Gulmirza Xudoyberganov, Azizjon Kenjabaevich Vorisov, Hojakbar Turobovich Mansurov, Bohodir Allaberdievich shoimqulov

3⁰. Ekvivalent to`plamlar. Sanoqli to`plamlar. Ko`p holda to`plamlarni ularning tashkil etgan elementlari soni bo`yicha o`zaro solishtirishga to`g`ri keladi. CHekli to`plamlar solishtirilganda bir to`plamning elementlari soni ikkinchisidan ko`p, yoki kam, yoki ularning elementlarining soni bir-biriga teng degan hulosaga kelinadi. Bu holda elementlari soni ko`p bo`lgan to`plamni «quvvati» ko`proq deyish mumkin.
CHeksiz to`plamlarni solishtirishda vaziyat boshqacharoq bo`ladi. CHeksiz to`plamlar ekvivalentlik tushunchasi yordami-da solishtiriladi.


7-ta`rif. Agar o`zaro bir qiymatli akslantirish (moslik) bo`lsa, va ekvivalent to`plamlar deyiladi va kabi belgilanadi.
Demak, va to`plamlarning ekvivalentligi ularning elementlari o`zaro bir qiymatli moslikda ekanligini bildiradi.
Masalan,
to`plamlar uchun

,
akslantirish o`zaro bir qiymatli. Binobarin,

bo`ladi. (Bu holda kabi yoziladi).
Aytaylik to`plamlar berilgan bo`lsin. Unda
1) ,
2) ,
3)
bo`ladi. Bu xossalarning isboti yuqorida keltirilgan ta`rifdan kelib chiqadi.
Ikki va to`plamlari o`zaro ekvivalent bo`lsa, ularni bir xil quvvatli to`plamlar deb qaraladi.
Demak, quvvatni ekvivalent to`plamlarning miqdoriy xarakteristikasi sifatida tushunish mumkin.
CHekli to`plamlarning o`zaro ekvivalentligi ularning tashkil etgan elementlarining sonini bir-biriga tengligini bildiradi.
Umuman, va chekli to`plamlarning o`zaro ekvivalent bo`lishi uchun ularning elementlari soni bir xil bo`lishi zarur va etarli:

,
bunda to`plamning elementlari soni.

8-ta`rif. Natural sonlar to`plami ga ekvivalent bo`lgan har qanday to`plam sanoqli to`plam deyiladi.
Masalan, ushbu

to`plamlar sanoqli to`plamlar bo`ladi, chunki

;

;

.
Natural sonlar to`plami ga ekvivalent bo`lgan barcha to`plamlar sanoqli to`plamlar sinfini tashkil etadi. Bu sinf to`plamlarining quvvati bir xil bo`ladi.
Ravshanki,
bo`ladi. Ayni paytda, yuqorida ko`rdikki,

.
Bunday vaziyat (to`plamning qismi o`ziga ekvivalent bo`lishi) faqat cheksiz to`plamlardagina sodir bo`ladi.