E. rasulov, U. Begimqulov
haqiqiy va bitta mavhum yechimga ega. Ikkinchi tartibli, lekin birinchi
Download 11.27 Mb. Pdf ko'rish
|
|
haqiqiy va bitta mavhum yechimga ega. Ikkinchi tartibli, lekin birinchi tartibli hosilasi bo'lmagan azimutal to'lqin tenglama dcp'= quyidagi yechimlarga ega. (16.19) 0 = Ф = Acosm,(p Ф - AQxp{im,(p) bunda, F - xususiy azimutal to'lqin funksiya, ф - azimutal burchak, í/-doimiy son, s-amplituda. (16.19) dagi Ф = -yechim aylanadagi yugurma to'lqinga xos bo'lib, elektronning tekis aylanishini tavsiflaydi; Ф = Aca^m^q) - yechim esa turg'un to'lqinlar bilan bog'langan bo'lib, elektronning biror yoy bo'ylab tebranishini tavsiflaydi. Vodorod atomining yadrosi atrofida aylanayotgan elektron uchun Ф = ^ехр(/т,<з) ko'rinishdagi to'lqin funksiya olinadi. Azimutal to'lqin funksiya bir qiymatlilik shartini qanoatlantirishi shart. Shuning uchun ф(ф) = ф(ф + 2n), bundan ya Ш 2imi, = 1 , B un d a n e -2л í — ( i p + 2 n ) Й ■ = 1 349 KV A N T F IZ IK A S I kelib chiqadi. Bu shart bajarihshi uchun kerak, ya’ni = iiijti . Bunda m¡ = 0 ,± 1 ,± 2 , . . . Normallash shartiga ko'ra J«I>((p)4>( 1 . (16.21) integraldagi 0 ((p)ni aniq ko'rinishda qo'ysak, 1 - butun son bo'lishi A = (16.20) (16.21) (16.22) (16.23) bo'ladi. Shunday qihb normallangan to'lqin funksiya ga ega bo'lam iz (bunda = 0 ,± 1 ,± 2 ,...). Agar atom z o'q i atrofida to'la aylansa, u holda F ning yechimi uning dastlabki qiymatiga teng bo'ladi, chunki cp-burchak o'zining dastlabki holatiga o'tadi. m/p kattalik 2n ga karrah o'zgaradi (16.19). Funksiya bu shartni qanoatlantiradi. (p radianlarda o'lchanganligi uchun m,-kattahk butun sonlar qabul qilishi lozim. m,ni nolga tengligi va teskari tomonga aylanganligini ham hisobga olsak, m¡ ni olishi mumkin bo'lgan qiymatlar ^ = 0 ,± 1 ,± 2 , .... Kvant mexanikada aw al aytilgan ta’riflarga ko'ra (16.20) dagi m, ni kvadrati xususiy qiymat bo'lib, (16.19) dagi funksiyalar esa xususiy funksiyalar deyiladi. m,-doimiylik kvant mexanikada biz oigan birinchi kvant son bo'lib, m a’lum mulohazalarga ko'ra, uni magnit kvant soni deb ataladi. 16.4. Q utbiy tenglam a va uning yechim lari Q utbiy burchak 0 uchun yozilgan (16.17) differensial tenglama m, 1 sin 9 9 ú a d dB sinö de tenglama murakkab yechimga ega. Shu sababli uning yechimi -(1 6 .2 4 ) ko'rinishda ekanligini ko'rsatamiz. (c o sö ) - Lejandrning bir- 350 KV A N T F IZ IK A S I lashtirilgan poUnomi deyiladi va quyidagi ko'rinishga ega: p r { x ) = { l - x ^ y 2 ' 1 \ (16.25) bunda X = COS0. koeffitsiyentni topish uchun 0', 07 sin0d9 = 1 (16.26) normallash shartidan foydalanamiz. (16.26) integralni hisoblamasdan to ‘g ‘rid an -to‘g ‘ri javobini y o zamiz. _ p + 0 ( i £ m j V 2 ( ;+ m ,) ! Iqin funksiya va normallangan qutbiy to'lqin funksiya V ko'rinishga ega bo'ladi. Lejandr polinomini, odatda, rekkurent munosabatlardan topiladi: (16.29) bunda x = COS0. Bu polinomlarni = - \ ) (16.30) differensial formulalar bilan aniqlaymiz. ^ ning kichik qiymatlari uchun polinomlarni oshkor ko'rinishini keltiramiz: Po(x) = 1, P,(x) = x, P,(x) = | x " - | , = = „ e . 3 „ 63 , 35 , 15 ^ 8 4 8 Tanlash qoidasi M = ±1, Am, = 0, ± 1. (16.32) 351 KV A N T F IZ IK A S I Ushbu tanlash qoidasi yordamida o'tish jarayonidan hosil b oigan fotonning chachtotasi V = ^ ^ (16.33) i m ^ Borning chastotalar qoidasi orqali topiladi. (16.30) polinom haqida ham to ‘xtalmasdan, faqat uni cos(0), 1 va m, kabi ikkita doimiylikka b ogiiq ekanligini aytamiz. m¡ kvant soni faqat musbat va manfiy butun qiymatlarga, shuningdek, nol qiymat olishi mumkinligi eslatilib, qutbiy burchakning 0 bilan n orasida o 'z garishini inobatga olib, shuningdek, Lejandr polinomining xossalaridan foydalanib, 1 ni faqat butun sonlar qabul qilishini uqtiramiz. Natijada, i uchun quyidagi shart bajariladi; ] = 0 , 1 ,2 ,3,... w, = 0 , ± 1 , ± 2 . , ±/ , . . . (16.34) 1 ning qiymati m, ning absolut qiymatiga teng yoki undan katta bo'lishi shart. ] ni qiymati /n, ni qiymatiga teng yoki undan katta bo'lishi shartiga asosan, har bir berilgan 1 ni qiymat uchun (2/4-1) ta mumkin bo'lgan yechimlar to'g'ri keladi. Bu shart /-sonini chegara- laydi. Odatda, 1 ni orbital kvant soni deb atashadi. Masalan, agar 1 = 0 bo'lsa, m, = 0; agar i = 1 bo'lsa, m ,= 0 yoki ±1; agar i = 2 bo'lsa, m ;= 0 yoki ±1, ±2 va hokazo bo'lishi mumkin. Umuman olganda, I ni har bir berilgan qiymati uchun 21+1 ta mumkin bo'lgan yechim mavjud. Bu holni shunday ta’riflash mumkin: 1 ning berilgan qiymatiga mos keluvchi holat m¡ ga nisbatan (27-f 1) karra aynigan. 1 ning berilgan qiymatiga mos kelgan (27-M), energi yaning xususiy qiymatlari o'zaro teng bo'lsa, bunday holat aynigan holat deyiladi. Tashqi fizik hodisalar ta’sirida bu xususiy qiymat ajralsa, u holda aynish yo'qoladi va hosil bo'lgan holat aynimagan deyiladi. Agar vodorod atomini magnit maydonga joylasak, m, ga nisbatan aynishni yo'qotish mumkin. Shu sababga ko'ra, m, ni magnit kvant soni deb aytiladi. 16.5. Radial tenglam a va uning yechim i t o i a to iq in funksiya To'lqin funksiyaning radiusga bog'liqligini tavsiflash uchun f + (16.35) / dr ) + ■ dr radial tenglamadan foydalanamiz. Bu tenglamaning yechimi I„,i(r) - Lagerr polinomlari ko'rinishida izlanadi. Mufassal matematik amallarni bajarib o'tirmasdan, biz (16.35) tenglamaning yechimi radial xususiy funksiyalarni quyidagi qo'rinish- da yozamiz: 352 K V A N T F IZ IK A S I R„j = ex p {- f¡r y L „ j (/-) (16.36) bunda, n -bo sh kvant son, noldan farqli istalgan butun son. /-orbital kvant son b o‘lit> boshqa tenglamalardan olinadi. Lagerr polinomlari xossalariga asosan (16.35) ning yechimi rí> l+ l xollar uchun mayjud. Bunda bosh kvant son n = 1, 2, 3.. qiymatlar qabul qiladi. ¿-tartib li Lejandr polinomining differensial formasi (16.37) k o ‘rinishda bo'ladi. Masalan, io W = l- L¡{x) = l - x , I 2 W = 2 - 4x + Jp, L^{x) = 6 - 18x^ + Shunday qilib, vodorod atomi uchun Shryodinger modelidan bir- biriga bog'langan uchta kvant soni kelib chiqadi; Bosh kvant soni: n = 1 , 2 , 3, ..., Orbital kvant soni: / = 0 , 1 , 2 , . . . , ( « - l ) , M agnit kvant soni: = O, ± 1, ± 2, ..., ± /, Vodorod atomi uchun Shryodinger tenglamasining bog'liq bo'lm agan yechimlar soni /=0 formula bilan ifodalanadi. Yuqorida qayd qilingan Shryodinger modelida Kulon potensiali funksiyasi sof holda olindi, boshqacha aytganda elektron va proton ning xususiy harakat miqdori momentlari hisobga olinmadi. Eslatma. Radial tenglamalarga oid misollarni yechishda (16.36) formuladan quyidagi oshkor ko'rinishdagi yechimdan foydalangan ma’quL (16.38) bir-biriga (16.39) R j P ) = c . / ‘ P ' C - , ( P ) (16.40) bunda, p = - 2z nr„ me‘ - = 0,52917M 0"'® jn - Bom ing birinchi radiusi, z-atom ning tartib raqami. Normallash koeffitsiyenti 3 ^n,i - {n ro j \ n ( í i - ; - l ) ( n + i) Natijada, (16.40) ko'rinishdan to'lqin funksiya (16.41) 353 KVANT F IZ IK A S I 2zi J 2 z r /ir ,2I+\ r Zl + l 2zr \nroJ (16.42) oshkor funksiya ko'rinishida yoziladi. Bunda kvant soni n uchun tanlash qoidasi ^nri ~ R„¡rR„']dxdydz= 0 matritsa hisoblanadi va u n va. n ’ lari istalgan munosabatda nolga teng emas. Bunda bosh kvant soni uchun tanlash qoidasi quyidagi k o ' rinishga keladi: An - istalgan son. 16.6. T o‘la tenglam a va t o i a to iq in funksiya Yuqorida biz uchta xususiy to iq in ten ^ am ani oldik va ularni tahlil qildik. Vodorod atomi uchun t o ia to iq in tenglam aning yechim - larini topish uchun, har bir olingan uchta tenglamani yechimlarini o'ziga mos chegaralarda normallab, so ‘ngra ularni bir-birlariga k o‘- paytirish kerak. Hosil b o ig a n t o ia tenglama uning xususiy yechim - lariga nisbatan yechiladi, natijada, ularning har biri amplitudasi o ‘z- garadigan funksiya bilan ifodalanadi. Koordinata boshi atrofidagi fazo tugun sirtlar bilan ajraJgan b o iaklarga b oiin ad i va har bir q o ‘shni ikki b o ia k d a g i amplituda tebranish fazo bo'yicha qaram a-qarshi. Tugun faza sirtlar soni n -1 ta. E>0 Layman Agar energiyaning xususiy qiymatlari m aiu m kvant sonlari bilan ifodalanuvchi sistema uchun hisoblansa, shuni ko'ram izki, energi yaning xususiy qiymati faqat t o ia soni n b o g iiq b o ia d i. Bu sisite- maning ayniglglanligini ko'rsatadi. Diskret xususiy qiymatlarga ega b o iis h i uchun elektronning t o ia energiyasi radiusning har bir qiy matiga nisbatan potensial energiyadan kichik b o iish i kerak. Agar to'la 354 K V A N T F IZ IK A S I energiya potensial energiyadan katta bo'lsa, tenglam a kontinium (uzluksiz) yechimlarga ega bo'ladi, y a’ni elektron istalgan energiyaga ega bo'ladi. Bu holda elektron sistemaga bog'lanm agan bo'lib ozod bo'ladi, Bog'langan holatlar uchun energiyaning xususiy qiymati Bu formula Bor nazariyasiga to 'g 'i keladi. 16.2-rasmda vodorod atomi uchun Kulon potensial energiyasi va energetik spektri keltirilgan. 16.7. Holatlarning to‘la soni Atom holatini aniqlash uchun n, I va kvant sonlarning istalgan kombinatsiyasi yetarli. Vodorod atomi uchun Shryodinger tenglamasining yechim i \|/ - l?(r) 0 (o)((p) ( 1 6 . 4 3 ) funksiyadan iborat, bunda radial funksiya R{ t ) = (16.44) qutbiy funksiya = P,.n,,{cosQ), (16,45) azimutal funksiya 4>((p) = A e ' " ' ( 1646) Bu funksiyalar n, ¡ va kvant sonlariga b og'liq b o'lgan i uchun har bir holatni ifodalovchi xususiy to'lqin funksiya ham k o ' rinishda bo'lishi kerak. Agar atom tashqi magnit maydon ta ’sirida bo'lm asa, u holda en er giyaning xususiy qiymati m é 1 E = - (16.47) 3 2 n W rf 0 bo'lib, bu energiya 1 va ga bog'liq bo'lmaydi. Bu holda Shryodinger tenglamasi energiyaning bitta qiymatiga ikkita va undan ortiq yechim berishi mumkin. Bu holdagi yechimni aynigan dejaladi. Agar berilgan energiyaning xususiy qiymatiga bitta yechim to 'g 'ri kelsa, aynimagan yechim deyiladi. Misol. Berilgan p - bosh kvant soniga ta mumkin bo'lgan h o latlar mavjud ekanligini ko'rsating. Yechish. Berilgan p uchun orbital kvant soni I quyidagi p - qiymatlarni qabul qiladi. ^ = 0 , 1 . 2 ....... ( n - l ) . 1 ning har bir qiymati uchun magnit kvant soni m^ quyidagi 27+ 1 qiymatlam i qabul qiladi: K V A N T F IZ IK A S I m , = 0 , ± i , ± 2 ....... ± 1 . Xususiy funksiyalaming umumiy soni yoki mumkin b o ‘lgan holatlar N = J ( 2 i + l) = l + 3 + 5 +- - - + ( 2 n - l ) /=0 teng bo'lib, arifmetik progressiyani hosil qiladi. Arifmetik progressiya hadlarining yig'indisi e a + Ö 5 -----------n (16.48) formula bilan topiladi, a - birinchi had, b - oxirgi had qiymati va n - progressiyada qatnashgan hadlarning umumiy soni. (16.48) formula yordamida = (16.49) ni olamiz. Demak, N - xususiy funksiyalaming umumiy soni bosh kvant sonning kvadratiga proporsional. Masalan, n = 3 hoi uchun mumkin bo'lgan holatlar va xususiy funksiyalarni toping. 16.1-jadval 1 0 1 2 m. 0 0, ±1 0, ± 1, ±2 1-jadvalda mumkin bo'lgan kombinatsiyalar keltirilgan, Holatlarn- ing umumiy soni ( + ) ga ko'ra N = n ' = 3" = 9 ta. Shunday qilib, n = 3 hoi uchun energiyaning bitta qiymatiga 9 ta xususiy funksiya to 'g 'ri keladi. Shuning uchun bu yechim aynigan yechim deb ataladi. 16.2-jadvaIda holatlar, xususiy funksiya va holatlar soni keltirilgan. 16.2-jadval Holatlar Xususiy funksiyalar Holatlar soni N n I m, 3 0 0 ¥3,0 ,0 3 1 -1 ¥ 3 ,1 ,- I 3 1 0 ¥ 3 ,1 ,0 3 3 1 + 1 ¥ 3 , , , . , 3 2 -2 ¥ 3 ,2 ,-2 3 2 -1 ¥ 3 ,2 ,-! 356 KV A N T F IZ IK A S I 3 3 3 2 2 2 0 1 2 V^3,2,0 ^ 3 , 2 , 1 ¥ 3 ,2 ,2 Umumiy soni Savollar 1. Bor nazariyasining asosiy kamchiliklari nimadan iborat? 2. Shryodinger nazariyasini tushuntirish nima uchun vodorod atomi qulay? 3. Vodorod atomining strukturasini Shryodinger nazariyasi bilan tushuntirishda asosan nimalar e ’tiborga olinadi? 4. Vodorod atomi uchun Shryodinger tenglam asini sferik koordi- natada yozing, 5. 0 ‘zgaruvchilarga ajratish usulidan foydalanib, Shryodinger sferik tenglam asini oddiy tenglamalar ko'rinishida yozing, 6 . w {x,y,z) funksiyani bir-biriga bog'liq bo'lm agan uchta funksi yaning ko'paytm asi tarzida yozish mumkinmi? 7. Azimutal tenglamani yozing va tushuntiring. 8 . Q utbiy tenglam ani yozing va tushuntiring. 9. Radial tenglamani yozing va tushuntiring. 10. Azimutal tenglamaning yechim i-to'lqin funksiya k o 'ri- nishlarini yozing va tushuntiring, 11. Azimutal tenglam ani xususiy qiymati qanday kvant soni bilan ifodalanadi? 12. Azimutal to'lqin funksiyani normallang, 13. Q utbiy tenglamaning yechim i-to'lqin funksiya ko'ri-nishlarini yozing va tushuntiring, 14. Q utbiy tenglamani xususiy qiymati qanday kvant soni bilan ifodalanadi? 15. Q utbiy to'lqin funksiyani normallang. Normallash koeffitsiyenti nimaga teng? 16. Lejandr polinomi ko'rinishlarini yozing. 17. Radial tenglamaning yechim i-to'lqin funksiya ko'rinishlarini yozing va tushuntiring. 18. Radial tenglamani xususiy qi 3 nnati qanday kvant soni bilan ifodalanadi? 19. Radial to'lq in funksiyani normallang. Normallash koeffitsiyenti nimaga teng? 20. Lagerr polinomi ko'rinishlarini yozing. 21. Shryodingerning vodorod atomi uchun umumiy tenglam asi nechta kvant soni bilan ifodalanadi? 22. Shryodingerning vodorod atomi uchun umumiy tenglamasini umumiy to'lq in funksiyasi ko'rinishini yozing. 23. Radial to'lqin tenglamaning xususiy qiymati — to'la energi- yasining formulasini yozing. 357 KV A N T F IZ IK A S I 24. Qutbiy to'lqin tenglamaning xususiy qiymati - harakat m iq dori momenti formulasini yozing. 25. Azimutal to'lqin tenglamaning xususiy qiymati — harakat m iq dori momentining proeksiyasi formulasini yozing. M asalalar 16.1. U(r) - markaziy potensial maydonida yotgan to'la energiya operatori (gamiltonian)ni A H ^ k r + ^ + u [ r ) 2mr ko'rinishiga ega ekanligini ko'rsating. K., ~ operatorning oshkor ko'rinishini yozing. 16.2. 16.1, 16.2-jadvallarda keltirilgan normallangan to'lqin funk- siyalardan foydalanib vodorod atomida Is, 2s va 3p holatda yotgan elektronlar uchun normallangan to'la to'lqin funksiyalarni yozing. Vodorod atomida statsionar holatda yotgan elektron 'V{r) = A{\+a)e“' ko'rinishidagi sferik - simmetrik to'lqin funksiya bi lan tasvirlangan. Shryodinger tenglamasidan foydalanib, a a koeffitsyentlarni va elektronning energiyasini toping. Elektron qan day holatda yotibdi? 16.3. Vodorod atomida yadro bilan Is - elektron orasidagi masofa uchun (^X va - kattaliklarni hisoblang. 16.4. Vodorod atomida Is-holatda yotgan elektronning energi yasini o'rtacha qiymatini va o'rtacha kvadratik tezligfini toping. 16.5. 16.1-jadvaldan foydalanib, vodorod atomida 2r- va 3d -h o- latdagi elektronlarning yadrodan eng ehtimolli masofalarini toping. 16.6. 2r- va 3d - elektronlarni to'lqin funksiyalarini normallang, so'n g yadrodan elektronlarning (^ ) o'rtacha uzoqligi va o'rtacha kvadratik og'ishini ) ni hisoblang. 16.8. Vodorod atomi markazida l 5 -eIektronning hosil qilgan elektrostatik potensiallarni toping. 4 me 16.9. Vodorod atomining energetik sathi ^ ga karraligini toping. Shu energiya uchun to'lqin funksi yalarni yozing. 16.10. Lagerr polinomidan foydalanib, n = l , 2, 3 lar uchun Lagerr funksiyalarining jadvallarini tuzing. 16.11-m asaladagi Lagerr funksiyalaridan foydalanib, 2s va 3 r - holatlar uchun normallangan radial to'lqin funksiyalarini ko'rinishlarini toping. 358 ___________ ___________ KV A N T F IZ IK A S I 16.12. 4s va 4 r-h o la tla r uchun umumlashgan Lagerr funksiyasini va radial to'lq in funksiyalarini yozing. 16.13. 2 s - h o la t uchun Shryodingerning radial tenglamasining 4 _ m e xususiy qiymati t = ------------ — j ga teng bo'lsa, tenglamaning 128 ^ e oh yechimini toping. 16.14. n = 2, va ^ = 1 kvant sonlari bilan ifodalangan holat uchun radial to ‘lqin funksiya ^ 2.1 1 3 / 2 / \ r 2 V 6 J i . ^ . Bunda - Bor radiusi. Shu funksiya Shryodingerning radial tenglamasini qanoatlanti- rishini isbot qiling. 16.15. 3 s - h o la t uchun energiyaning xususiy qiymati 4 b o ‘Isa, radial tenglamaning E = - yechimi ^5,0 = C 3 V e ekanligini ko'rsating. Bunda = 1 9VJ 1 16.16. Quyida normallangan to'lqin funksiyalar ayrim ho latlar uchun berilgan. Bu to'lqin funksiyalarni Shryodinger tenglam a siga qo'yib, -x u s u s iy qiymatlarni toping. 1 = 1. 0 .0 / \ 3 /2 I v'-.y « = 1 , ¿ = 0 m, - Q, 'F = — Í— I 1 — Download 11.27 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|