Engineering Principles of Agricultural Machines 2nd Edition

12
CHAPTER 1 AGRICULTURAL MECHANIZATION AND SOME METHODS OF STUDY
1.4.6 
Systematic calculation of the dimensionless products
Consider the problem of computing dimensionless products of variables P, Q, R, S, 
T, U, V, whose dimensional matrix is given below:
k
1
k
2
k3
k4
k5
k
6
k7
P
Q
R
S
T
U
V
M
2
1
3
0
0
-
2
1
L
1
0
-
1
0
2
1
2
T
0
1
0
3
1
-
1
2
The first step is to calculate the r, rank of the matrix. The determinant to the right 
hand side of the matrix is:
0
-
2
1
2 
1
2
= 
1
(1.11)
1
- 1
2
Since the determinant is not zero, r = 3. The number of dimensionless groups is the 
number of variables minus the rank of the dimensional matrix, i.e., the number of di­
mensionless groups, or 7 - 3 = 4. The corresponding algebraic equations are:
2kj - k
2
+ 3k
3
- 2k
6
+ k
7
= 0
k — кз + 
2
k
5
+ кб + 
2
k
7
= 
0
k
2
+ 3k4 + k
5
— кз + 
2
k
7
= 
0
There are seven variables in the above three equations. This implies that four vari­
ables may be assigned any arbitrary values and the other three may be solved using the 
above equation. Since the value of the determinant as computed above corresponds to 
k5, k6, and k7, is non-zero, we will use these as dependent variables. In other words, k b 
k
2
, k
3
, and k
4
may be assigned arbitrary values and k
5
, k
6
, and k
7
may be solved explic­
itly. While any value may be assigned to ki through k4, it is prudent to select a set of 
values that results in simplicity in calculations.
Let k
1
= 1 and k
2
= k
3
= k
4
= 0 and find k
5
= - 11, k
6
= 5, and k
7
= 
8
. Similarly, let 
k
2
= 1 and k
1
= k
3
= k
4
= 0 and find k
5
= 9, k
6
= - 4, and k
7
= - 7.
The above procedure can be repeated and the solutions arranged as follows:
Solution Matrix
k
1
k
2
k3
k,
k5
k
6
k7
P
Q
R
S
T
U
V
П
1
1
0
0
0
-
11
5
8
П
2
0
1
0
0
9
- 4
- 7
П3
0
0
1
0
- 9
5
7
П
4
0
0
0
1
15
-
6
-
12

---