Farxod rajabov


VI  BOB FAZODA  TEKISLIK  TO‘G‘M   CHIZIQ  VA  IKKINCHI


Download 6.24 Mb.
Pdf ko'rish
bet12/29
Sana15.12.2019
Hajmi6.24 Mb.
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   29

VI  BOB
FAZODA  TEKISLIK  TO‘G‘M   CHIZIQ  VA  IKKINCHI 
TARTIBLI  SIRTLAR
l-§ .  Tekislik.  Tekislikning  berilish  usullari
1.1.Tekislikning  nonnali  va  bitta  nuqtaga  ko‘ra  tenglamasi.
Tekislik  o‘zining  biror  M 0(x0;y 0;z 0)  nuqtasining  va  normalining 
berilishi  bilan  fazoda  bir  qiymatli  aniqlanadi.  Tekislikka  peфendikular 
boigan  ñ ^ O   vektomi  tekislikning  normali  deyiladi.  Tekislik  teng- 
lamasini  aniqlash  uchun  Dekart  koordinatalar  sistemasini  tanlaymiz. 
{A ,B ,C }- i
7
  normalning  shu  sistemadagi  koordinatalari,  (x0;y 0;z a) 
esa    tekislik  M 0  nuqtasining  shu  sistemadagi  koordinatalari  bo'lsin. 
M ( x ;y ;z )   fazoning  ixtiyoriy  nuqtasi  bo'lsin.    nuqtani    tekislikka 
tegishli  bo'lishi  uchun  M 0M   vektor  Я  vektorga  peфendikular bo'lishi, 
ya’ ni 
M 0M - ñ = 0 
bo'lishi 
zarur  va  yetarli. 
M 0M  
vektor 
{x - x 0;y - y 0;z - z 0}  koordinatalarga  ega  bo'lgani  uchun,
M 0M - ñ = A (x - x 0) + B ( y - y 0) + C ( z - z 0) =  0.
Demak,    tekislik    nuqtasining  koordinatalari
A (x - x 0) + B ( y - y 0) + C ( z - z 0) = 0; 
(1)
tenglamani  qanoatlantiradi.
ñ * 0 b o ‘lgani  uchun  A 2 + В 2 + C 2  * 0  •  Endi  (1)  tenglamani  har 
qanday  xl;y l;z i  yechimi    tekislikning  biror  nuqtasini  aniqlashini 
isbotlaymiz.  Haqiqatan  ham  M ,   nuqta  x l;y l\zi  koordinatalarga  ega 
bo'lsin,  и  holda  M 0M X  vektor  {jc,  - x0;y x - y 0\zx.-zQ}  koordinatalarga 
ega  bo'ladi  va  (1)  munosabat  o'rinli  bo'lgani  uchun  M 0M ,   vektor  Я 
vektorga  peфendikular  bo'ladi.
110

1.2.  Tekislikning  bitta  nuqtasi  va  unga  parallel  ikkita  nokolinear 
vektorlarga  ko‘ra  tenglamasi.
Tekislik  o'zining  biror  M 0(x0;y 0;z 0)  nuqtasining  va  tekislikka 
parallel  bo'lgan  ikkita  nokollinear   = {a, ; /?, ; yx
q = {a 2\f32\y2}  vek- 
torlami  berilishi  bilan  aniqlanadi.
Tekislikda  ixtiyoriy  M ( x ;y ; z) 
nuqtani  olamiz.  U   holda  M 0M  
vektor  p ,q   vektorlar  bilan  kom- 
planar  bo'ladi,  demak,  bu  vektor­
lar  chiziqli  bog'Iiq  bo‘lib,  bundan 
ulaming koordinatalaridan tuzilgan
62-chizma.
uchinchi  tartibli  determinant  nolga  teng  bo'lib  chiqadi  (62-chizma). 
Vektorlarni  koordinatalarda  yozaylik.
M 0M  =  {x- x0;y - y 0;z - z 0};
P = {<*i\Pï>Yi)  4 = {P^ri)’
u  holda  quyidagi  tenglama  hosil  bo'ladi: 
x ~ x 0  y - y 0  z - z 0 
a, 
/?, 
yx 
= 0 . 
(2)
/?, 
y2
Aksincha, (2) shart bajarilsa,   nuqta    tekislikka tegishli bo'ladi. Demak,
(2)    ning tenglamasi.  Bu tenglama berilgan nuqtadan o‘tib, berilgan nokol­
linear  ikki  vektoiga  parallel  bo'lgan  tekislikning  tenglamasi  deb  ataladi.
M 0M ,  p ,q   ~  vektorlar  bir  tekislikda  yotgani  uchun,  ular  chiziqli 
bog'liqdir.  Y a ’ni,
M 0M  =  tp +  nq\t,ne R; 
(3)
bu  yerda  t,  n  sonlar  parametrlardir,  (3)  dan,
x =  x0 + a lt + a 2n;
y =  y<>+  P j  + p 2n\ 
(4)
z = z 0 + y lt + y2n;
(4)  —  tekislikning  parametrik  tenglamalari  deyiladi.
1.3.  Uchta  nuqta  orqali  o‘tgan  tekislik  tenglamasi.
Bir  tekislikda  yotgan  uchta  nuqta  tekislikning  vaziyatini  to‘la  aniq- 
laydi.  Aytaylik,  uchta  A/,(x,; y x; z , ) ,  M 2(x2;  y 2; z 2) ,   M 3(x3; y 3; z 3) 
nuqtalar  berilgan  bo'lsin.
Ill

A g ar  biz 
M 0 = M i ; 
p  = M lM 2 ; 
q = M ]M i
 
d e sa k   h a m d a  
M tM 2  = {x2  ~ x l;y 2  - y l;z2 - z l}  ,  M , M 3 ={x3 - x J;y3 - y 1;z3 - z 1}
  ni 
e ’tiborga  olsak,  (2)  tenglam a  quyidagi  ko 'rinishn i  oladi.
x - x ,
y - y ,
z - z .
X2 ~ X\  V 2 ~ y  I  Z2 ~ Z} 
x 3 ~ x1
 
3- y ,   Z1 ~ Z1
(5)  uch  nuqtadan  o ‘tgan  tekislik  tenglam asini  ifodalaydi.
0.
(5)
1.4.  Tekislikning  kesmalar  bo‘yicha  tenglamasi.
Tekislik  o 'zining  koordinata  o 'q larid a n   kesgan  kesm alari 
a,  b,  c 
lam ing  berilishi  bilan  aniqlanadi.  Aytaylik  tekislik  ko ordin atalar  b o - 
s h id a n   o 'tm a s in   va  u 
( O x ) , ( O y ) , (Oz)
  o 'q la r in i  m o s  ra v ish d a  
M t( a , 0 , 0 ) ,   M 2( 0 , b , 0 ) ,   M 3(Q,0,c)
  nuqtalarda  kessin.
U  holda  (5)  tenglam a  quyidagi  ko ‘rinishni  oladi:
x - a   y 
z
-a 
b
 
0  = 0;
-a
 
0 
c
bundan

y  
2
  1 
-  + — + -  = 1.
b
<6>
a  
t> 
c
(6
—  tenglam a  tekislikning  koordinata  o ‘qlaridan  ajratgan  kesm alari 
b o ‘yicha  tenglam asi  deb  ataladi.
1.5.  Teldslikning  lunumiy  tenglamasi.
Y uqorida  ko'rib  o 'tilg an   tekislik  tenglam alari  birinchi  darajali  b o 'lib , 
Ax + By + Cz + D =
 0; 
(7)
ko'rinishga  ega  b o ia d i.  S huning  u ch u n   (7)  k o ‘rinishdagi  tenglam aga 
tekislikning  um um iy  tenglam asi  deyiladi.  B unda 
A,B,C
  lar  b ir  vaqtda 
nolga  teng  emas.
Tekislikning  um um iy  tenglam asi  (7)  ga  k o 'ra   tekislikning  ko o rd in a­
ta  o'qlariga  nisbatan  joylashuvi  t o ‘g ‘risida  flkr  yuritam iz:
a)  agar 
D =
 0  bo 'lsa,  (7)  tekislik  koordinata  boshidan  o 'tad i;
b)  agar 
A =
 0  b o ‘lsa,  (7)  tekislik 
(Ox)
  o'qiga  parallel,  5  = 0  b o ‘lsa, 
(Oy)
  o'qiga  parallel, 
C
 = 0  b o ‘lsa  tekislik 
(Oz)
  o'qiga  parallel  b o ‘ladi.
112

A  -
 0 <=> 
n
 || (
Ox
), 
A = D -  0 
n  
zd
 (
Ox
);
B
 = 0 <=> 
7r
 || 
(Oy), B
 = 
D
 = 0 <=> 
7t 
zd
 (
Oy
);
B
 = 0 <=> 
7t 
|| (O z),C  =  
D  
=  
0 o i d  (O^); 
d)  agar 
A =  B =
 0 ,  C * 0   bo'lsa, 
||( x ö y ) .  Jum ladan, 
D =
 0  bo'lsa,
- = 0  y a’ni 
xOy 
tekislik  tenglam asiga  ega  b o ‘lam iz.  Shunga  o ‘xshash
x  = a  yOz 
tekislikligiga  parallel 
7t 
tekislikni  ifodalaydi. 
x = 

,  yOz 
tekislikning  o 'zin i  ifodalay­
di. 
y  
= b 
esa 
7t\\(xOz) 
tek­
islikni, 
y  
=
 0  b o 'lsa 
xOz 
tekislikning  o ‘zini  ifodalay­
di  (63
-a,  b,  d 
chizm alar).
1 -m iso l. 
M (  2 ;4 ;-6 ) 
n u q ta   o rq a li  o ‘tu v ch i  va 
;1 = {3;-1;6}  vektorga  p er­
pendikulär b o ‘lgan  tekislikn­
ing  tenglam asi  tuzilsin.
Yechish.  Bizga  m a’lum - 
ki,  b e rilg a n  
M ^ x ^ y ^ z , )
nuqtadan  o ‘tib 
n  = {A,B,C}
  vektorga  perpendikulär  b o ‘lgan  tekislikn­
ing  tenglam asi 
A ( x - x t) + B ( y - y t) + C(z -  z t) = 0
  ko ‘rinishda  edi.  M a- 
sala  shartidan 

2;y,  =
 4 ;r,  = - 6   ; 
A = 3:B = - l : C  = 6
  Bularni  teng- 
lam aga  qo'ysak,
3 ■
 (x -  2) - 1  • (>» -  4) + 6 • (z + 6) = 0;
3x -  6 -  
y
 + 4 + 
6z
 + 36 = 0;
3.T -  
y
 + 
6z +
 34 = 0.
Bu  izlangan  tekislik  tenglam asi.
2 -m is o l. 
T e k islik  
A(
3;  4;  3) 
n u q ta d a n  
o ‘tib , 
p  = {
2;  1;  2}, 
q
  =  (3;  4;  2}  vektorlarga  parallel  b o ‘lsin.  Shu  tekislikning  param etrik  va 
um um iy  tenglam alari  tuzilsin.
Yechish.  Berilganlam i  (2)  tenglam a  bilan  solishtirsak,
-Y0  — j ,  
y Q
  — 4,  ~o  — 
a \
  = 2
ß,
  = 1;  / ,   = 2
a 2
  = 3 ; 
ß 2
  = 4; 
y z
  = 2; 
larga  ega  b o ‘lamiz.
(4)  ga  asosan  param etrik  tenglam asi  quyidagi  ko 'rin ishd a  b o ‘ladi
Shuningdek,
113

 
= 3 + 
2t
 + 
Зр; 
y = 4 + t + 4 p ; 
z = 3 + 2t + 2p;
(2)  ga  asosan:
л- —3 
y - 4   z - 3  
2
 
1
 
2
 
=
0



2
U c h in c h i  tartib li  d eterm in a n tn i  ochib  ixcham lasak,  tekislikning 
um um iy  tenglam asiga  ega  b o ‘lamiz.
6 x - 2 y - 5 z  + 5
 =  
0.
Bu  tenglam a  —  izlangan  tekislikning  um um iy  tenglam asi.
3-misol. 
3x + y - 6 z - 1 8  =  0  tekislik  berilgan.  Bu  tekislikning  koor- 
d in ata  o ‘qlari  bilan  kesishish  nuqtalarini  koordinatalarini  toping.
Yechish. 
Berilgan  tenglam ani tekislikning  koordinata  o ‘qlaridan kesgan 
kesm alari  b o 'y ic h a   tenglam asi  ko ‘rinishga  keltiram iz.
D em ak,  tekislik 
(Ox)
  o 'q in i  (6;0;0) 
(Oy)
  o ‘qini  (0 ;1 8 ;0 ), 
(Oz) 
o ‘qini  (0;0;3)  nuqtalarda  kesadi.
1.  Tekislikning  normal  vektori  nima?
2.  Tekislikning normali va bitta nuqtasiga ko‘ra tenglamasini  keltirib chiqar-
ing.
3.  Tekislikning  bitta  nuqta  va  unga  parallel  ikkita  nokolleniar  vektorlarga 
ko‘ra  tenglamasini  chiqaring.
4.  Tekislik  tenglamasidagi  hadlarga  qarab,  u  koordinata  o'qlariga  nisbatan 
qanday  joylashadi?
2-§.  Fazoda  ikkita  va  uchta  tekislikning  o‘zaro  joylashuvi
2.1.  Fazoda  ikkita  tekislikning  o'zaro  joylashuvi.
Aytaylik,  D ekart  ko o rd in ata  sistem asida  ikkita  тг,  va  я ,   tekisliklar 
o ‘zlarining  tenglam alari  bilan  berilgan  b o ‘lsin.
3x 
y _ _ te _  
18 
18 
18
ly o k i  £  + ü _ £  = i. 

18 
3
0 ‘z-o‘zini  tekshirish  uchun  savollar.

A,X + ß ty  + C,z + D,  = 0 ; 
п г : 
A 2
x
 

B2y  + C 2z + D2 =
 
0 .
(1)
(2)
114

Bu  ikki  tekislik  to ‘g ‘ri  chiziq  orqali  kesishadi,  yoki  ular  o 'z a ro  
parallel  b o ‘lib,  um um iy  nuqtaga  ega  em as,  yoki  u stm a-u st  tushadi  (64-
a,  b,  d  chizm a).  Bu  h ollam ing  qaysi  biri  yuz  berishini  bilish  u ch u n   я -,, 
я 2
  ga  tegishli  ten g lam alar  sistem asini  tekshirish  kerak  (bu  m atritsalar 
yordam ida  tekshiriladi).
64-chizma.
2.2.  Fazoda  uchta  tekislikning  o‘zar o  joylashuvi.
Aytaylik,  D ekart  k o ordinata  sistem asida  uchta  tekislik  o 'z in in g   teng - 
lam alari  bilan  berilgan  b o ‘lsin.
л x
  : 
A,x
 + 
Bty  + C,z
 +  Z),  = 0 
(3)
я --,  : 
A-,x
 + 
B^y
 + 
C-,z
 + 
D
,  = 0 
(4)
7Г,  :  A.x
 + 
B. y
 + 
C:z
 +  
D.  
-
 0 
(5)
Bu  u ch ta  tekislikning  fazoda  o ‘zaro  joylashuvida  8  ta  hol  ro ‘y 
berishi  m um kin  (65-chizm a).
1)  U ch ta  tekislik  bitta  um um iy  nuqtaga  ega;
2)  Tekisliklar ju ft-juft  kesishadi,  am m o  um um iy  nuqtaga  ega  em as;
3)  U ch ta  tekislik  bitta  t o ‘g ‘ri  chiziq  bo'y ich a  kesishadi;
4)  lkkita  tekislik  o 'z a ro   parallel  b o ‘lib,  uchinchi  tekislik  ulam i 
kesadi;
5)  U ch ta  tekislik  o ‘zaro  parallel  joylashgan  b o'ladi;
6)  lkkita  tekislik  ustm a-ust  tushadi  va  uchinchi  tekislik  ularni  kesadi;
7)  lkkita  tekislik  ustm a-ust  tushadi  va  uchinchi  tekislik  ularga  parallel 
bo'ladi;
8)  U ch ta  tekislik  ham   ustm a-ust  tushadi.
Bu  h ollardan  qaysi  biri  yuz  berishini  bilish  uch un  
ga
tegishli  tenglam alar  sistem asini  tekshirish  kerak  (bu  ham   m atritsalar 
yordam ida  tekshiriladi).
115

d)
65-chizma.
Misol. 
x + 2 y  + z = 6 ,
  2x + 3z = 10  va  3 ,v - 2 z  = - l   tekisliklarning 
kesishm asi  aniqlansin.
Yechish. 
Bu  tekisliklarning  kesishm asini  aniqlash  u ch u n   quyidagi 
sistem ani  yechim ini  aniqlaym iz;
x + 2 y  + z =
 6;
-  2.v + 3 r  =  10;
3 y - 2 z  =
 - 1 .
Bu  sistem alar  u ch u n   quyidagi  d e te rm in a n tla m i  tu zam iz  va  uni 
hisoblaym iz.
A =





3

3 - 2
=  6 — 9 + 8 =  5.
116

- = ^ -  = — = 2 
Д 
5
Д ^ _   Ю 
_ 2  
Д 
5
D em ak,  tekisliklar  (2;  1;  2)  nuqtada  kesishadi.
0 ‘z-o‘zini  tekshirish  uchun  savollar.
1.  Ikkita  tekislikni  fazoda  o'zaro  joylash u vin i  tushintiring.
2.  U ch ta  tekislikni  fazoda  o'zaro  joylashuvini  tushintiring.
3-§.  Ikki  tekislik  orasidagi  burchak
F azo da  D ekart  ko o rd in ata  sistem asida  kesishuvchi  ikki  tekislik 
o ‘zining  tenglam alari  bilan  berilgan  bo'lsin.
л х\  Ayx + B xy +  C xz + D x=
 0 ; 
(1)
п.,
  : 
A^x
 + 
B^y + C 2z
 + D ,  = 0 . 
(2)
Ikki  tekislik  kesishganda  to 'r tta  
ikki  y o q li  b u rc h a k   h o sil  b o 'li b , 
ulardan  o 'z aro   vertikal  bo'lganlari  teng 
(66-chizm a).
D em ak,  ikkita  har xil  burchak  hosil 
b o 'lib ,  u la rn in g   biri  ik k in c h is in i 
to 'ld ira d i.  S huning  uchun  shu  ikki 
burchakdan  birini  topsak  yetarli.  Ikki 
yoqli  bu  ikki  b u rc h ak d an   birin in g  
chiziqli  burchagi  berilgan  tekislikning 
66-chizma
л,  ={Л, 
va 
ñ2 = {A2\B2, C 2}
 
_  
_
norm al  vektorlari  orasidagi  burchakka  teng  bo'ladi. 
n
,  va 
n 2
  orasidagi 
burchakni  ф  desak,
_   V 
/71  • « :
c o s y  = c o s (^ |A /7: ) =  
I I I - 
(3)
I / 711  ■ | /7:|
A   =

Á.
 
1
10 

3
- 1   3  - 2
=  7 0 - 6 0  =  10;
A..  =




10 
3 
- 1   3  - 2
1
 
2
 

2
 
0
 
10 
О 
т - 1
=  2 7  -  22  = 5;
= 4 0 - 3 0  =   10:
117

(3)-formuladan  xususiy  holda  ikkita  tekislikning  perpendikularlik 
sharti  kelib  chiqadi,  ya’ni  Я ,« ,  =0  bundan  esa 
A
x
A2
 + 5 ,5 , +C,C,  =0  ikki  tekislikning  perpendikularlik  sharti:
A¡  _   B,  _ C ,
A , ~ B , ~ C ,
  y0k‘ 
A, : BI :C1 = A2 :B2 : C2
 
(4)
esa  ikki  tekislikning  parallellik  shartlarini  ifodalaydi.
Misol. 
Berilgan  ikki 
3x + 2 y - 2 z  + 
4  = 0
  va 
2x + 2 y  + 5 z - 3  = 0 
tekisliklar  orasidagi  burchak  topilsin.
Yechish. 
Ikki  tekislik  orasidagi  burchak
А. Л,   + B . B ,  + C .C , 
cosy =  . 
1 —---- -  :----
y j A Î + B Î + C Ï y j A i + B l + C ;  
formula  yordamida  aniqlanadi.  Berilgan  tekisliklarda 
A , =
 3, 
B , =  2,  C , = - 2
  va 
A2 = 2,  B2 = 2,
  C, = 5 
Demak,
3 - 2  +  2 - 2 - 2 - 5  
6 +  4 - 1 0
cosy =
ф 1
  + 2 :  + ( - 2 ) : л/
2 3
 
+ 2 '
  + 5 : 
7 9  + 4 + 4 - ^ 4  + 4 + 25
0
7t
" V Í 7 .V3 3 " 0  COS^ _0; 
Ç ~ 2
Demak,  berilgan  ikki  tekislik  o'zaro  perpendikulär.
O‘z-o‘zini  tekshirish  uchun  savollar.
1.  Ikkita  tekislik  orasidagi  burchakni  hisoblash  uchun  formula  keltirib 
chiqaring.
2.  Ikkita  tekislikning  parallellik va  perpendikularlik shartlari  nimadan  iborat?
4-§.  Nuqtadan  tekislikkacha 
bo‘lgan  masofa
Fazoda  Dekart  koordinatalar  siste- 
masida 
M 0( x0, y 0, z
Q) 
nuqta 
va 
Ax + By + Cz + D  =
 0  tekislik  berilgan 
bo'lsin.  M0 nuqtadan tekislikkacha bo‘Igan 
masofani  hisoblash  talab  qilinsin.  Buning 
uchun  berilgan 
M 0
  nuqtadan  tekislikka 
tushirilgan  perpendikulaming  asosini  #  
bilan  belgilaymiz  (67-chizma).
118
67-chizma.

\ HM0\ = d
  biz  izlayotgan  masofa  bo‘ladi. 
n = {A;B;C}
  tekislik 
normal  vektorini  o'tkazamiz. 
H M 0
  vektor 
n
  vektorga  kollinear. 
H M 0 
va 
n
  vektorlami  skalyar  ko‘paytmasini  topamiz.
H M *   - n = \ H
 
A / 0| - | « | - c o s ( i /   A / 0, A « )  
= i/-|n |-(± l)
Bundan  esa
~ W ~  
m
(1) 
formulani  koordinatalarda  hisoblaymiz.  Aytaylik 
H
  nuqtaning 
koordinatalari 
bo'lsin.  U  holda
H M0 ■ n
 = 
A( x0 -  x
,) + 
B ( y
o -  
y
,) + 
C ( z 0 -
 z,) =
= Ax0 + B y 0 + C z 0 - ( A x ,
 + 5y, +Cz,)
bo'ladi. 
H
 nuqta berilgan  tekislikda  yotgani  uchun 
Axx
 +5y, 
+Czx
 +Z)=0
bo'ladi,  bundan  esa 
H M 0
 • 
n
 = 
Ax0
 + 
By0 + Cz 0
 + 
D

ft = ^ A 2 + B2 + C 2 
ekanini  e’tiborga  olsak,

Ax0  +ByD
 +Cz„ 
+D\
C05* °  
J s + e + c '
 
(2)
formulaga  ega  bo‘lamiz.  Bu  formula  nuqtadan  tekislikkacha  bo‘lgan 
masofani  hisoblash  formulasidir.
1-misol.  A/(l;—
2;3)  nuqtadan 
2x + 3 y - 4 z  + 4 = 0
  tekislikkacha 
bo'lgan  masofani  toping.
Yechish.  (2)  formulaga  ko'ra
JC0 = 1; 
y 0 = - 2 ;   z 0
 =3; 
A = 2 ; B  = 3;  C = - 4 ;  D  = 4 .


| l • 2 + 3• ( - 2 )  + ( - 4 ) ■ 3 + 4| 
12 

12 
u  holda 
d  = ■
------, 
----
d  = —j =
  (birlik).
^ 2 2 
+32 
+ ( - 4 ) 2 
^
 
^
0 ‘z-o‘zini  tekshirish  uchun  savollar.
1. 
Fazoda  nuqtadan  tekislikkacha  bo‘lgan  masofa  formulasini  keltirib 
chiqaring.

5-§.  Fazoda  to‘g‘ri  chiziq.  To‘g‘ri  chiziqning  berilish  usullari
5.1.To‘g‘ri  chiziqning  biror  nuqtasi  va  yo‘naltiruvchisiga 
ko‘ra  tenglamasi.
T o ‘g‘ri 
chiziq 
o'zining 
biror 
M 0(x0, y 0, z Q)
  nuqtasi  va  shu  to‘g‘ri  chiz- 
iqni  yo'naltiruvchi  vektori  ¿ = {£,;£2;£3} 
ning berilishi  bilan  aniqlanadi  (68-chizma). 
To‘g‘ri  chiziqning  ixtiyoriy 
M( x , y , z )
  nuq- 
tasini  olaylik; 
M 0M
  va 
J
  vektorlari  kol- 
linear  bo'lgani  uchun
=
 
(
t e R

(1)
O M 0 = r 0,  O M  = r
 
desak, 
hamda 
M 0M  = O M - O M 0
  ni  hisobga  olsak,  (1) 
ni  quyidagicha  yozish  mumkin:
r = r 0 + ft.
 
(2)
(2)  tenglama  to‘g‘ri  chiziqning  vektorli  tenglamasi  deb  ataladi. 
M 0M  = { x - x 0; y - y 0- , z - z 0}
  va  (1)  dan
x = x0 + £ lt;
y  = y 0 + e 2t;
 
(3)
z  = z 0 + t j t ;
ko‘rinishdagi  tenglamalar  sistemasi  to‘g‘ri  chiziqning  parametrik  teng- 
lamalari  deyiladi.
5.2.  To‘g‘ri  chiziqning  kanonik  tenglamasi.
(3)  -   tenglamadan  parametr  t  ni  chiqarib
*-*0 
^ -^ 0  
Z- Zp
?
e
e
 
^

r'  2 
C  3
ega  bo'lamiz.  Bunga  to‘g‘ri  chiziqning  kanonik  tenglamalari  deyiladi.
5.3.  Ikki  nuqta  orqali  o‘tgan  to‘g‘ri  chiziq  tenglamasi.
Ikkita 
y }; z t )
  va 
M 2(x2; y 2; z 2)
  nuqtalar  orqali  o‘tuvchi
to‘g‘ri  chiziq
* - * i   _ 
y ~ y ,   _  z - z ,
*2-*i 
y i - y >  
z 2 ~ z l
 
(5)
tenglamalar  bilan  ifodalanadi  (bu  tenglama  birinchi  punktdagi 
M 0 
nuqta  o'miga 
m
  va 
1 = M\M~2
  deb  olinsa,  (1)  munosabatdan  kelib 
chiqadi).  Yoki

Download 6.24 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   29




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling