8-мавзу. Тўлиқлик ҳақидаги Геодел теоремаси. (2-соат) Режа

Конъюнкцияни киритиш қоидаси:
.
Исбот. Берилганига кўра
, (17)
. (18)
формулалар мажмуасидан формулани келтириб чиқариш мумкинлиги, яъни
. (19)
эканлигини кўрсатган эдик
Келтириб чиқаришнинг I қоидасига асосан
, (20)
. (21)
Келтириб чиқаришнинг II қоидасидан фойдаланиб, (20) ва (21) муносабатлардан
(22)
ҳамда (17) ва (22) дан

ларни ҳосил қиламиз.
Дизъюнкцияни киритиш қоидаси:
.
Исбот. ; шартлардан дедукция теоремасига асосан
, (23)
(24)
формулалар келиб чиқади.
III аксиома формулалар мажмуасидан исботланувчи формула сифатида келтириб чиқарилади, яъни
. (25)
(23), (24) ва (25) формулаларга мураккаб хулоса қоидасини қўллаб
(26)
формулани ҳосил қиламиз.
Энди келтириб чиқаришнинг IV қоидасини қўллаб

формулагаэгабўламиз.
Дедукциятеоремасибирқатормантиққонунлариниисботлашгаёрдамберади.
Асосларни (шартларни) ўриналмаштириш қонуни:
(27)
Исбот. формулалар мажмуасидан келтириб чиқариш келиб чиқади. Демак, дан формула келиб чиқади. У ҳолда умумлашган дедукция теоремасига асосан (27) формула исботланувчи эканлигини ҳосил қиламиз.
Асосларни ўриналмаштириш қонунидан исботланувчи формулалар учун асосларни ўриналмаштириш қоидаси:

келиб чиқади.
Ҳақиқатан ҳам, агар
(28)
бўлса, у вақтда (27) ва (28) формулалардан хулоса қоидасига асосан

формула ҳосил қилинади.
Асосларни қўшиш қонуни:
(29)
Исбот. формулалар мажмуасидан , , , , , , келтириб чиқариш олинади. Бу эса дан формула келиб чиқади демакдир. Бу ўз навбатида умумлашган дедукция теоремасига асосан (29) формуланинг исботланувчи эканлигини кўрсатади.
Асосларни қўшиш қонунидан исботланувчи формулалар учун асосларни қўшиш қоидаси:

келиб чиқади
Ҳақиқатан ҳам, агар
(30)
бўлса, у вақтда (29) ва (30) формулалардан хулоса қоидаларига асосан эканлигини ҳосил қиламиз.