[-]

x, y)



 




X
× Y
&  
 
"

R

&  
!



!



  
&


 
 -
pr
1
R
= {x : x ∈ X, ∃ y ∈ Y, (x, y) ∈ R} ,
pr
2
R
= {y : y ∈ Y, ∃ x ∈ X, (x, y) ∈ R} .
'
&  
R
 



 


 

  
'



A(X)
 
X

!


&  
 

 
  
[

 




 

!


   

1
&  




 


  

 
A
∪ B = B ∪ A,
A
∩ B = B ∩ A.




 

x
∈ A ∪ B


   
'
x
∈ A ∨ x ∈ B =⇒ x ∈ B ∨ x ∈ A =⇒ x ∈ B ∪ A

   
\ 
A
∪ B ⊂ B ∪ A


*
y
∈ B ∪ A
 



 

 
y
∈ B ∨ y ∈ A =⇒ y ∈ A ∨ y ∈ B =⇒ y ∈ A ∪ B

 

(
B
∪ A ⊂ A ∪ B


_


 
 
A
∪ B = B ∪ A

 


!



\   

 

 -
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).


x
∈ (A ∪ B) ∩ C
 




 
1
(


x
∈ A ∪ B ∧ x ∈ C

 
'


(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧x ∈ C =⇒ x ∈ A∪C ∧ x ∈ B∪C =⇒ x ∈ (A∪C)∩(B∩C)


!

\ 
(A ∪ B) ∩ C ⊂ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)


*
y
∈
(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
 



 

 
y
∈ A ∪ C ∧ y ∈ B ∪ C =⇒ (y ∈ A ∨ y ∈ C) ∧ (y ∈ B ∨ y ∈ C)

 
'


y
∈ (A ∪ B) ∩ C

   

(
(A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ⊂
(A ∪ B) ∩ C


_


 
 
(A ∪ B) ∩ C =
(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

 


!

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
 




 

1
&  
 



 


 

 
 

!


 

 


_
 
!

 
!
 

 
-
E
\ ∪
α
A
α
= ∩
α
(E\A
α
), A
α
⊂ E.
(1.1)


 

x
∈ E\ ∪
α
A
α


   



x
∈ E


x /
∈ ∪
α
A
α

 


!

'
 

α
!


x

A
α
&  
 
 

  
\ 
x

A
α
&  
 
!
 

 
2


 
 

α
!


x
∈ E\A
α
"

 


x
∈ ∩
α
(E\A
α
)



   
'

E
\ ∪
α
A
α
⊂ ∩
α
(E\A
α
)
(1.2)
 


!

[


 

 
  
*
x
∈ ∩
α
(E\A
α
)

 

 
!

α

x
∈ E\A
α

 


x

A
α
&  
 

 



x /
∈ ∪
α
A
α

 
 
\ 
x
∈ E\ ∪
α
A
α


'

E
\ ∪
α
A
α
⊃ ∩
α
(E\A
α
)
(1.3)


  
3#%5


3#`5
 
3##5
 

 


 
A
= {(x, y) : |x| ≤ 4, |y| ≤ 4}


B
=

(x, y) : x
2
+ y
2
≤ 25

&"
 
!


A
∪B, A\B, AΔB, A∩B
&  
 
"

!
"#

1
 

!
 


  
 

  
'
 
A
= [−4; 4] × [−4; 4]

 
B


 


  



a

 

&




 
3##"!
 
5
A
∪ B −
##"!
 

 

A
\B

 
!
 

"



 

A
ΔB −
!
 

 



 


 

A
∩ B −
!
 

 

 



""#

$
(X\Y ) \Z = X\ (Y ∪ Z)
 

 


'  
&  
 

A
⊂ B


B
⊂ A
 

 
 
  
 
[
x
∈ (X\Y ) \Z
"




 
,
 
x
∈ X\Y, x /∈ Z ⇒ x ∈ X, x /∈ Y, x /∈
Z
⇒ x ∈ X, x /∈ (Y ∪ Z) ⇒ x ∈ X\(Y ∪ Z)

\ 
(X\Y ) \Z ⊂
X
\ (Y ∪ Z)

 
[


 

   
y
∈
X
\(Y ∪ Z)
 



 
,
 
y
∈ X, y /∈ Y ∪ Z

 
'


y
∈ X, y /∈ Y, y /∈ Z

 


y
∈ X\Y, y /∈ Z
 +
y
∈ (X\Y )\Z

 
   
\ 
(X\Y ) \Z ⊃ X\ (Y ∪ Z)

 
. 


 
(X\Y ) \Z = X\ (Y ∪ Z)
 


!


%
(X ∩ X
1
) × (Y ∩ Y
1
) = (X × Y ) ∩ (X
1
× Y
1
)
 

 


'



#a"  




   
∀(x, y) ∈ (X ∩X
1
)×
(Y ∩ Y
1
) ⇒ x ∈ X ∩ X
1
, y
∈ Y ∩ Y
1

'


x
∈ X, y ∈ Y ∧ x ∈
X
1
, y
∈ Y
1
⇒ (x, y) ∈ X × Y ∧ (x, y) ∈ X
1
× Y
1

 


(x, y) ∈ (X × Y ) ∩ (X
1
× Y
1
)

   
_
(
(X ∩ X
1
) × (Y ∩ Y
1
)
⊂ (X × Y ) ∩ (X
1
× Y
1
)

 
1


 

 
!


(x, y) ∈ (X × Y ) ∩ (X
1
× Y
1
)




 

 
2


 
(X ∩X
1
) ×(Y ∩Y
1
) = (X ×Y )∩(X
1
×Y
1
)
 

 


&
 

{A
n
}
&  

"

!





{B
n
}
&  "


"

 
5
B
n
⊂ A
n
, B
i
∩ B
j
= ∅, i = j,
∞
∪
n
=1
B
n
=
∞
∪
n
=1
A
n

 4
5
B
n
⊃ A
n
, B
n
+1
⊃ B
n
,
∞
∪
n
=1
B
n
=
∞
∪
n
=1
A
n

 4
!5
B
n
⊂ A
n
, B
n
+1
⊂ B
n
,
∞
∩
n
=1
B
n
=
∞
∩
n
=1
A
n

 
!
"#

'  
{A
n
}

"

!


{B
n
}
&  

"


!

   
B
1
= A
1
,
B
2
= A
2
\A
1
, . . . , B
n
= A
n
\
n
−1
∪
k
=1
A
k
, . . . .

 
{B
n
}
&  

"

 
5

!

 
 

<

5


!5

 
 "
 
!

{B
n
}
&  

"


  -
5
B
1
= A
1
,
B
2
= A
1
∪ A
2
, . . . , B
n
=
n
∪
k
=1
A
k
, . . .
!5
B
1
= A
1
,
B
2
= A
1
∩ A
2
, . . . , B
n
=
n
∩
k
=1
A
k
, . . . .

'
,


m
n
−
1
4n
2
,
m
n
+
1
4n
2

, m
∈ Z, n ∈ N


 
 !


√
2


!

  

 
\ 

m
∈Z

n
∈N

m
n
−
1
4n
2
,
m
n
+
1
4n
2

= R.


√
2

 

  
 

 
m, n
 
!


|m
2
−2n
2
| = 0

 
'
|m
2
−2n
2
| ≥ 1
 


  
[
 

 
m
∈ Z


 
n
∈ N
 
!


|
m
n
−
√
2| >
1
4n
2
 

 
  
'


√
2 ∈

m
∈Z

n
∈N

m
n
−
1
4n
2
,
m
n
+
1
4n
2




!

*
m
≤ 0

 

 


|
m
n
−
√
2| >
√
2 > 1, 4 >
1
4n
2
 
 
\ 
m >
0

 
 

(
n
∈ N


!


|
m
n
−
√
2| >
1
4n
2
 

 



*
m
n
≥ 2

 

 
 


 

 
2


 
n, m
∈ N


m
n
<
2

 
 

 

 
,
 
1 ≤ |m
2
− 2n
2
| ⇐⇒
1
n
2
≤ |
m
2
n
2
− 2| = |
m
n
−
√
2| (
m
n
+
√
2) ≤
≤ (2 +
√
2) |
m
n
−
√
2| < 4 |
m
n
−
√
2|.
'

|
m
n
−
√
2| >
1
4n
2
 


!

2


 
 

m
∈ Z


n
∈ N
!


√
2 ∈

m
n
−
1
4n
2
,
m
n
+
1
4n
2

.
2


 
 
 


()
*
+,
*


*+-
 +

#

-

#$"##8"  

 
 

 
.
1
&  




 
  
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
/
=  
 
!

 
!
 

-
E
\ ∩
α
A
α
= ∪
α
(E\A
α
), A
α
⊂ E.
(1.4)

A
ΔB = (A ∪ B)\(A ∩ B) .

A
∪ B = (A Δ B) Δ (A ∩ B) .

A
\B = A Δ (A ∩ B) .
 
*
A
⊂ E, B ⊂ E

 
(E\A)Δ(E\B) = AΔB
 
 
$
(A ∪ B)Δ(C ∪ D) ⊂ (AΔC) ∪ (BΔD).


%
A


B
&  
!


A
⊂ B ∪ (AΔB)

 
&
*
A
1


A
2
&  

 
 

B
1


B
2

!


B
1
∩ B
2
⊂ (A
1
ΔB
1
) ∪ (A
2
ΔB
2
)

 
##W"#%b"  

 
A


B
&  
!


A
∪ B, A\B,
A
ΔB, A ∩ B


&  
&
#%`"#%b"  

A
∪ B, A\B, AΔB, A ∩ B
&  
 
 
'
A
= [0, 1] , B = (0, 1) .
.
A
= {2, 4, 6, . . ., 2n, . . .} , B = {3, 6, 9, . . ., 3n, . . .} .
/
A
= Q, B = R\Q−
 
 
&  

A
= [0, 1] \Q, B = [0, 1] ∩ Q


A
= {x ∈ R : sin 4x = 0} , B = {x ∈ R : cos 2x = 0} .

A
= {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x} ,
B
= {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1} .
 
A
=

(x, y) : x
2
+ y
2
≤ 16

,
B
=

(x, y) :
x
2
25
+
y
2
9 ≤
1

.
#%a"#`W"  

 
 

 
$
X
⊂ Y ⇐⇒ X ∪ Y = Y ⇐⇒ X ∩ Y = X.
%
X
⊂ Z ∧ Y ⊂ Z ⇐⇒ X ∪ Y ⊂ Z.
&
Z
⊂ X ∧ Z ⊂ Y ⇐⇒ Z ⊂ X ∩ Y.
'
X
\Y = X\ (X ∩ Y ) = (X ∪ Y ) \Y.
.
X
\ (Y \Z) = (X\Y ) ∪ (X ∩ Z) .
/
(X\Y ) ∩ (Z\U) = (X ∩ Z) \ (Y ∪ U) .



X
∩ (Y \Z) = (X ∩ Y ) \ (X ∩ Z) .

(X\Z) ∩ (Y \Z) = (X ∩ Y ) \Z.

(X ∪ Y ) \Z = (X\Z) ∪ (Y \Z) .
 
X
∩ Y = ∅ ⇐⇒ X ⊂ CY ⇐⇒ Y ⊂ CX.
$
X
⊂ Y ⇐⇒ CY ⊂ CX.
%
X
Δ Y = Y Δ X.
&
X
Δ X = ∅.
'
X
Δ ∅ = X.
.
2


X
⊂ Z


Y
⊂ Z
&  
&
X
× Y = Y × X

 
X
× Y = Y × X
 
X
= Y


!
 c
 /
X
= {1, 3, 5} , Y = {2, 4}
&  
!


X
× Y, Y × X
&  



 
!

X
× Y =