1. Topologiya kiritishning turli usullari. Akslantirishlar yordamida kiritilgan topologiya

Tasdiq 3. Bizga to’plam va uning to’plam ostilaridan tuzilgan oila (С1) - (С3) shartlarni qanoatlantirsin. U holda oila (О1) - (О3) shartlarni qanoatlantiradi. oila topologik fazodagi barcha yopiq to’plamlardan iborat bo’ladi.
Hosil bo’lgan topologiyaga - yopiq to’plamlar oilasi yordamida qurilgan topologiya deyiladi.
Isboti. Bizga - to’plam va uning to’plam ostilaridan tuzilgan oila (С1) - (С3) shartlarni qanoatlantirsin. oila De Morgan formulasiga asosan (О1) - (О3) shartlarini qanoatlantiradi. Tasdiq 3 isbotlandi.
Misol 5. - natural sonlar to’plami berilgan bo’lsin. ninig barcha chekli to’plam ostilari to’plamini va to’plamni bilan belgilaymiz, ya’ni . Endi oilaning (С1) - (С3) shartlarini qanoatlantirishini tekshiramiz.
(С1) xossani ko’rsatamiz. - oilaninig qurilishiga ko’ra va ekanligi kelib chiqadi (bo’sh to’plam ham chekli to’plam hisoblanadi).
Endi (С2) xossani tekshiramiz. Ixtiyoriy ikkita va elementlarni qaraylik. U holda to’plam ham chekli bo’ladi, bundan ekanligi kelib chiqadi.
(С3) xossani tekshiramiz. oilaninig ixtiyoriy to’plam ostisini olaylik. U holda bu to’plamlarninig kesishmasi chekli to’plam bo’ladi. Bu holda kesishma bo’sh to’plam bo’lishi ham mumkin. Demak, ekan.
Tasdiq 4. - to’plam va to’plamga uning yopig’ini mos qo’yuvchi operator aniqlangan bo’lib, (СО1)-(СО4) shartlarni qanoatlantirsin. U holda oila (О1) - (О3) shartlarni qanoatlantiradi.
Hosil bo’lgan topologiyaga - yopilma operatori yordamida qurilgan topologiya deyiladi.
Isboti. Avvalo oilaninig (С1) - (С3) xossalarni bajarishini ko’rsatamiz. (С1) xossani tekshiraylik. Ixtiyoriy to’plam uchun bo’lganligidan bo’ladi, (СО2) shartga asosan bo’ladi. (СО1) shartga asosan bo’ladi. Demak, - oila (С1) qanoatlantiradi.
(С2) sharni bajarilishini tekshiramiz. va elementlarni olaylik. (СО3) shartga ko’ra bo’ladi, bundan ekanligi kelib chiqadi. Demak, oila (С2) shartni qanoatlantiradi.
Endi bo’lsa, u holda (2) bo’lishini ko’rsatamiz.
Ixtiyoriy nuqtani olaylik, u holda bo’ladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Demak, ekan. O’z navbatida munosabat o’rinli ekan.
(С3) shartni tekshiramiz. oilaning ixtiyoriy uchun shart bajarilsin. Biz bajarilishini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy uchun bo’lganligidan va (2) shartdan bo’ladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Oxirgi munosabatdan va (СО2) shartdan tenglik o’rinli bo’ladi. Tasdiq 4 isbotlandi.
Misol 6. Quvvati birdan katta bo’lgan to’plam va uning qandaydir nuqtasi berilgan bo’lsin. Ixtiyoriy to’plam uchun bo’lsin va . Biz yuqoridagi yopilma operatorning (СО1)-(СО4) shartlarni qanoatlantirishini ko’rsatamiz. Bu topologiyaga asosan to’plam yagona yopiq to’plam bo’ladi. Qolgan barcha bir nuqtali to’plamlar ochiq to’plam bo’lib, yopiq to’plam bo’lmaydi.
Yuqoridagi yopilma operatori (СО1)-(СО4) shartlarni bajarishini ko’rsatamiz. (СО1) va (СО2) shartlar bajarilishi ta’rifdan kelib chiqadi. (СО3) xossani isbotlaymiz. ninig ixtiyoriy va to’plam ostilarini olaylik. va to’plamlarni qaraylik. U holda bo’ladi.
(СО4) xossani isbotlaymiz. ning ixtiyoriy to’plam ostisini olaylik. U holda bo’ladi. to’plamdan yana yopig’ini olsak, u holda bo’ladi.