Analytical Mechanics This page intentionally left blank

cotangent bundle M = T

∗

S has a natural symplectic manifold structure with the

symplectic Z-from ω = d

l

i

=1

p

i

dq

i

.

Remark 10.36

The 2-form ω induces an isomorphism between the tangent space T

s

S and the

cotangent space T

∗

s

S to S at any point s

∈ S. Indeed, it is enough to associate

with every vector v

∈ T

s

S the covector ω(v,

·). If the chosen system of local

coordinates (p, q) of T

∗

s

S is such that ω =

l

i

=1

dp

i

∧ dq

i

, the representative

matrix of the isomorphism is the matrix

I given by (10.1).

It is possible to construct an atlas of M in which the symplectic 2-form ω

has a particularly simple structure (just as in a vector space endowed with a

symplectic product, there exists a symplectic basis with respect to which the

product takes the standard form (10.16)).

T

heorem 10.29 (Darboux) Let M be a symplectic manifold. There always exists

an atlas of M , called the symplectic atlas, with respect to which the 2-form ω is

written as ω =

l

i

=1

dp

i

∧ dq

i

.

For the proof see Abraham and Marsden (1978) or Arnol’d (1978a).

In analogy with Definition 10.8 of a completely canonical transformation in

R

2l

, we have the following.

D

efinition 10.26 A local coordinate transformation of M is called (completely)

canonical if its Jacobian matrix is at every point a symplectic matrix.

Remark 10.37

The transformations from one chart to another chart of the symplectic atlas,

whose existence is guaranteed by the theorem of Darboux, are automatically

canonical transformations.

D

efinition 10.27 Let g : M → M be a diffeomorphism of a symplectic manifold.

Then g is a symplectic diffeomorphism if g

∗

ω = ω.

10.12

Analytical mechanics: canonical formalism

399

Remark 10.38

The symplectic diffeomorphisms of a symplectic manifold M constitute a subgroup

SDiff(M ) of the group Diff(M ) of diffeomorphisms of M .

D

efinition 10.28 A Hamiltonian dynamical system is the datum of a symplectic

manifold M endowed with a 2-form ω and of a function H : M

→ R, the

Hamiltonian, inducing the Hamilton equations

˙x =

I dH(x),

(10.196)

where x = (p, q)

∈ M, and I denotes the isomorphism between the cotangent

bundle T

∗

x

M and the space tangent to T

x

M .

Remark 10.39

Theorem 3.6 regarding a canonical Hamiltonian flow, together with the previous

definitions, guarantees that the one-parameter group of symplectic diffeomorph-

isms S

t

, solutions of (10.196), is a group of symplectic diffeomorphisms of M ,

and hence that for every t

∈ R we have

(S

t

)

∗

ω = ω.

(10.197)

In constrast with the case when M = R

2l

, in general it is not true that

every one-parameter group of diffeomorphisms is the Hamiltonian flow of a

Hamiltonian H : M

→ R (see Theorem 9.1). Example 11.2 provides a significant

counterexample to the extension of Theorem 9.1 to any symplectic manifold.

10.12

Problems

1. Find the conditions ensuring that the linear transformation of R

4

given

by

⎛

⎜

⎜

⎝

P

1

P

2

Q

1

Q

2

⎞

⎟

⎟

⎠ =

⎛

⎜

⎜

⎝

a

11

a

12

a

13

0

a

21

a

22

0

a

24

0

a

32

a

33

0

a

41

0

a

43

0

⎞

⎟

⎟

⎠

⎛

⎜

⎜

⎝

p

1

p

2

q

1

q

2

⎞

⎟

⎟

⎠

(a) preserves orientation and volume;

(b) is symplectic.

2. Let A be a symplectic matrix, A

∈ Sp(l, R). Prove that the characteristic

polynomial of A:

P

A

(λ) = det(A

− λ1)

is reciprocal, and hence that it satisfies the condition

P

A

(λ) = λ

2l

P

A

(λ

−1

).

400

Analytical mechanics: canonical formalism

10.12

Deduce that if λ is an eigenvalue of A, λ

−1

is also an eigenvalue of A (see

Arnol’d 1978b).

Analogously prove that the characteristic polynomial of a Hamiltonian matrix

is even.

3. Let B be a Hamiltonian matrix and let λ, µ be two of its eigenvalues such

that λ + µ =

/ 0. Prove that the corresponding eigenspaces are

I-orthogonal (i.e.

if Bv = λv and Bw = µw then v

T

Iw = 0).

4. Assume that the Hamiltonian matrix B has 2n distinct eigenvalues

λ

1

, . . . , λ

n

,

−λ

1

, . . . . . . ,

−λ

n

(see Problem 2). Prove that there exists a symplectic

matrix S (possibly complex) such that S

−1

BS = diag(λ

1

, . . . , λ

n

,

−λ

1

, . . . ,

−λ

n

).

5. Prove that a real 2l

× 2l matrix P is symmetric, positive definite and

symplectic if and only if P = exp(B), where the matrix B is

a

b

b

−a

, a = a

T

and b = b

T

.

6. Prove Theorem 10.3.

7. Find the completely canonical linear transformation which maps the

Hamiltonian H =

1

2

(P

1

Q

1

+ P

2

Q

2

)

2

into H =

1

8

(p

2

1

− q

2

1

+ p

2

2

− q

2

2

)

2

.

8. Prove that the transformation

q

1

=

Q

2

1

− Q

2

2

2

,

q

2

= Q

1

Q

2

,

p

1

=

P

1

Q

1

− P

2

Q

2

Q

2

1

+ Q

2

2

,

p

2

=

P

2

Q

1

+ P

1

Q

2

Q

2

1

+ Q

2

2

is completely canonical, and check that it transforms the Hamiltonian H =

1/2m(p

2

1

+ p

2

2

)

− k/ q

2

1

+ q

2

2

to K = 1/2m(Q

2

1

+ Q

2

2

)(P

2

1

+ P

2

2

− 4mk).

9. Let B and C be two Hamiltonian matrices. Prove that if [B, C] = 0, for

every s, t

∈ R, the symplectic matrices e

tB

and e

sC

commute:

e

tB

e

sC

= e

tB

+sC

= e

sC

e

tB

.

10. Let a

∈ R be fixed. Prove that the following transformation of R

2

:

x

1

= a

− x

2

− x

2

1

,

x

2

= x

1

,

is invertible and preserves the standard symplectic structure of R

2

. Compute the

inverse transformation.

11. Consider the transformation P = P(p) with non-singular Jacobian mat-

rix J . How can it be completed to obtain a canonical transformation? (Answer:

Q = (J

T

)

−1

q.)

10.12

Analytical mechanics: canonical formalism

401

12. Prove that the transformation

P =

p

1 + q

2

p

2

,

Q = q

1 + q

2

p

2

is completely canonical and find a generating function F (q, P ). (Answer:

F (q, P ) = arcsinP q.) Compute all other admissible generating functions.

13. Let P = p

α

, where α =

/ 0 is a real parameter. Determine Q as a function

of (q, p) in such a way that the transformation (q, p)

→ (Q, P ) thus obtained is

completely canonical and find a generating function for it. (Answer: Q = p

1−α

q +

g(p), where g is an arbitrary regular function; F (q, P ) = qP

1/α

+

P

0

ˆ

g(P ) dP ,

where ˆ

g(P ) = g(P

1/α

).)

14. Determine the real parameters k, l, m, n such that the transformation

P = p

k

q

l

,

Q = p

m

q

n

is completely canonical and find all generating functions. (Answer: k = 1

− m,

l =

−m, n = 1+m; F

1

(q, Q) =

−m (Q/q)

1/m

with the condition m = 0, F

2

(q, P ) =

(1

− m)(qP )

1/(1−m)

if m = 1, F

3

(p, Q) =

−(1 + m)(pQ)

1/(1+m)

with the condition

m =

−1 and F

4

(p, P ) =

−m (p/P )

1/m

if m = 0.)

15. Prove that the transformation

P = qcotp,

Q = log

sin p

q

is completely canonical. Determine the generating functions F

1

(q, Q) and F

2

(q, P ).

(Answer: F

1

(q, Q) = q arcsin p(qe

Q

) + (e

−2Q

− q

2

)

1/2

, F

2

(q, P ) = q arctan (q/P ) +

P [1

−

1

2

log(q

2

+ P

2

)].)

16. Determine which among the following transformations is canonical (k is a

real parameter):

Q =

q

2

2

,

P =

p

q

,

(10.198)

Q = tan q,

P = (p

− k) cos

2

q,

(10.199)

Q = sin q,

P =

p

− k

cos q

,

(10.200)

Q =

2qe

t

cos p,

P =

2qe

−t

sin p,

(10.201)

and find the generating functions corresponding to each transformation.

17. Determine the real parameters α, β, γ, δ such that the transformation

P

1

= αq

1

+ βp

1

, P

2

= γq

2

+ δp

2

, Q

1

= p

1

, Q

2

= p

2

is completely canonical. Find a generating function.

402

Analytical mechanics: canonical formalism

10.12

18. Consider the transformation

P =

−q − p + q

2

,

Q =

−q

2

− aq q

2

+ p.

Find its domain of definition and determine for which values of the real parameter

a the transformation is completely canonical. Compute the generating function

F (q, P ). (Answer: a = 2, F (q, P ) = qP (q + P ).)

19. Consider the transformation

P =

−p

α

q

β

,

Q = γ log p.

Determine for which values of the parameters α, β, γ the transformation is

completely canonical and compute the generating function F (q, Q). (Answer:

α = β = γ = 1, F (q, Q) = qe

Q

.)

20. Prove that the transformation

Q = log(1 +

√

q cos p),

P = 2(1 +

√

q cos p)

√

q sin p

is completely canonical and find the generating functions.

21. Consider the transformation

p = a(e

αP

(1+βQ)

− 1), q = b log(1 + βQ)e

−αP (1+βQ)

,

where a, b, α, β are real parameters.

(a) Determine the domain of definition of the transformation, and compute

the inverse transformation and its domain.

(b) Determine the conditions on the parameters a, b, α, β that ensure that

the transformation is completely canonical and compute the generating

function F (p, Q).

22. Prove that the completely canonical transformations of R

2

admitting a

generating function of the form

F (q, P ) =

1

2

(aq

2

+ 2bqP + cP

2

)

are not a subgroup of Sp(1, R).

23. Given the transformation

p = tan(αP )e

δt

,

q =

βQ

1 + (tan(γP ))

2

e

ηt

,

where α, β, γ, δ, η are real parameters:

(a) determine the domain of the transformation, compute the inverse

transformation and its domain;

(b) determine the conditions on the parameters α, β, γ, δ, η ensuring that

the transformation is canonical and compute the generating function

F (q, P, t).

10.13

Analytical mechanics: canonical formalism

403

24. Consider the transformation

q = e

−t

(P Q)

α

,

p = 2e

t

(P Q)

γ

log P

β

,

where α, β and γ are real positive constants.

(a) Determine for which values of α, β and γ the transformation is

canonical.

(b) If α =

1

2

, compute the generating function F (q, P ).

(c) For α =

1

2

, how is the Hamiltonian H(q, p) =

−qp transformed?

25. Prove that the transformation

q

1

=

2Q

1

λ

1

cos P

1

+

2Q

2

λ

2

cos P

2

,

q

2

=

−

2Q

1

λ

1

cos P

1

+

2Q

2

λ

2

cos P

2

,

p

1

=

1

2

2Q

1

λ

1

sin P

1

+

1

2

2Q

2

λ

2

sin P

2

,

p

2

=

−

1

2

2Q

1

λ

1

sin P

1

+

1

2

2Q

2

λ

2

sin P

2

is completely canonical and that it transforms the Hamiltonian

H = p

2

1

+ p

2

2

+

1

8

λ

2

1

(q

1

+ q

2

)

2

+

1

8

λ

2

2

(q

1

+ q

2

)

2

to K = λ

1

Q

1

+ λ

2

Q

2

. Use this transformation to find the solution of Hamilton’s

equations in the variables (q

1

, q

2

, p

1

, p

2

).

26. Prove that the transformation

q

1

=

1

√

mω

2P

1

sin Q

1

+ P

2

,

q

2

=

1

√

mω

2P

1

cos Q

1

+ Q

2

,

p

1

=

√

mω

2

2P

1

cos Q

1

− Q

2

,

p

2

=

√

mω

2

− 2P

1

sin Q

1

+ P

2

is completely canonical.

27. Using the method of Lie series, compute the flow associated with the

Hamiltonian H(p

1

, p

2

, q

1

, q

2

) = p

1

q

2

+ p

n

2

, where n

∈ N.

28. Given two Hamiltonians H and K, prove that

e

−tD

H

e

−sD

K

= e

−sD

K

e

−tD

H

+ stD

{H,K}

+

O(3),

where

O(3) denotes terms of order s

3

, s

2

t, st

2

, t

3

or higher.

29. Prove that the transformation

x = [x + y + f (x)]mod(2π),

y = y + f (x),

where (x, y)

∈ S

1

× R, and f : S

1

→ R is a regular function, preserves the

symplectic 2-form dy

∧ dx on the cylinder T

∗

S

1

= S

1

× R.

404

Analytical mechanics: canonical formalism

10.13

10.13

Additional remarks and bibliographical notes

In this chapter we started the study of the canonical formalism of analytical

mechanics. This formalism will prove to be a powerful tool for solving the

equations of motion, as we shall see in the next two chapters.

Our exposition adopts the viewpoint and general influence of the beautiful

book of Arnol’d (1978a), which is to be considered the fundamental reference

for any further study. We differ from Arnol’d in the initial definition of the

transformations that preserve the canonical structure of Hamilton’s equations, as

we prefer to stress the importance of the latter rather than the geometric aspect.

Indeed, we believe that to fully appreciate the geometric picture, one needs a

good knowledge of the techniques of modern differential geometry, going beyond

the scope of the present exposition. Another useful text is the book by Abraham

and Marsden (1978), which is encyclopaedic in character.

However, Theorems 10.6 and 10.7 indicate that there is a substantial equivalence

between the two methods, as they identify the canonical transformations as the

natural transformations that leave the canonical structure of Hamilton’s equations

invariant.

We recommend as supplementary reading, at approximately the same level as

the present book, the texts by Cercignani (1976a, 1976b) and Benettin et al.

(1991).

The book by Levi-Civita and Amaldi (1927), although quite old, is still very

useful for depth and clarity, as well as for the reasonable mathematical level

required of the reader. The section on Pfaffian systems (non-singular differential

forms) and their use in the canonical formalism is especially recommended.

The reading of the text of Gallavotti (1980) is more difficult, but certainly

useful, also because of the many interesting problems which stimulate the reader

to critically study the material.

Another reference text is Meyer and Hall (1992), which adopts from the begin-

ning a ‘dynamical systems’ point of view, and considers only transformations

that are independent of time.

It has not been possible to introduce the study of symplectic geometry and

topology, both active research fields with rich interesting results. The most serious

consequence is the extreme conciseness of our section on Hamiltonian systems

with symmetries, and the lack of a discussion on the so-called reduction of phase

space, and hence of the practical use of first integrals in reducing the order of the

equations of motion. The book by Arnol’d et al. (1983) is full of examples and

applications, although it may be hard to follow as a first reading. The symmetry

argument and the so-called ‘momentum map’, which yields a formulation of

Noether’s theorem in the more general context of symplectic manifolds, are also

discussed in depth in Abraham and Marsden (1978).

10.14

Analytical mechanics: canonical formalism

405

10.14

Additional solved problems

Problem 1

Prove that the determinant of a symplectic matrix is equal to +1.

Solution

This result can be obtained in various ways. We give here a proof which only

uses the definition of a symplectic matrix and an elementary knowledge of linear

algebra. Every real m

× m invertible matrix A can be uniquely written as the

product of a symmetric positive definite matrix and of an orthogonal matrix

(polar decomposition):

A = P

1

O

1

= O

2

P

2

,

with P

i

= P

T

i

> 0, O

T

i

= O

−1

i

, i = 1, 2.

(10.202)

Indeed, note that the matrices AA

T

and A

T

A are both symmetric and pos-

itive definite. Then, using the results of Chapter 4, Section 4.10, we set

P

1

=

√

AA

T

, P

2

=

√

A

T

A, O

1

= P

−1

1

A, O

2

= AP

−1

2

. It is immediately veri-

fied that O

1

and O

2

are orthogonal: for example O