Amaliy matematika

Kompleks sonli ketma–ketliklar va qatorlar.

Bizga

z₁, z₂, z_n, . . .

Kompleks sonlar ketma-ketligi va aS son berilgan bo’lsin.

9-ta’rif: Agar shunday M>0 son mavjud bo’lsaki, nN uchun |z_n|M bo’lsa, {z_n} ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.

10-ta’rif: Agar  > 0 son olinganda ham shunday n₀()  N topilsaki, n>n₀ uchun |z_n-a| <  tengsizlik bajarilsa, aC son {z_n} ketma-ketlikning limiti deyiladi va

ko’rinishda belgilanadi.

Chekli limitga ega ketma-ketlik yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.

Yaqinlashuvchi ketma–ketliklarni xossalari.

1. {z_n} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda u chegaralangan bo’ladi.

2. Agar {z_n} va {z_n ^‘}ketma-ketlik yaqinlahuvchi bo’lsa, u holda { z_n  z_n^’ }, { z_n  z_n^’ } , (z_n^’  0 ) ketma-ketliklar ham yaqinlashuvchi bo’ladi va





bo’ladi.

Bu xossalar haqiqiy sonlar ketma-ketligi uchun qanday isbotlansa, xuddi shunday isbotlanadi.

11-ta’rif: Agar  > 0 son olinganda ham shunday n₀()  N topilsaki, n>n₀ uchun va p  N sonlar uchun |z_n–z_n+p | <  tengsizlik bajarilsa, {z_n} fundametal ketma-ketlik deyiladi.

Teorema: (Koshi kriteriyasi) {z_n} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning fundamental bo’lishi zarur va etarli.

Isboti: (mustaqil).

Ushbu

z₁+ z₂+ . . . + z_n + . . . = (1)

ifodaga sonli qator deyiladi, bu erda z₁, z₂, z_n, . . .lar berilgan chekli sonlar.

(1) qatorning birinchi n ta hadining yig’indisini S_n deb belgilaylik, ya’ni

S_n=

Agar {S_n} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, (1) qator yaqinlashuvchi deyiladi, aks holda bu qator uzoqlashuvchi deyiladi. Agar S= bo’lsa, S soni (1) qatorning yig’indisi deyiladi.

(1) qator bilan birga qatorni qaraymiz. Agar qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (1) qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.

Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo’lib, qator uzoqlashuvchi bo’lsa, (1) qator shartli yaqinlashuvchi deyiladi.

Adabiyоtlar:
1. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 2-nashri, 1-ч.-М, “Наука”, 1976.

2. Xudoyberganov G., Vorisov A., Mansurov X. Kompleks analiz. (ma’ruzalar). T, “Universitet”,1998.

3. Sadullaev A., Xudoybergangov G., Mansurov X., Vorisov A., Tuychiev T. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami. 3-qism (kompleks analiz) “O’zbekiston”,2000.

4. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. 3- nashri. – М. “Наука”, 1975.

5. Евграфов М.А, Бежанов К.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Сборник задач по теории аналитических функций, 2- nashri. –М., “Наука” 1972.