Buxoro davlat universiteti qosimov f. M. Qosimova m. M

6. Natural sonlar bo’linishini matematik induksiya metodi yordamida isbotlash.

6-topshiriq: n ning har qanday natural qiymatlarida n⁵-n ifoda 30 ga bo’linishini isbotlang.

Yechish:

n⁵-n=n(n⁴-1)=n(n²-1)(n²+1)=(n-1)∙n∙(n+1)(n²+1)

Endi 30 ni tub ko’paytuvchilar ko’paytmasi shaklida yozamiz:

30=2∙3∙5

Agar n⁵-n soni 2 ga, 3ga va 5 ga bo’linishini isbotlasak,unda bu son 30 ga bo’linishini isbotlagan bo’lamiz.

(n-1)∙n∙(n+1)∙(n²+1)

2ga bo’linadi, chunki ikkita ketma-ket kelgan natural sonlardan albatta bittasi juft demak bu son 2 ga bo’linadi.

3ga bo’linadi, chunki uchta ketma-ket kelgan natural sonlardan bittasi albatta 3ga bo’linadi.

Endi (n-1)∙n∙(n+1)∙(n²+1) ifodaning 5ga bo’linishini isbotlash qoldi. Natural sonlar to’plamini 5 ga qoldiqli bo’lish nuqtai nazaridan 5 ta sinfga ajratamiz:

1)5q shaklidagi sonlar, ya'ni 5 ga karrali sonlar.

2)5q+1 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 1 qoldiq qoladigan sonlar.

3)5q+2 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 2 qoldiq qoladigan sonlar.

4)5q+3 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 3 qoldiq qoladigan sonlar.

5)5q+4 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 4 qoldiq qoladigan sonlar.

n=5q bo’lganda

(n-1)∙n∙(n+1)∙(n²+1)=(5q-1)5q(5q+1)∙(25q²+1)

Bunda ko’paytuvchilardan biri 5q 5 ga bo’linadi.Demak, ko’paytma ham 5ga bo’linadi.

n=5q+1 bo’lganda

(n-1)∙n∙(n+1)∙(n²+1)=5q(5q+1)(5q+2)∙(25q²+10q+2)

Bunda ko’paytuvchilardan biri 5q 5 ga bo’linadi.Demak, ko’paytma ham 5ga bo’linadi.

n=5q+2 bo’lganda

(n-1)∙n∙(n+1)∙(n²+1)=(5q+1)∙(5q+2)∙(5q+3)∙(25q²+20q+5)= =(5q+1)∙(5q+2)∙(5q+3)∙5(5q²+4q+1)

bunda ham ko’paytuvchilardan biri 5 ga bo’linadi, demak, ko’paytma ham 5 ga bo’linadi.

n=5q+3 bo’lganda

(n-1)∙n∙(n+1)∙(n²+1)=(5q+2)∙(5q+3)∙(5q+4)∙(25q2+30q+10)=

(5q+2)∙(5q+3)∙(5q+4)∙5(5q²+6q+2)

bunda ham ko’paytuvchilaradan biri 5,demak ko’paytma 5 ga bo’linadi.

n=5q+4 bo’lganda

(n-1)∙n∙(n+1)∙(n²+1)=(5q+3)∙(5q+4)∙(5q+5)∙(25q²+40q+17)=

(5q+3)∙(5q+4)∙5(q+1)∙(25q²+40q+17) bunda ham ko’paytuvchilaradan biri 5,demak ko’paytma 5 ga bo’linadi.

Demak, n⁵-n 2ga, 3ga va 5ga bo’lingani uchun ifoda 30 ga bo’linadi.

Bu isbotlashni bajarishda to’la induktsiya metodidan foydalanildi.

7. Tub va murakkab sonlar. Ikki yoki bir necha sonlarning EKUB va EKUK larini topish.
7-topshiriq: 631 soni tub son, 637 soni murakkab son ekanligini isbotlang.

Ushbu topshiriqni bajarishda “Murakkab a sonining eng kichik tub bo’luvchisi dan oshmaydi” degan tasdiqdan foydalanamiz. Ushbu tasdiqga asosan, 631 ning tub son ekanligini ko’rsatish uchun ushbu sonni gacha bo’lgan tub sonlarga bo’lib tekshiramiz. gacha barcha tub sonlarni yozib chiqamiz:

2,3,5,7,11,13,17,19,23 (1)

631 soni (1) qatordagi sonlardan birortasiga bo’linadimi yo’qmi, shuni tekshiramiz. 2, 3 va 5 ga bo’linish alomatlariga asosan 631 soni bu sonlarga bo’linmasligini ko’ramiz. 631 ni qolgan tub sonlarga ham bo’linmasligini bo’lish yo’li bilan tekshiramiz.

Shunday qilib, 631 soni (1) qatordagi birorta tub songa bo’linmaydi, demak, 631- tub son.

b) 637 ni murakkab son ekanligini isbotlash uchun yuqoridagi algoritmdan foydalanamiz.

637 soni (1) qatordagi 2,3,5 ga bo’linmaydi (bo’linish belgilarini qo’llab tekshiramiz), ammo 7ga bo’linadi. Shu sababli 637 soni murakkab son bo’ladi.