘qdan 
r  masofada  bo'Igan  m  massali  moddiy  nuqtaning  / 
o'qiga  nisbatan  statik  m omenti  deb, 
m,  = mr  miqdorga  aytiladi.  Tek- 
islikdagi  / o ‘qdan 
rt,r
2
,...,rH  masofada bo'Igan  mos ravishda  m t,m
2
,...,mn 
massali 
n  ta  moddiy  nuqtalaming  / o ‘qqa  nisbatan  statik  momenti  deb,
miqdorga  aytiladi.  (
1
)  formuladan  ko'rinadiki,  statik  m om ent  additiv 
miqdor,  ya’ni  uni  qismlarga  ajratib  yig'indisini  hisoblasak  ham   m iqdor 
o'zgarmaydi.  Shu  sababli  statik  m om entni  hisoblashda  aniq  integraldan 
foydalansa  bo'ladi.
bo'lakchalarga  b o 'lam iz:  A/p A /,,..,A /n  h a r  b ir  kichik 
Alj(i = \,n) 
bo'lakchada  ixtiyoriy  / >i(xi, 
y{)  nuqta  tanlaymiz  (136-chizma).  H ar  bir 
kichik  A/,  bo'lakchada  zichlikni  o'zgarm as  va  uning 
Pi  nuqtadagi  qi- 
ymatiga  teng  deb,  massasi 
Am.  bo'Igan  Al.  bo'lakcha  uchun  quyidagi 
taqribiy  ifodani  yozamiz:  A
m,  ~ / ( x , ) A / , .  U  holda  AB  egri  chiziqning 
massasi 
m  uchun  quyidagini  hosil  qilamiz:
integral  yig'indi  turibdi.  Shuning  uchun  maxAxy - > 0   da  limitga  o'tib 
moddiy 
AB  egri  chiziq  massasining  aniq  qiymatini  hosil  qilamiz:
n
1)
a)  Egri  chiziqning  statik  momenti.
I
A ytaylik, 
AB  m oddiy  egri 
ch iz iq  
xO y 
tekislig ida
 = f ( x ) ( a < x < b )   tenglama  bi- 
lan  berilgan  bo'lsin.  Egri  chiz­
iqning  har bir  nuqtasidagi  chiziq-
a 
a
Ml 
&
136-chizma.
li  zichlik 
y  = y ( x ) n ing  uzluksiz
„  funksiyasi  bo'lsin.  Berilgan  egri 
.  .  . 


/  . 

«
chiziqning  Ox  o 'q ig a   nisbatan 
statik  m om enti  M x  ni  hisoblash 
u c h u n  
u ni 
n 
ta  
kichik
Bu  tenglikning  o 'n g   tom onida 
y(x )-y jl + y '
2
(x)  funksiya  uchun
212

yoki
" 

m = 
lim  y > (x ,) A /,  =  \ y ( x ) d h
m a x A r - * 0  *■"? 
*
/=0 


b
 
_________________
m =  j y ( x ) d l  =  j y ( x )  ■
 J l  + y ' 2(x)dx.
Endi  egri  chiziqning  Statik  m om entini  topam iz.  H ar  bir  Alt 
bo‘lakchaning  massasi  Am.  bo‘lgan  moddiy  P.  nuqta  bilan  almashti- 
ram iz.  Bu  P.  nuqtaning  Ox  o'qiga  nisbatan  Statik  m om enti  Al. 
boMakchalarning  Statik  m om entining  taqribiy  qiymatini  beradi:
Am,  ~  v ,r(x ,)-A /,.
AB  egri  chiziqning  Mx  Statik  momenti  A/,  boMakchalarning  Statik 
momentlarining  yig‘indisiga  teng  boMgani  sababli  A/x  uchun  quyidagi 
taqribiy  tenglikni  yozamiz:
{ A
Av,
v A x , 
j
Ax,;
Hosil  qilingan  tenglikning  o ‘ng  tom onida  y ( x ) y  ■
 yj\ + y ' 2(x)  fun-
ksiya  uchun  integral  yigMndi  turibdi.  maxAx; - » 0   da  limitga  o ‘tsak, 
egri  chiziqning  Ox  o'qiga  nisbatan  statik  m omentini  hosil  qilamiz:
M
yoki

h'm  ni r ( x ‘ ) y > J l +
m a x A x , 
\ |
f  *
 
V
4
y,
,A X ,,
•Ax.
=  JV(*) • 
y  

 \/l + y ' 2dx. 
ü
Bu  formulani  qisqacha  quyidagicha  yozish  mumkin:
h
M x
 = 
\ y { x ) y d l \
 
(
2
)
a
bu  yerda  dl  AB  egri  c h iz iq n in g   u zu nlig i,  dl = *J(dx)2  + ( dy )2  =
= yj\ + y ' 2dx 
a < x < b 
  Yuqoridagi  kabi  m ulohazalar  asosida  AB  egri
chiziqning  Oy  o ‘qiga  nisbatan  statik  momenti
b
M
 y
  =  
J
y (x )x dl ; 
(3)
boMishini  ko'rish  qiyin  emas.  Agar  moddiy  egri  chiziq  bir jinsli  bo‘lsa,
213

uning  zichligi  o'zgarm as  son  bo'ladi,  ya’ni 
y(x) = y   shu  sababli  Statik 
m om entlar  uchun  (2)  va  (3)  formulalar  quyidagi  ko'rinishni  oladi:

b 
M x  = y  ^ydl\  M y  =  J xdl.

a
b)  Tekis  shaklning  statik  momenti.
T o ‘g‘ri  burchakli  koordinata  sistemasida 
y = f{ x )  egri  chiziq,  Ox 
o ‘qi  va 
x= a,  x=b  to ‘g‘ri  chiziqlar  bilan  chegaralangan  egri  chiziqli 
trapetsiya  berilgan  bo'lsin.  Bu  tekis  shaklning  zichligi  har  bir  nuqtada 
y(x)  bo'lsin  (uzluksiz  funksiya).  Berilgan  shaklning  Ox  o'qiga  nisbatan 
Mx  statik  m om entini  topish  uchun  uni  Oy  o ‘qiga  parallel  chiziqlar bilan 
n  ta  kichik 
As],As
2
,...,Asll  yuzchalarga  bo'lam iz  (yuzchalaming  keng- 
ligi  mos  ravishda  Ax,,Ax2,...,Axn).
H ar  bir 
yuzchaning  zichligi  o'zgarmas  va  u  berilgan  zichlikning
P>' x
" 2
nuqtadagi  qiymatiga  teng  deb  hisoblasak, 
As{  yuzchaning
m assasi  u c h u n   quyidagini  hosil  qilam iz: 
Ami »y{^xi)Asi  bunda 
As,  *  y iAxi .  U  holda egri  chiziqli  trapetsiyaning  massasi  m  quyidagicha

n
bo'ladi: 
m ~ 
Z  
~ Z  
^ x >
/=i 
/=i
Bu  yerda  tenglikning  o ‘ng  tom onida 
y(x)  y
2
  funksiya  uchun  inte­
gral  yig‘indi  mavjud.  Shuning  uchun  maxAx,  - > 0   da  limitga  o ‘tib,  egri 
chiziqli  trapetsiya  massasi  uchun  aniq  qiymatini  hosil  qilamiz:
m =  üA
m  „ Z ^ , ) ^   =  lim 
Y y ( x . ) y ix i  yoki  m =  \y (x )y d x .
maxA«t( -*0 T "T  
max Ar,->0 
■* 
*

i*Q 

/*0
 
a
Endi egri  chiziqli trapetsiyaning  statik  momentini  hisoblashga o'tam iz.
nuqta
"
2
,
H ar  bir  A
S,  yuzchani  massasi  Am,  bo'lgan  moddiy  P
bilan  almashtiramiz.
Bu  nuqtaning 
Ox  o ‘qiga  nisbatan  simmetrik  statik  m om enti  AS s 
yuzchaning  statik  m om entining  taqribiy  qiymatini  beradi:
y  

y~
( M x) i  ~ - y  Am,  »  y (xi)-^-ASl  ~ y (xt) —^ - A x , .  Egri  chiziqli  trapetsiy-
214

aning 
Mx
  statik  momenti  A
Si
  yuzchalaming  statik  momentlarining 
yig'indisiga  teng  bo'lgani  uchun  quyidagini  hosil  qilamiz:

y 2
 
1
.
  Bu  yerda  tenglikning  o‘ng  tomonida 
~ y ( x ) y
2

2
 
2
funksiya  uchun  integral  yig'indi  mavjud.  Shuning  uchun  maxAx, -» 0 
da  limitga  o‘tib  egri  chiziqli  trapetsiyaning  Ox  o‘qiga  nisbatan  statik 
momentini  hosil  qilamiz:
yoki 
K ~ ) r W   y ‘-
 
(4)

<-1
 

a
Yuqoridagi  kabi  fikr  yuritib,  egri  chiziqli  trapetsiyaning  Oy  o‘qiga 
nisbatan  statik  momentini  hisoblash  uchun  quyidagi:
b
M y = \ y (x) x- y dx ,
 
(
5
)
a
formulani  hosil  qilish  mumkin.  Agar  egri  chiziqli  trapetsiya  bir jinsli
bo‘lsa,  zichlik 
y(x) = y
  o‘zgarmas  son  bo‘lsa  (4)  va  (5)  formulalar
tubandagi  ko'rinishga  ega  bo'ladi:
j  

b 
M x  = —y ^ y 2äx 
M y = y j - x y d x .

a
x
2
 
y
2
Masala. 
— + —— 1  ellipsninig  abssissa  o‘qi  yuqorisidagi  yoyining 

b
abssissa  o‘qiga  nisbatan  statik  momenti  topilsin.
Yechsh.

k
 
_______
M x = y
 J
ydl
 = 
y
 
|y y ll + y 2dx;
 
(*)

a
formuladan  foydalanamiz,  bu  holda 
y  = l;
ydl
 = 
yyj\ + y ,2dx = *Jy2  + (yy,2)dx.
Ellips  tenglamasidan  quyidagilami  topamiz:
x 2 
b 2
y  = b 2(
 1— -), 
y y ’ =
 
— j x
  u  holda 

a
yd/ = J b 2( l - ^ - )  + ^T x 2dK = J ^ T( a 2 - x 2 + ^ x 2)dx =

a~ 

y a  
a~
215

bu  yerda 
e  —  ellips  ekstsentrisiteti:
g = ------------ = - ;

a
_ C '
(*)  formulaga  asosan:
Integralni  hisoblash  uchun  quyidagi  almashtirishlami  bajaramiz. 
ex = a s in t,  edx = acost  dt 
x  = 
0
  da 
t = 
0

x  = a  da  i = arcsine;
To‘g‘ri  burchakli 
xOy  koordinatalar tekisligida  massalari  mv  m2, 
mn 
bo'lgan 
Pi(x], y i);P
2
(x
2
, y
2
);...;Pn(x n, y tt)  moddiy nuqtalar sistemasi ber- 
ilgan  bo'lsin.  xc  va  yc  orqali  berilgan  sistemaning  og'irlik  markazi  koor- 
dinatalam i  belgilaymiz.  m ;  
y.m i  ko‘paytmalar  mi massaning  Ox  va  Oy 
o ‘qlarga  nisbatan  olingan  statik  m om entlari  deyiladi.  Bu  holda  moddiy 
sistema  markazining  koordinatalari
arcsine
arcsine
= — (arcsine + eV T-P") = — arcsine + b 2 = b(b + —arcsine).
e
e
e
7.7.  Og'irlik  markazining  koordinatalari.

formulalar  bilan  aniqlanishi  mexanikadan  m a’lum.  Bu  formuladan  turli 
shakl  va  jismlarning  og‘irlik  markazlarini  topishda  foydalanamiz.
a)  tekislikdagi  chiziqning  og'irlik  markazi.
AB  egri  chiziq  y = f ( x )   tenglama  bilan  berilgan  (a < x < b )  va  bu 
egri  chiziq  moddiy  chiziq  bo'lsin.  Bu  moddiy  egri  chiziqning  chiziqli 
zichligi  y  deb  faraz  qilamiz.  Chiziqni  uzunliklari  A S t, A S 2,...,ASn 
bo‘lgan  n  ta  boMakka  bo'lam iz.  Bu  bo‘laklaming  massalari  ularning 
uzunliklari  bilan  zichlik  ko'paytmasiga  teng.  Awj.  = yAS,;  AS1, yoyning 
har  bir  boMagida  abssissasi  £   bo'lgan  ixtiyoriy  nuqta  olamiz.
Endi  A Si yoyning  h a r  b ir  b o ‘lagini  m assasi  /AS,;  b o 'lg an  
/ ’ [ £ ; / ( £ , ) ]   moddiy  nuqta  deb  qarab  (1)  va  (2)  formulada  x¡  o ‘miga 
£   qiymatni  y¡  o'm iga / ( £ , )   qiymatni  ra   o ‘rniga  ( AS bo'laklar  massasi) 
yAS, qiymatni  qo‘ysak,  yoyning og‘irlik  markazini  aniqlash  uchun  taqribiy 
formulalar  hosil  qilamiz:
' Z f i D r à S ,
x c ~ ^ --------- ; 
y c~ ^ ^ ------------•
T r   AS, 
Z
y  AS,
Agar  y=f(x)  uzluksiz  funksiya  bo ‘lsa  va  uzluksiz  hosilaga  ega  bo‘lsa, 
u  holda  har bir kasming suratidagi  va  maxrajidagi  yig‘indilar  max AS,  —> 0 
mos  intégral  yig‘indilarining  limitiga  teng  bo ‘lgan  limitlarga  ega  bo'ladi. 
Yoy  og‘irlik  markazining  koordinatalari  tubandagi  aniq  integrallar  bilan 
ifodalanadi.

b
 
_____________  

b
 
_____________
\xds 
jx*Jl + f ' 2(x)dx
 
J
f ( x ) d s
 
J/W -y/l + 
f ' \ x ) d x
Jcfe 
J\/l + f ' ( x ) d x  
JîZs 
j\/l + f ' ( x )dx
1-misol.  Ox  o ‘qning  yuqorisiga joylashgan  yarim  aylana  x 2 + y 2= R 2', 
( ~ R < x < R )   og'irlik  markazining  koordinatalari  topilsin.
R
 
----------------  
g  
R
\ y} R2 - x 2 -
 
.-----
= d x 
R  [dx
=   i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ J
r
2-
x

_  .{ 
_ 2  R' 
2 R
n a  
n a  
7r R 
x
Yarim  aylana  Ox  o ‘qiga  nisbatan  simmetrik  bo'lgani  uchun  x c  = 0, ;
b)  Tekis  shaklning  og‘irlik  markazi.
Berilgan  shakl  y = f l( x ) ,   y = f ï ( x ) ,   x = a ,   x = b   chiziqlar  bilan  che- 
garalangan  bo‘lib,  moddiy  tekis  shakldan  iborat  bo'lsin,  sirt  zichligini,
217

ya’ni  sirt  birlik  yuzining  massasi  shaklning  ham m a  bo'laklari  uchun 
o'zgarmas  va 
  ga  teng  deb  hisoblaymiz.
Berilgan  shaklni 
x  = x,  =a + - —- i  ( /=  0,1,...,»)  to ‘g‘ri  chiziqlar  bi-
n
lan  kengligi  Ax,,
à x
2
Axtlbo'lgan  polosalarga  ajratamiz.
H ar bir  polosa  massasi  polosa  yuzi  bilan  zichlik  ko‘paytmasiga  teng 
bo‘ladi.  Agar har bir polosaning asosi 
Ax,  va  balandligi  2( # , ) - / ,  ( | , )
X
 
+  
X
bo'lgan  (bunda 

- tL^— L )  to ‘g‘ri  to'rtburchak  bilan  almashtirsak,  u
holda  polosaning  massasi  taqriban 
1
,
2
,...,«) 
teng  bo'ladi.
Bu  p o lo san in g   o g ‘irlik  m ark azi  ta x m in a n   teg ish li  t o ‘g ‘ri
to'rtburchakning  markazida  bo'lsa, 
(x i) c =
4
i 
(jy,)c  = A Î Ê
1
__ÂÎ^l

bo'ladi.
Endi  har  bir  polosaning  massasi  tegishli  polosaning  massasiga  teng 
b o'lg an   va  polosaning  og'irlik  m arkaziga  to 'p la n g a n   nuqta  bilan 
almashtirib,butun shakl  og'irlik markazi  koordinatalarini  hisoblash. uchun 
taqribiy  formulani  olamiz:
y ' =
 
Z  
s f o i D - f t â ) ] * ,  
'
Ax,  ->  0  da  limitga  o ‘tib,  berilgan  shakl  og'irlik  markazining  koor­
dinatalarini  topamiz:
J ^ Î /
î
W -  Zi (*)]<&
x c=->------------------------;
Jt/j(*)-/i (*)]<*
a
 J t / 2 ( * ) + / .  (*)] •8 
[/2
 (*) -  / .  ( * ) ] *
y  c
  = ---
-
------------ -------------------------------------------------.
Jt/ï(*)-/l(*)]*
a
218

Bu  formulalar  har  qanday  bir  jinsli 
tekis  shakllar  uchun  o ‘rinli  bo'ladi.
M isol.  y~  = 2 p x   parabolaning  x = a 
to 'g 'ri  chiziq  bilan  kesishishidan  hosil 
bo'lgan segment  og'irlik  markazining koor- 
dinatalari  aniqlansin  (137-chizma).
Yechish.  Berilgan  holda:
f 2(x) = y¡2px; f x(x) = - y ß px   ;
137-chizma.

^
t 
2
 
-
2jx*Jlpx dx 
2
x  =
2 JV2~¿xdx 
2 y ¡ 2p ~ x :

3
2
  i 
 
- a   \¡a 
,
— a\Ja
3
yc= 0  (chunki  segment  (
Ox)  o'qqa  nisbatan  simmetrik).
0 ‘z -o ‘zini  tekshirísh  uchun  savollar.
1.  y  = 
f ( x )   cgri  chiziq  Ox  o‘qi,  x  = a  va  x - b   (a)  to‘g‘ri  chiziqlar 
bilan  chegaralangan  tekis  shakl  yuzi  qanday  hisoblanadi?
2.  Egrí  chiziq  tenglamalari  parametrik  ko'rinishda  berilgan  tekis  shaklning 
yuzi  Dekart  koordinatalarda  qanday  hisoblanadi?
3.  Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq bilan chegaralangan egrí chiziqli 
sektoming  yuzini  hisoblash  formulasini  yozing.
4.  Tekis  egri chiziq  yoy  uzunligini  Dekart  koordinatalar sistemasida  hisob­
lash  formulasini  yozing.
5.  Aylanish  jismining  hajmini  hisoblash  formulasini  keltirib  chiqaring.
6.  Aylanish  jismining  sirtini  hisoblash  formulasini  keltirib  chiqaring.
7.  Egri  chiziqning  koordinata  o'qlariga  nisbatan  statik  momentini  hisob­
lash  formulasini  yozing.
8.  Egri  chiziqli  trapetsiyaning  abssissa  o'qiga  nisbatan  statik  momentini 
hisoblash  formulasini  yozing.
9.  Tekislikda  moddiy  nuqtalar  sistemasining  og'irük  markazi  koordinata- 
larini  hisoblash  formulasini  yozing.
219

VIII  BOB 
DIFFERENSIAL  TENGLAMALAR
l-§ .  Differensial  tenglama  tushunchasi  va  uning  xossalari. 
Ba’zi  bir  birinchi  tartibli  differensial  tenglamalarni  yechish
metodlaii
1.1.  Differensial  tenglamaga  olib  keluvchi  masalalar.
Atrofimizda sodir bo'Iayotgan  ko‘pgina  hodisalar va jarayonlar hodisa 
yoki  jarayonni  tavsiflaydigan  nom a’lum  funksiya  va  uning  hosilasi  qat- 
nashgan  tenglamalar  orqali  ifodalanadi.
Bu  tenglamadan  nom a’lum  funksiyani  topish  masalasi  qo'yiladi. 
Misollar  keltiramiz.
1-masala.  Massasi 
m  bo'lgan  jism  biror  balandlikdan  yeiga  tashlab 
yuborilgan.  Bu jismning  tushish  tezligi 
9
  qanday  qonun bilan  o'zgaradi? 
 = $ ( /)   munosabatni  topish  talab  qilinadi.
Yechish.  Nyutonning  ikkinchi  qonuniga  ko‘ra.
bu  yerda  m  —  jism  massasi;  a  — jism  tezlanishi;  F   —  ta ’sir  etuvchi 
kuch.  Bunda  ikki  hoi  bo ‘lishi  mumkin:
a)  jismga  havoning  qarshiligi  hisobga  olinmagan  hoi;
Jismga  havoning  qarshiligi  hisobga  olinmasa,  jism  faqat  og'irlik
kuchi  ta’sirida  harakatlanadi,  ya’ni 
F  = mg ga  teng  bo‘ladi.
U  holda  (*)  dan  quyidagi  tenglamaga  ega  bo'lamiz.
(**)  —  tezlikga  nisbatan  birinchi  tartibli  differensial  tenglama.
b) 
jismga  havoning  tezligiga  proportsional  bo'lgan  qarshilik  kuchi 
ta ’sir  etgan  hoi.
Bunda 
F4arshjUk = pB  bo'ladi.  Bu  yerda  —    proportsionallik  koeffit- 
sienti, 
9
  —  jismning  tezligi.
ma -  F;
Г )
(**)
220

Bu  holda jismga  F = mg -  F   ,M   kuch  ta ’sir etadi.  U holda  (*)  dan:
ifurshihk
d 9  
Q
m —
 =  m g  - 
di
yoki
d 9 

n
—  = K -----9  (***)  ga  ega  boMamiz.
dt 
ni
Biz  yana  birinchi  tartibli  difTerensial  tenglamaga  ega  boMdik.
2 -m a saIa. 
Massasi  m  ga  teng 
bo‘lgan  yukni 
k
 
bikirlikka  ega  pru-
jinadagi  to ‘g‘ri  chiziqli  tebranma  ha-  í V Y y Y y Y Y Y Y Y k  
rakatidagi  holati  *  (uning  koordi- 
1 1   O T ' Í   (i  í   o " 9   *" 
natasi  .v  ga  bogMiq,  boshqacha  ayt-
ganda  * = * ( 0 ) ,  ya’ni  x = x(í)  fun-  ^  
,3 8 -ch izm a.
ksiya  aniqlansin.
Yechish.  Prujina  erkin  (cho‘zilmasdan  turgan)  holatdagi  yukning 
turgan  nuqtasini  koordinata  boshi  0  deb  belgilab  olamiz  (138-chizma).
U  holda  prujina  cho'zilganda  uzunligi  / bo‘lsa,  prujinaning  mahkam- 
langan  ikkinchi  uchining  koordinatasi  /  bo ‘ladi.  Shunday  qilib  yukning 
koordinatasi  son jihatidan  prujina  uzunligining  o ‘zgarishiga  teng  boMadi.
Prujinaning  uncha  katta  boMmagan  cho'zilishida  prujinaning  yukga 
ta ’sir  kuchi  G uk  qonuniga  ko‘ra  tubandagicha  ifodalanadi:
F  -  -kx\
bu  yerda 
”  ishorasini  olinishiga  sabab,  kuch  yo'nalishi  prujinaning 
cho'zilishi  (qisilishi)  yo‘nalishiga  qarama-qarshi,  tezlik  ta ’rifiga  ko‘ra:
dt
Bu  holat  uchun  Nyutonning  ikkinchi  qonuniga  ko‘ra  tubandagi 
tenglamani  yoza  olamiz:
F  = ma  ;  a = ^—^ ;   m^—^- = - k x   yoki  — — + —* = 0 ; 
d t2 
d t2 
d t 2 
m 
bu  esa  ikkinchi  tartibli  difTerensial  tenglama.
1.2.  DifTerensial  tenglam aning  ta ’rifi  va  uning  umumiy  yechimi.
l - t a ’rif. 
Erkli  o'zgaruvchi  jc,  nom a’lum  funksiya  y -  
f ( x )
 
va  uning 
y ' , y" , . . . , y (ll)  hosilalari  qatnashgan  tenglamaga  difTerensial  tenglama  de- 
yiladi.
221

DifFerensial  te n g la m a   sim volik  rav ish d a  tu b a n d a g ic h a   yoziladi:
Agar  izlangan  funksiya 
y  -  f ( x )   bitta  erkli  o'zgaruvchining  fun- 
ksiyasi  bo‘lsa,  u  holda  differensial  tenglama  oddiy  deyiladi.  Agar  izlan- 
gan  funksiya 
y  = f ( x )   ikki  yoki  undan  ortiq  o'zgaruvchilarga  bog‘liq 
bo'lsa,  bunday  difFerensial  tenglama  xususiy  hosilali  differensial  teng­
lama  deyiladi.
2 -ta ’rif.  Differensial  tenglamaning  tartibi  deb,  tenglamaga  kirgan 
hosilaning  eng  yuqori  tartibiga  aytiladi.
y ' - 5 x y
2
 + y  + 
3
 = 
0
  birinchi  darajali,
> '" + ^ v '- s y - c o s x  = 
0
  -   ikkinchi  darajali  differensial  tenglama.
3 -ta ’rif.  Differensial  tenglamaning  yechimi  yoki  integrali  deb  dif­
ferensial  tenglamaga 
y,  y', y " ...  laming  o ‘miga  qo‘yganda  uni  ay- 
niyatga  aylantiradigan  har  qanday 
y  -  cp(x)  funksiyaga  aytiladi.
d 2y
 
A
Misol.  — -  + >’ = 0  differensial  tenglamaning  yechimlari 
y  = sin  va 
dx~
j/ = cos.x  funksiyalari  bo'ladi.
Bulami  tenglamaga qo'yamiz.  >>' = cosjf; 
y ” = —sinjc;  -sinx+ sin;t= 0 
xuddi  shuningdek,  j '  = - s i n x ;   y" = -c o s jf;  - c o s x  + cosx = 
0
.
Ushbu 
F ( x ,y ,y ')  = 0  tenglama  birinchi  tartibli  differensial  tengla­
ma  deyiladi.
Agar  uni 
y '  ga  nisbatan  yechish  mumkin  boMsa  uni  y ' = f ( x , y )  
ko'rinishda  yozish  mumkin.  Bu  holda  differensial  tenglama  hosilaga 
nisbatan  yechilgan  deyiladi.
Differensial  tenglamaning  yechimiga  oldingi  mavzuda  ta ’rif  berdik. 
Ammo,  misollardan  ko'rinadiki,  differensial  tenglamaning  yechimi  bitta 
funksiya  bo‘lmasdan  funksiyalaming  bir  butun  to'plam i  bo‘lishi  m um ­
kin.  Shuning  uchun  umumiy  yechim  to ‘g‘risida  so‘z  yuritamiz.


Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   ...   29


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling