Electrización es el efecto de ganar o perder

En un condensador la carga q, la capacidad C y diferencia de potencial v entre sus placas están relacionadas entre sí

• En un condensador la carga q, la capacidad C y diferencia de potencial v entre sus placas están relacionadas entre sí

• q=C·v

La intensidad se obtiene derivando la carga respecto del tiempo,

• La intensidad se obtiene derivando la carga respecto del tiempo,

• i=dq/dt

Para un condensador, la intensidad iC está adelantada 90º respecto a la diferencia de potencial vC. La relación ente sus amplitudes es:

• Para un condensador, la intensidad iC está adelantada 90º respecto a la diferencia de potencial vC. La relación ente sus amplitudes es:

Una bobina conectada a un generador de corriente alterna

• Una bobina conectada a un generador de corriente alterna

• Ya hemos estudiado la autoinducción y las corrientes autoinducidas que se producen en una bobina cuando circula por ella una corriente i variable con el tiempo..

• La ecuación del circuito es (suma de fem igual a intensidad por resistencia), como que la resistencia es nula

• Integrando esta ecuación obtenemos i en función del tiempo

La intensidad iL de la en la bobina está retrasada 90º respecto de la diferencia de potencial entre sus extremos vL.

• La intensidad iL de la en la bobina está retrasada 90º respecto de la diferencia de potencial entre sus extremos vL.

• La relación entre sus amplitudes es

Medida de la autoinducción de un anillo

• Medida de la autoinducción de un anillo

La experiencia consta de dos partes:

• La experiencia consta de dos partes:

Se sitúa el anillo en el interior del solenoide. Se hace circular la misma corriente alterna por el solenoide (primario), se mide la fem producida en el anillo (secundario).

• Se sitúa el anillo en el interior del solenoide. Se hace circular la misma corriente alterna por el solenoide (primario), se mide la fem producida en el anillo (secundario).

• Se observa en la pantalla del osciloscopio un cambio en la amplitud y la fase.

• En la experiencia real, se sitúa el anillo en el interior de la espira, rodeándolo completamente, tal como se indica en la figura.

• Comparando las amplitudes relativas y la diferencia fases de las representaciones de las dos fem en la pantalla de un osciloscopio, se determina la autoinducción del anillo.

•  

Corriente inducida en la espira

• Corriente inducida en la espira

El campo magnético creado por el solenoide (primario) suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, y cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampère

• El campo magnético creado por el solenoide (primario) suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, y cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampère

Este campo atraviesa la sección de la espira (secundario) de área S, el flujo de dicho campo a través de la espira vale.

• Este campo atraviesa la sección de la espira (secundario) de área S, el flujo de dicho campo a través de la espira vale.

Cuando la intensidad de la corriente i1 en el primario cambia con el tiempo, se induce en el secundario una fem Ve que se opone a los cambios de flujo.

• Cuando la intensidad de la corriente i1 en el primario cambia con el tiempo, se induce en el secundario una fem Ve que se opone a los cambios de flujo.

• Aplicamos la ley de Faraday, derivando el flujo que atraviesa el secundario respecto del tiempo

La fem en el secundario Ve siempre actúa en el sentido que se opone a la variación del flujo producido por el primario.

• La fem en el secundario Ve siempre actúa en el sentido que se opone a la variación del flujo producido por el primario.

• Si la corriente que circula por el primario i1 varía con el tiempo de la forma

El anillo como circuito R-L en serie conectado a una fem alterna

• El anillo como circuito R-L en serie conectado a una fem alterna

La diferencia de potencial en los extremos de la autoinducción L está adelantada 90º respecto de la intensidad que circula por ella. La relación de amplitudes es VL=I0·w L.

• La diferencia de potencial en los extremos de la autoinducción L está adelantada 90º respecto de la intensidad que circula por ella. La relación de amplitudes es VL=I0·w L.

• La diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia R está en fase con la intensidad. La relación de amplitudes es VR=I0·R.

• Como vemos en la figura, la fem Ve, está adelantada un ángulo φ  respecto de la intensidad Ia.

Resistencia del anillo

• Resistencia del anillo

• Supongamos que tenemos un anillo hecho de un material de resistividad ρ en forma toroidal de diámetro medio D, y cuya sección es un círculo de diámetro d, siendo d<<D.

• La ley de Ohm establece que la resistencia es

•  

La ley de Ohm establece que la resistencia es:

• La ley de Ohm establece que la resistencia es:

Números Complejos y Operaciones básicas

• Números Complejos y Operaciones básicas

Dos números complejos a+bj y a1 + b1j se consideran iguales cuándo y solo cuando son iguales, por separado, sus partes reales e imaginarias, o sea, si:

• Dos números complejos a+bj y a1 + b1j se consideran iguales cuándo y solo cuando son iguales, por separado, sus partes reales e imaginarias, o sea, si:

• a+bj = a1 + b1j

• tendremos que:

• a=a1

• b=b1

• Si a=0, b=0, el número complejo a + b j se convierte en un número Imaginaria puro bj ; b se llama coeficiente de la unidad imaginaria

Representación Gráfica de un Número Complejo.

• Representación Gráfica de un Número Complejo.

• Re = Parte Real

• Img = Parte Imaginaria

Suma.

• Suma.

• Definición: Se llama suma de dos números complejos Z1= a1+b1j y Z2= a2 + b2j el número complejo

• Z= a + bj, cuyas partes real e imaginaria son iguales respectivamente a las sumas de las partes reales e imaginarias de los números sumandos Z1 y Z2 es decir Z= Z1 + Z2 = (a1+b1j) + (a2+b2j).

• Ejemplo

• (2+3j)+(3-j) = (2+3) + (3-1)j

• = 5 + 2j

Resta.

• Resta.

• Definición: Por Sustracción de un número complejo z1= a1+b1j y z2= a2 + b2j se sobreentiende la determinación de un número z=a+bj, que sumando al sustraendo z2 nos da el número z1.

• Por los tanto

• Z1 – z2 = z

• Si : z + z2 = z1,

• ó bien :

• (a1 + b1j) – (a2 + b2j) = a + bj

• A condición de que:

• A + bj + a2 + b2j = a1 + b1j

• Sumando obtendremos:

• (a+a2) + (b+b2)j = a1 + b1j

• En la condición de igualdad de dos números complejos, obtendremos:

• a+a2 = a1, de donde a= a1 – a2

• b+b2 = b1, de donde b= b1 – b2

Conclusión: En la Sustracción de dos números complejos se restan separadamente sus partes reales e imaginarias.

• Conclusión: En la Sustracción de dos números complejos se restan separadamente sus partes reales e imaginarias.

Multiplicación.

• Multiplicación.

• Definición: Dos números complejos a1+b1j y a2+b2j se multiplican según la regla ordinaria del producto de polinomios; en el resultado j² se sustituye por -1 y se separa la parte real de la imaginaria:

• (a1+b1j) (a2+b2j) = a1 a2 + a1 b2j + b1j a2 + b1j b2j

• = a1 a2 - b1 b2 + j (a1 b2 + b1 a2 )

• Parte Real Parte Imaginaria

• Es importante tener en cuenta que la multiplicación de dos números complejos es también un número complejo.

Ejemplo

• Ejemplo

• (2+3j)* (3+4j) = 2.3 +2.4j + 3j.3 + 3j.4j

• = 6 + 8j + 9j + 12j²

• Pero j² = -1, Entonces:

• = 6+8j+9j-12

• = -6 + 17j

División.

• División.

• Definición: Se llama cociente de la división de dos números complejos a1+b1 y a2+b2j el número complejo x + y j que multiplicando por el divisor nos da el dividendo.

• Existe una manera mas sencilla de obtener la división de dos números complejos, es utilizando el conjugado de un número complejo.

El conjugado de un número complejo z= a+jb se define como : z=a-jb, como se notará el conjugado de un número complejo no es otra cosa que el mismo número con el signo contrario de la parte imaginaria.

• El conjugado de un número complejo z= a+jb se define como : z=a-jb, como se notará el conjugado de un número complejo no es otra cosa que el mismo número con el signo contrario de la parte imaginaria.

Números Complejos en Forma Trigonométrica

• Números Complejos en Forma Trigonométrica

• Un número complejo en forma cartesiana se puede expresar en forma trigonométrica o fasorial .

• Sea el Z= a+jb el número complejo expresado en forma cartesiana se puede expresar en forma fasorial o trigonométrica de la siguiente manera:

• Z= a + jb

• Z fasorial = /Z/ /Ψ

• Donde:

• /Z/=√a² + b

• / Ψ = Arcotg-1 (b/a)

Ejemplo

• Ejemplo

• Sea Z= 3 + 4j

• El número complejo Z en forma fasorial se puede expresar como:

• Z= (√32 + 42). /_ Arcotg-1(4/3)

• Z = 5 /_ 53.13º

• El mismo número complejo expresado en forma trigonométrica será:

• Z= 5 Cos(53.13º) + j 5 Sen(53.13º).

Multiplicación en forma Trigonométrica.

• Multiplicación en forma Trigonométrica.

• Sea Z1= a+jb y Z2= c+jd , la multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica será:

• Primero transformamos a un número complejo fasorial:

• Z1=√ a2+b2 /_ tg-1 (b/a) y Z2= √ c2+d2 /_ tg-1 (c/d)

• Entonces : Z1 * Z2 será:

• Z1 * Z2 = (√ a2+b2)(√ c2+d2 ) /_tg-1 (a/b) + tg-1 (c/d).

Ejemplo

• Ejemplo

• Multiplicar: Z1= 3+2j por Z2= 4+j

• Primero transformamos a su forma trigonométrica:

• /Z1/= (√32+22) =3,6

• Ψ1=( tg-1 2/3) = 33,7º entonces:

• Z1 = 3,6 ( Cos 33,7º + j sen 33,7º).

• /Z2/= (√42+12) = 4,12

• Ψ1=( tg-1 1/4) = 14,04 entonces:

• Z2 = 4,12 ( Cos 14,04º + j sen 14,04º).

• La Multiplicación será:

• Z1*Z2 = (3,6 /_33.7º ) * (4,12 /_14,04º )

• = 3,6 * 4,12 /_(33.7º + 14,04º

• = 14,83/_47,74º.

División en forma Trigonométrica.

• División en forma Trigonométrica.

• Sea Z1= a+jb y Z2= c+jd , la división de números complejos en su forma trigonométrica será:

• Primero transformamos a un número complejo fasorial:

• Z1=√ a2+b2 /_ Ψ1 y Z2= √ c2+d2 /_ Ψ2

• Después realizamos la división: Z1 / Z2 :

• Z1 / Z2 = (/Z1/)/((/Z2/) /_ Ψ1- Ψ2

Ejemplo

• Ejemplo

• Multiplicar: Z1= 3+2j por Z2= 4+j

• Primero transformamos a su forma trigonométrica:

• /Z1/= (√32+22) =3,6

• Ψ1=( tg-1 2/3) = 33,7º entonces:

• Z1 = 3,6 ( Cos 33,7º + j sen 33,7º).

/Z2/= (√42+12) = 4,12

• /Z2/= (√42+12) = 4,12

• Ψ2=( tg-1 1/4) = 14,04 entonces:

• Z2 = 4,12 ( Cos 14,04º + j sen 14,04º).

• La División será:

• Z1/Z2 = (3,6 /_33.7º ) / (4,12 /_14,04º )

• = (3,6 / 4,12) /_(33.7º - 14,04º)

• = 0,87 /_19,66º

Forma Exponencial de un Número Complejo.

• Forma Exponencial de un Número Complejo.

• La forma exponencial de un número complejo se basa en la fórmula de Euler, que relaciona las funciones trigonométricas del argumento real con la función exponencial del argumento imaginario.

• Para esto expondré la primera fórmula de Euler sin deducción:

• ejφ= Cosφ + j Senφ

Dónde el número “e”, tomado como base de los logaritmos naturales, es e=2,718.

• Dónde el número “e”, tomado como base de los logaritmos naturales, es e=2,718.

• Sustituyendo en la fórmula de Euler “φ” por “-φ” tenemos la segunda fórmula de Euler que dice:

• e-jφ= Cos(-φ) + jSen(-φ)

• o bién:

• e-jφ= Cosφ – jSenφ

Ejemplo

• Ejemplo

• Representar en forma Exponencial:

• Z= 3 + 4j

• El módulo /Z/=√32+42 = 5

• Hallamos el argumento φ:

• Puesto que tg φ =4/3 entonces φ = tg-1 (4/3) = 0,93º

• Entonces :

• Z= 3 + 4j = 5e0,93j

PRACTICA Nro. 1 (Números Complejos)

• PRACTICA Nro. 1 (Números Complejos)

• 1.Calcular los cocientes de:

• (1-20j)/7-2j)

• (17-6j)/(3-4j)

• ((1+j)/(1-j)) +((1-j)/(1+j))

2.Elevar a Potencia:

• 2.Elevar a Potencia:

• (1+j)4

• (-0,5 – 0,5j√3)2

• j136

• ((1+j√7)/(2))4 + ((1+j√7)/(2))4

• Cómo se dispone en el plano la representación de dos números complejos conjugados? Graficar

3.Representar en forma trigonométrica los números:

• 3.Representar en forma trigonométrica los números:

• j

• ½ +j√3/2Calcular los productos:

• (cos 40º +j sen 40º) . (cos 50º + j sen 50º)

• (cos 60º +j sen 60º) . 3(cos 30º + j sen 30º)

• 6(cos 20º +j sen 20º) . (cos 90º + j sen 90º)

• (cos 35º +j sen 35º) .45 (cos 80º + j sen 80º)

Representar en forma de vectores los siguientes números complejos:

• Representar en forma de vectores los siguientes números complejos:

• 2+j

• 1+ je

• e2 + j e4