Farxod rajabov


shug'ullanamiz.  Chiziqli  tenglamalaming  ushbu


Download 6.24 Mb.
Pdf просмотр
bet7/29
Sana15.12.2019
Hajmi6.24 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   29

shug'ullanamiz.  Chiziqli  tenglamalaming  ushbu
(
1
)
a nx + a l2y  + al3z =  d l
<
  a 2lx +  a ^ y  +  a2Jz =  d 2
a3ix +  a 32y + a 13z =  d  3
sistemasi berilgan bo'lsin.  Noma’lumlar oldidagi  koeffitsientlardan  tuz- 
ilgan  determinantni  A  bilan  belgilaymiz:
(2)
«11
«1 2
«13
A  =
«21
0
22
« 2 3
« 3 .
« 3 2
«3 3
54

yordamchi  determinantlarni  tuzamiz.
4
a i2
« , 3
a n
d
.
a »
° n
° X 2
4
>
H
II
d 2
° 2 2
a 21
;  
a
  v  =
° 2 l
d
 
2
° 2 3
;  
a
;   =
a 2\
ü 22
d 2
° 3 2
J.>
° 3 .
d
,
j
« 3 3
« 3 1
a :,2
d3
berilgan  sistema  x, y, z  yecjiimga  ega  bo‘lsa,bu  yechimni  topish  uchun 
quyidagi  formulalarga  ega  bo‘lamiz.
y :
z = ■
(3)


A
Quyidagi  hollar  sodir  bo‘lishi  mumkin.
1.  A * 0   bu  holda  (3)  formulalardan  (1)  sistema  bitta  yechimga  ega 
ekani  kelib  chiqadi.
2. 
A  
= 0  va 
A r, A v, A _  
determinantlardan  kamida  bittasi  noldan 
farqli.  Bu  holda  (1)  sistema  yechimga  ega  bo'lmaydi.
3. 
A  =  A J  =   A,,  =   A . = 0  
bu  holda  (1)  sistema  yo  cheksiz  ko‘p 
yechimga  ega  boiadi,yoki  umuman  yechimga  ega  boMmaydi.
Misol.  Ushbu  uch  noma’lumli  uchta  chiziqli  tenglama  sistemasini 
yeching:
2x + 3y + z =  2 
3x-y 

2z
 
= -3 
Ax 

y-3z 
= 4.
Yechish. 
Berilgan  sistemaning  asosiy  determinanti  va  yordamchi 
determinantlarni  tuzamiz.
A  =



3 - 1 2  


-3
= 6 + 3 + 2 4 +  4 + 2 7 -  4 = 60 * 0
A .   =



-3  -1 
2


-3
= 6- 3 + 2 4 +  4- 4- 2 7  = 0
2
 
2
 
1
3 - 3  
2

4 - 3
18 + 12 + 16 + 12- 16 + 18 = 60
55

A . =


2
3  -1  -3


4
= -8 + 6- 36  + 8+  6-36 = -60.
Demak,  A *  o  boigani  uchun  sistema  yagona  yechimga  ega.  Bu 
yechim  quyidagidir.
x =  ^ -  = —  =  0- 
= ^ -  = — =  1-  —  A » - ~ 6 0 -  i
*  

60 
’  y 
A  
60 
’  
A  
60
Javob:  (0,1, - 1) .
4.3.  Uch  noma’lumli  uchta  tenglamaning  bir  jinsli  sistemasi.
Barcha  ozod  hadlari  nolga  teng  boigan  chiziqli  tenglamalar  siste- 
masiga  bir  jinsli  sistema  deyiladi.U  quyidagi  ko'rinishda  yoziladi:
(
1
)
a nx + a ny + a nz = Q
<
  o,,x + a ^ y  + a 23z = 0 
a3lx + a 32y + a33z =  0.
(1)  ko'rinishdagi  istalgan  bir jinsli  sistema  hech  boimaganda  bitta 
yechimga  ega,  chunonchi  x =  y =  z-  0  yechimga,  ya’ni  nol  yechimga 
ega.  Bu  sistema  qachon  nolga  teng  boimagan  yechimga  ega  boiishini 
aniqlash  uchun  ikkita  holni  qarab  chiqamiz:
1)  Sistema  determinanti  noldan  farqli,  ya’ni  A *  0 •  Bu  holda  (1) 
sistema  faqat  nol  yechimga  ega  boiadi: x =  y =  z = 0.
2)  A = 0  bu  (1)  sistemaning  nolga  teng  bo'lmagan  yechimi  mavjud 
bo'lishi  uchun  zaruriy  shart  hisoblanadi.  Bu  holda  sistema  cheqsiz  ko‘p 
yechimga  ega  boiadi.
a) 
Buni  isbot  qilish  uchun  dastlab  determinantning  algebraik 
toidiruvchilaridan  (algebraik  toidiruvchi  to‘g‘risida tushuncha  beriladi) 
kamida  bittasi  noldan  farqli  deb  faraz  qilamiz.
Masalan,
22
(1)  sistemaning  dastlabki  ikkita  tenglamasini  ushbu  ko‘rinishda 
yozamiz:
56

Endi
ushbu
x =
a nx + a 12y = -al3z 
Ia2lx +  a 22y =  -a23z.
(2)
boigani  uchun  istalgan  z  da  (1)  sistema
=  ^ L Z; 
(3) 
A s
-al3z
a n
a n
-a}3z
-a23z
i?22
v =  -
2.
-av z
*33
x33
formulalar bilan  aniqlanuvchi  yechimlaiga  ega  boiadi.  Agar  k = ——
33
deb  olsak,  (2)  ning  yechishni  ushbu  ko'rinishda  yozish  mumkin:
x =  kA3i\  y =  kA32,  z - k A 33.
k-  son  istalgan  qiymatlami  qabul  qilishi  mumkin.  Biz  berilgan 
(1)  sistemaning  dastlabki  ikkita  yechimini  topdik.  Bu  yechimlar  k  ning 
har qanday qiymatida (1)  sistemaning uchinchi tenglamasini ham qanoat- 
lantirishini  ko‘rsatish  mumkin.  Yuqorida  aytganimizdek,  k  istalgan 
qiymatlami  qabul  qilgani  uchun  (1)  sistema  cheksiz  ko‘p  yechimga  ega 
bo'ladi.
b)  Endi  determinantning barcha algebraik toidimvchilari  nolga teng 
deb  faraz  qilamiz.  U   holda  (1)  sistemaning  har qanday ikkita tenglama- 
si  proportsional  koeffitsientlaiga  ega  boiadi  va  demak,  sistemaning  har 
qanday  ikkita  tenglamasini  ulardan  binning  hamma  hadlarini  biror 
ko'paytuvchiga  ko‘paytirish  orqali  ikkinchisiga  keltirish  mumkin,  bino- 
barin  sistema  bitta  tenglamaga  keltiriladi,  qolgan  ikkita  tenglama  bu 
tenglamaning  natijasi  boiadi.  Ravshanki,  bunday  sistema  cheksiz  ko‘p 
nol  boimagan  yechimga  ega  (chunki  ikkita  nomaiumga  ixtiyoriy  sonli 
qiymatlar  berib,  uchinchi  yechimni  esa  sistemaning  birdan  bir  erkli 
tenglamsidan  topish  mumkin.)
Misol.  Ushbu  tenglamalar  sistemasini  yeching.
2^ + >» + 3z = 0;
•  x +  2y - z =  0;
3
jc
 +  3 ^  +  2
z
 =  0 .
57

Yechish.  Sistemada  A  =  O  ekanini  ko'rish  mumkin.  Sistemaning 
dastlabki,  ikkita  tenglamasini
Í2x + y  = -3z ;
\ x  + 2 y  = z;
ko‘rinishda  yozamiz.
B u  sistemani  Kramer  qoidasi  bo'yicha  yechamiz.
D em a k ,  berilgan  sistema  cheksiz  ko‘p  yechimga  ega  ekan,  chunki 
z  ixtiyoriy  olinib, 
x  va  y
  laming  mos  qiymatlarini  topamiz.  Masalan, 
A jr= - 7 z   deb  olib, 
Ay = 5 z
 
ni;  z =  l  deb  olib, 
x = - 7 ,   y  = 5
  ni 
topamiz  va  hokazo.
0 ‘z-o‘zini  tekshirish  uchun  savollar.
1.  Ikki noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasini determinantlami tadbiq 
qilib  yechishni  ko'isating.
2.  Uch  noma’lumli  chiziqli  tenglamalar  sistemasini  determinantlar  orqali 
yechish  formulasini  yozing.
3.  Kramer  formulalaríni  yozib  ko'isating.
4.  Uch  noma’lumli  uchta  tenglamalaming  bir  jinsli  sistemasini  determi­
nantlar  yordamida  yechishni  ko‘rsating.
5-§.  Chiziqli  tenglamalar  sistemasini  Ganss  usulida  yechish
Biz  shu paytgacha tenglamalar soni  no m a’lumlar soniga teng bo ‘lgan 
chiziqli  tenglamalar  sistemasini  qaradik.  Agar  bunday  sistemaning  de- 
terminanti  noldan  farqli  bo ‘lsa,  u  holda  sistema  yagona  yechimga  ega 
bo'lishi  m a ’lum.
Endi  ixtiyoriy,  ya’ni  tenglamalar  soni  no m a’lumlar  soniga  teng 
bo‘lmagan  chiziqli  tenglamalar  sistemasini  tekshiramiz.  Bunday  sistema 
uchun  yechim  yagona  bo'lmasligi  yoki  u m u m a n   yechim  mavjud 
bo'lmasligi  ham   mumkin.  Chiziqli  tenglamalar  sistemasi  birorta  ham 
yechimga  ega  bo'lmasa,  sistema  biigalikda  bo'lmagan  sistema  deyiladi. 
Agar  chiziqli  tenglamalar  sistemasi  yechimga  ega  bo‘lsa,  bunday  siste­
m a biigalikda deyiladi.  (Agar biigalikda bo'lgan  sistema yagona yechimga 
ega  bo‘lsa,  sistema  aniq  sistema  deb,  agar  yechim  bittadan  ko‘p  bo‘lsa, 
aniq  bo‘lmagan  sistema  deb  ataladi.)
58

Endi  koeffitsientlari  sonlardan  iborat  bo‘lgan  sistema  yechimlarini 
topish  uchun  qulay bo'lgan  noma’lumlami  ketma-ket  yoqotish  usulini, 
ya’ni  Gauss  metodini  bayon  qilamiz.  Quyidagi  ixtiyoriy  chiziqli  teng- 
lamalar  sistemasi  berilgan  bo'lsin:
(
1
)
’*11*1 + *,2*2+- 
 +  a u,Xn
*21*1 + an x2 +.
.л а2пх„
. В
Д
+  as2x2 + .
(1)  da  a u *  0  bo'lsin  deb  faraz  qilaylik,  a n  nolga  teng  bo'lishi 
ham  mumkin.  Bunday  holda  ishni  sistemaning  birinchi  tenglamasidagi 
birorta  noldan  farqli  koeffitsientdan  boshlash  kerak.  Dastlab  birinchi 
tenglamadan  tashqari  barcha  tenglamalaridan  x,  ni  yo'qotib  (1)  siste- 
mani  o'zgartiramiz.  Buning  uchun  birinchi  tenglamaning  har  ikkala 
tomonini  a,,  *  0  ga  bo‘lib  chiqamiz.  Natijada  berilgan  sistemaga  ek- 
vivalent  ushbu  yangi  sistemani  hosil  qilamiz.
dty 
d\L-
 
a,„ 
c<
x] +-^-x2
 +...+ —  jc* +...+ —  
x„
 = —  ;
°w 
au 
°w 
°n
a2l X, + a 22x2 +...+ a2txk +...+ a2nx„ 
= c2;
anxt
  +  
a,2x2 +...+ aikxk +...+ ainx„ =c,;
+ o m2x2 +...+ amkxk +...+ a„mx„ 
=c„
(
2
)
Endi  bu  sistemaning  birinchi  tenglamsini 
a v
  ga  ko‘paytiramiz  va 
ikkinchi  tenglamadan  ayiramiz.  Bu  ishni  davom  ettirib,  birinchi  teng- 
lamani  endi 
a3l
  ga  ko‘paytirib,  uchinchi  tenglamadan  ayiramiz  va  h.k. 
Bu jarayonni  shunday  davom  ettirib,  m a’lum  qadamdan  keyin  berilgan 
sistemaga  teng  kuchli  bo'lgan  quyidagi  yangi  sistemani  hosil  qilamiz:
X ,  
+а\гхг+...+ atkxk +...+atnxn —
 c ,;
a'nx2 + ... + o2kxk 
+
 
... 
+ a inxn =ct,
a i2X l
  "*■  • "
+ a'ikxt + ...  +a'„xll=c'i;
"
.+a'mkxk 
+  
...  +а'тлх„=с'„
(3)
59

Bu  yerda  quyidagicha  belgilashlardan  foydalanilgan:
c [ = - L ;c'i = c i — L a2l;  i =  2 ,m ;
«11 
fln
a'12  koefTitsientni  noldan  farqli  deb  faraz  qilib,  (3)  sistemaning 
ikkinchi  tenglamasini  a'22  ga  bo'lamiz  va  hosil  boigan  sistemaning 
ikkinchi  tenglamasini  ketma-ket  a'32,..., a'j2,...,a'm2  ga  ko‘paytiramiz 
hamda  navbatma-navbat  sistemaning tegishli  (birinchi  va  ikkinchi  teng- 
lamalaridan  tashqari)  tenglamalaridan  ayiramiz.
Bu jarayonni  davom  ettirib,  chap  tomonidagi  barcha  koeffitsientlari 
nol  bo'lgan,  ozod  hadi  esa  noldan  farqli  bo‘lgan  tenglamalar  sistemasi- 
ga  kelsak,  bu  sistema  yuqorida  ko'rsatilganidek,  birgalikda  boimaydi. 
Agar  sistema  biigalikda  bo‘lsa,quyidagi  sistemadan  birini  hosil  qilamiz:
je, + bnx2 + ... + bXKxK + ...+  bUlxn = 5,; 
x 2 +... + b2KxK +... + b2„xn = B 2,
x p + - + bp„ x „ = B p.
(4)
yoki  (bunda 
p  < n )
xt + bi2x2 +... + blKxK  +... +  buxH = ,; 
x2 + ... + b2KxK +... + b2Hxn = B 2;
(5)
xn = B n.
(4)-pogonasimon  (trapetsiya),  (5)  esa  uchburchak  ko'rinishidagi 
sistema  deyiladi.  (5)  bo‘lgan  holda  oxirgi  tenglamadan  xn =  B n  ga 
egamiz.  xn  ning  qiymatini  oldingi  tenglamaga  qo'yib,  jcn_,  ni  topamiz, 
uni  o‘z  navbatida  oldingi  tenglamaga  qo‘yib, 
ni  topamiz  va  h.k.
Yuqorida  aytilganlami  yakunlab  quyidagilami  hosil  qilamiz.  Gauss 
metodini  chiziqli  tenglamalarni  har  qanday  sistemasi  uchun  tadbiq 
etish  mumkin.  Bunda,  agar  almashtirishlar  jarayonida  barcha 
noma’lumlaming  oldidagi  koeñitsientlari  nolga  teng,  ozod  hadi  esa 
noldan  farqli  bo'lgan tenglama  hosil  qilsa,  sistema birgalikda bo‘lmaydi;
60

agar bunday  tenglamaga  ega  boimasak,  sistema  birgalikda  bo'ladi.  Agar 
birgalikdagi  sistema  (5)  uchburchak  ko‘rinishiga  kelsa,  u  aniq  bo'ladi,
(4)  ko'rinishiga  kelsa,  aniqmas  bo'ladi.  Aytilganlarni  chiziqli  bir  jinsli 
tenglamalar sistemasi  boMgan  holga,  ya’ni  ozod  hadlar nolga  teng boigan 
tenglamalarga  ham  qoMlash  mumkin.  Bunday  sistema  har  doim  bii^ga- 
likda  bo‘ladi,  chunki  y  (0,0,...,0)  nol  yechimga  ega.  Qaralayotgan 
sistemada tenglamalar soni  nojna’lumlar sonidan  kichik bo‘lsin.  U   holda, 
sistemamiz  uchburchak shakliga  keltirilishi  mumkin  emas,  chunki  Gauss 
metodi  bo‘yicha  o'zgartirish  jarayonida  tenglamalar  soni  kamayishi 
mumkin,  lekin  ortishi  mumkin  emas,  binobarin  u  (4)  ko'rinishga  kel- 
tiriladi,  ya’ni  aniqmasdir.
l-misol.  Quyidagi  chiziqli  tenglamalar  sistemasini  Gauss  metodi 
bilan  yeching:
+  
2 x
,  +  
3x3  =
 I;
< 2 x
,  - 
x 2  + 2 x 3  =
 6;
+ i ,  -3*3  = 7.
Yechish.  Birinchi  tenglamadagi 
jc
,  oldida  turgan  koeffltsient  yor- 
damida  qolgan  tenglamalardagi  x,  noma’lumdan  qutilamiz.  Buning 
uchun  birinchi  tenglamaning  barcha  hadlarini  2  ga  ko'paytirib,  ikkinchi 
tenglamadan  ayiramiz.  Birinchi  tenglamaning  o‘zini  uchinchi  tengla- 
madan  ayiramiz.  Natijada  quyidagi  ko‘rinishdagi  sistemaga ega bo'lamiz:
x ,   +  
2
x
2
  +   3 x ,   =   1;
< -5
x
2 -4
x
3  = 4;
-x2
  -
6
x ,  =  
6
.
Ikkinchi  va  uchinchi  tenglamalar  faqat 
a
:2  va  x3  noma’lumlarga 
ega.  Uchinchi  tenglamaning  hadlarini  5  ga  ko‘paytirib,  2-tengIamdan 
ayiramiz.  Natijada  tubandagi  sistema  hosil  bo'ladi:
x,  + 
2 x 2
  + 3
jc
3  = 1;
•  —5
x
2 -4
jc
3  = 4;
-26x3  = 26 .
Uchinchi  tenglamadan  x z =-\,
 
buni  ikkinchi  tenglamaga  qo‘yib, 
x,  noma’lumli  topamiz:
- 5 x 2
  -4-(-1)x3  = 4 ; 
x

,  = 0.
61

x,  va  x3  noma’lumlaming  qiymatlarini birinchi tenglamaga  qo'yib, 
x,  noma’lumni  topamiz:  x, + 0 - 3  =  1; 
jc
,  =  4.
Javob:  (4 ;0;- l).
2-mlsol.  Ushbu:
x,  + 2x2 + 
3 x 3
 
=  7;
< 2x,  + 
3 x 2
 
+  Xj =  5;
2x, 
+ 4 x 2
 

6 x 3 
=14. 
chiziqli  tenglamalar  sistemasini  yeching.
Yechish.  Birinchi  tenglamadagi 
x 2
 
oldida  turgan  koeffitsient  yor- 
damida  qolgan  tenglamalardagi 
x n
 
noma’lumdan  qutulamiz.  Buning 
uchun  birinchi  tenglama  hadlarini  uchga,  ikkinchi  tenglama  hadlarini
2  ga  ko‘paytirib,  birinchi  tenglamani  ikkinchi  tenglamadan  ayiramiz.
Natijada  quyidagi  ko'rinishdagi  sistemaga  ega  bo'lamiz:
x, + 
2 x 2
 
+  
3 x 3 
- 7; 
x x
  + 0 - 7 j c 3  =  
i ;
0 + 0 +  0 =  0.
Uchinchi  tenglama  hadlari  va  ozod  hadi  nollardan  iborat  bo'lgani 
uchun,  bu tenglamani tashlab yuborsak,  tubandagi  sistema  hosil  bo‘ladi:
J x

+ 2
x
2  + 3 x 3
  = 7 ;
|xj -7*3 =-11.
Birinchi  tenglamadagi 
x t
 
noma’lumdan  qutulish  uchun  1-tenglam­
ani  2-tenglamadan  ayirsak,  x,  va 
x 2
 
noma’lumlaiga  nisbatan  yechil- 
adigan  ushbu  sistemaga  ega  bo‘lamiz:
J-2x2 - 
1 0 x 3 
=-18;
[x, - 7x3 =-11.
Ikkinchi  tenglamadan  x,  r^,  birinchi  tenglamadan 
x 2
 
ni  topamiz:
[x,  = 7 x 3 -11;

x 2 
- -5x3 + 9.
bu  yerda  x,  ixtiyoriy  son.
0 ‘z-o‘zini  tekshirish  uchun  savollar.
1.  Gauss  metodining  mohiyatini  tushintiring.
2.  Gauss  metodi  yordamida  misollar  yechib  ko‘rsating.
62

IV  B O B
V E K T O R L A R   V A   C H I Z I Q L I   A L G E B R A   E L E M E N T L A R I
l-§.  Vektor.  Nol  vektor.  Vektor  uzunligi,  qiymati  va
yo‘naIishi
Agar  kesma  oxirlarining  tartibi  e’tiborga  olinsa,  u  yo'nalgan  hisobla- 
nadi.  Agar oldin  A  nuqta  keyin  B  nuqta  berilgan  bo'lsa,  u  holda  A  nuqta 
~
4
ß  yo‘nalgan  kesmaning  boshi  B  nuqta  esa  oxiri  deyiladi.  AB  yo'nalgan 
kesma  ustiga  chiziq  qo'yish  bilan  belgilanadi.  Oddiy 
kesmaning  uchlari  teng  huquqli  bo‘lib,  ulaming  tar- 
tibini  ahamiyati  yo‘q.  Y o ‘nalgan  kesmada  esa  boshi 
oxirining  o'rinlari  almashtirilishi  bilan  ulaming 
yo'nalishi  o‘zgaradi.  Y o‘nalgan  A B   kesmaning  uzun­
ligi  deb,  \AB\ 
kesmaning  uzunligiga  aytiladi  va
\AB\  bilan  belgilanadi.  Y o ‘naltirilgan  kesma  vektor
deyiladi.  Vektorlami  belgilashda  biz  ustiga  strelka 
qo‘yilgan  kichik  harflardan  foydalanamiz:  a, b , c ,.... 
Ba’zan  vektorlar  kesma  oxirlarini  ko'rsatuvchi  o‘sha 
harflar  bilan  ham  belgilanadi.
Masalan, 
vektorni 
25, 
26-chizmada 
ko'rsatilgandek,  A B   ko'rinishda  belgilash  mumkin. 
A  nuqta  vektoming  boshi,  B 
nuqta  vektorning_ oxiri  deyi­
ladi.  Agar 
A B  
va 
C D  
yo‘nalgan  kesmalar 
bir  xil 
(qarama^qarshi)^ yo‘nalishli  . 
bo‘lsa  A B   va  C D   vektorlar 
bir 
xil 
(qarama-qarshi) 
yo‘nalishli  vektorlar  deyiladi.
(27-chizma.)
63
25-chizma.
26-chizma.
ul
I
c/_
27-chizma.

5  vektoming  absolut  qiymati  (uzunligi)  yoki  moduli  deb  shu  vek- 
tomi tasviriovchi kesma uzunligiga aytiladi.  a  vektoming absolut  qiymati
A B
bilan  belgilanadi.
\â\  bilan,  A B   vektoming  absolut  qiymati  esa 
Moduli  biiga  teng  bo‘lgan  vektor  birlik  vektor  deyiladi.  Vektoming 
boshi  uning  oxiri  bilan  ustma-ust  tushishi  mumkin.  Bunday  vektorlar 
nol  vektor deb  ataladi.  Nol vektor ustiga  strelka  qo'yilgan  nol  (Ö)  bilan 
belgilanadi.  Nol  vektoming  yo‘nalishi  haqida  so‘z  yuritilmaydi  —  u 
aniqlanmagan.  Nol vektoming moduli  nolga teng deb hisoblanadi.  Noldan 
farqli  ikkita  vektor  bir  to‘g‘ri  chiziqda  yoki  pairallel  to‘g‘ri  chiziqlarda 
yotsa,  bunday  vektorlar kollinear vektorlar deyiladi.  d,b  vektorlaming 
kollinearligi  1| b  ko'rinishida  belgilanadi.  Uzunliklari  teng,  kollinear 
va  bir  xil  yo'nalishli  ikkita  ô  va  j   vektorlar  teng  vektorlar  deyiladi  va 
a =  b  ko'rinishida  belgilanadi.  Bir  tekislikka  parallel  bo'lgan  yoki  shu 
tekislikda  yotuvchi  vektorlar  komplanar  vektorlar  deyiladi.
O ‘z-o‘zini  tekshirish  uchun  savollar.
1.  Vektor  nima?
2.  Kollinear,  komplanar  va  nol  vektorlami  tushuntiring.
2-§.  Vektorlar  ustida  amallar
2.1.  Vektorlarni  qo‘shish.
Ta’rif.  Ikkita  a  va  b  vektorlaming  yig'indisi  deb  istalgan  A  nuq- 
tadan  â  vektomi  qo‘yib,  uning  oxiri   ga  b  vektomi  qo'yganda boshi 
a  vektoming  boshi  A  da,  oxiri  b  vektoming  oxiri  C   da  bo‘lgan  A C  
vektoiga  aytiladi.  (28-chizma.)
a,b  vektorlaming yig'indisi  ä + b 
_______X
bilan  belgilanadi.  Vektomi  qo'shish 
ta’rifidan  istalgan A,  B  va  C  uch nuqta 
uchun
A B + B C = A C  
W
tenglik  o'rinli  bo‘lishi  kelib  chiqadi.
(1)  tenglik  vektorlarni  qo‘shishning 
uchburchak qoidasi  deyiladi.  Ikki  kol­
linear vektomi  qo'shish  ham  shu  qo- 
ida  bo‘yicha  bajariladi.
64

Vektorlarni  qo'shish  amali  quyi- 
dagi  xossalarga  ega:
1. 
Qo'shishning  gruppalash  (assot- 
siativlik)  xossasi.  Har  qanday  a, b ,c  
vektorlar  uchun 
(a+b)+c=a+(p +c) 
munosabat  o'rinli.
Isbot.  Vektorlarni  qo'shishning 
uchburchak  qoidasidan  (29-chizma.):
29-chizma.
q
 + b — OA-t- A B  — OB',
(o +  ) +  c = O B +  B C  — OC', 
b +  c — A B +  B C  — AC', 
a +  (b+ c) =  OA  + A C  =  O C ;
bundan  (a + b^ +  c = 5  + ( i  + c j   ekani  kelib  chiqadi.
Q o ‘shiluvchi  vektorlaming 
soni  ikkitadan  ortiq  bo'lganda  ulami 
qo'shish  quyidagicha  bajariladi.  Berilgan  a, b, c , ..., I  vektorlaming 
yig'indisini  hosil  qilish  uchun 
a 
vektoming  oxiriga  b  vektoming 
boshini  qo'yish  keyin,  b  vektoming  oxiriga  c  vektoming 
boshini 
qo'yish  va  h.k.  Bu  ishni  oxirgi  vektor  ustida  bajarilguncha  davom 
ettirish  kerak.  Yig‘indi  vektor  yani  a + b + c  + ... + /  yig'indisi  bo‘lgan 
vektor  boshi  a  vektoming  boshidan,  oxiri  esa  /  vektoming  oxiridan 
iborat  vektor  bo‘ladi.
65

Masalan,  30-chizmadagi  A F   vektor  berilgan  ä, b, c, d, lami  qo'shishdan  hosil  bo‘lgan  vektordir.
2) 
Qo'shishning  o‘rin  almashtirish  (kommutativlik)  xossasi.  Наг 
qanday  ikkita  5  va  ¿  vektor  uchun  ä + b =  b + ä   tenglik _o‘rinlidir.
Isbot.  ä - O A   va  b =  A B   bo'lsin. 

b   Ikki  hoi  bo'lishi  mumkin:
a)  ä, b  vektorlar  kollinear  emas. 
Bu  holda  О,  A, В   nuqtalar bitta to‘g‘ri 
chiziqda  yotmaydi  (31-chizma).  О  A B  
uchburchakni  O A B C   parallelogramm- 
ga  to‘ldirsak,  vektorlami  qo'shishning 
uchburchak  qoidasiga  ko'ra:
о + b =  O A +  A B  =  OB,
b + о — O C +  C B  =  OB , 
bu  ikki  tenglikdan  esa  ä + b = b + 5 
kelib  chiqadi.
b) 
5 II6  bo‘lsin.  Bu  holda  0 , A , B   nuqtalar  bitta  d  to'g'ri  chiziqda 
yotadi.  d  to'g'ri  chiziqda  yotmaydigan  С  nuqta  olaylik,  u  holda
О С  + C B  = OB . 
(2)
a)  holga  ко'га  O C +  C B  = C B +  О С  ■
Lekin,  C B  =  C A +  A B , О С  = O A +  A C   bo'lgani  uchun: 
O B  =  C A + A B + O A +  A C  = A B +  O A  ;
(3)
qarama-qarshi vektorlar yig'indisi  о  ga teng bo'lgani uchun  C A + A C  - Ö 
ikkinchi  tomondan,
O B  = O A +  A B  
(4)
(3)  va  (4)  tengliklardan  ä + b = b + 3   tenglikka  ega  bo'lamiz.
3)  har  qanday  ä  vektoiga  nol  vektor  qo'shilsa,  ä  vektor  hosil 
boiadi,  ya’ni  5  +  6 =  5.  Uchburchak  qoidasiga  ko'ra  istalgan  3 = 
O A  
vektor  uchun 
O A +  A A  =  O A
 
tenglik  yoki  5 +  0 = 5  tenglik  o'rinli.
4)  har qanday  5  vektor uchun shunday  ä'  mavjud-ki,  uning uchun:
5  +  5' = 0
(5)
2.2.  Vektorlarni  ayirish.
T a’rif.  5,6   vektorlaming  ayirmasi  deb,  5  vektor bilan  b  vektoiga 
qarama-qarshi  — b  vektoming  yig'indisiga 
aytiladi.  Bu  ta’rifdan
66

ko'rinadiki,  c = 
ci-b
 
ayirma  vektomi  yasash 
uchun  c = a  + 
(-b)
 
vektomi  yasash  kerak 
ekan.  Agar 
á,b
 
vektorlar  bitta 
O
 
nuqtaga 
qo‘yilgan  (32-chizma)  hamda 
a - O A
 
va 
t 

>
b
  =  
OB
 
deb  belgilangan  bo‘lsa,  u  holda
c = d - b =  OA- OB = OA+ O B  = B O +  OA = BA
Bu  holda 
a  va  b
 
vektorlaming  ayirmasini  topish  uchun  boshi 
g
nuqtada  oxiri 
A
 
nuqtada  bo'lgan 
BA
 
vektomi  yasash  yetarli  bo'ladi.
2.3.  Vektorlarni  songa  ko‘paytirish.
a *  0  vektor  va  ce  son  berilgan  bo'lsin,  bu  yerda  a & R .
T a ’rif.  Vektorning 
a
 
songa  ko‘paytmasi  deb  shunday 
b
 
vektorga 
aytiladiki 
a >
 
0  boiganda 
b
 
ning  yo'nalishi 
a
 
ning  yo'nalishi  bilan 
bir  xil,   < 0  da 
b
 
ning  yo‘nalishiga  teskari  bo‘lib, 
b
 
vektorning 
uzunligi  esa  a  vektorning  uzunligi  bilan    son  modulining 
ko‘paytmasiga  teng, 
á
 
ning 
a
 
songa  ko‘paytmasi 
b = a a
 
shaklida 
belgilanadi.  Bu  ta’rifdan  bevosita  quyidagi  xulosalar  kelib  chiqadi:
a)  ixtiyoriy  a  vektor  uchun:  0-a = 0
b)  ixtiyoriy  a e R   son  uchun:  a   0 = 0
d)  ixtiyoriy  á  vektor  uchun:  1 • a = 5; (-1) • a = -5
e)  a  va  a a   vektorlar  o‘zaro  kollineardir:
33-a  chizmada  a  vektor 4  so- 
a 
,
niga  ko'paytirilgan;  ¿ = 4 a ;   33-b
chizmada  c  vektor  -2  soniga-----
ko'paytirilgan;  b = - 2 c .  Biror
a *
 
0  vektomi  o‘zining  uzunligi- 
_1_
ga  teskari  j^j  songa  ko'paytirilsa, 
shu  vektor  yo'nalishidagi  birlik
a
-2c
33-chizma.
vektor  (ort)  hosil  boiadi,  ya’ni 
_  ^o(|*o| - ').
Teorema.  Agar 
a\\b
 
( 5 * 0 )   bo'lsa,  u  holda  shunday 
a
 
son 
mavjudki,
67
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   29


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling