Гязянфяр рцстямов автоматик

x  вя ъари 

)

t

(

x

 вязиййят дяйишяниндян асылы олмадыьындан идаря контурундан 

кянарда бир дяфя щесабланыр. 

Гейд едяк ки, бурада щяйяъанландырыъы тясир ролунда сыфыра бярабяр 

олмайан 

0

x   башланьыъ  шярти  чыхыш  едир.  Бу,  физики  олараг  системи 

461 

 

таразлыг  нюгтясиндян  чыхарыб  мяъбури  щярякят  йарада  билмяйян 

гыса  мцддятли  импулса 

еквивалентдир. 

Шякил  9.10-2-дя  оптимал 

тянзимлямя  системинин 

структуру эюстярилмишдир.

                                         

Мисал  9.13.  Икигат  ин-

теграллайыъы 

мангадан 

ибарят олан сабит ъяряйан 

мцщяррикинин 

оптимал 

идаря олунмасы мясялясиня бахаг. 

Обйектин вязиййят 

2

1

, x

x

 координатларында йазылмыш тянлийи: 

 

 

2

1

x

x





,    

u

2



x

, 

 

 

 

10

0

1

)

t

(

x

x



, 

20

0

2

)

t

(

x

x



. 

Оптималлашдырма критериси: 

 

min

dt

)]

t

(

u

)

t

(

[

J

2

2

1

t

t

т

0









x

. 

Бу мясялядя  

 















0

0

1

0

A

, 















1

0

B

, 















0

0

0

1

Q

, 

1

R



, 

0

N



, 

олдуьундан Риккати тянлийи 

 





































































22

21

12

11

22

21

12

11

22

21

12

11

p

p

p

p

0

1

0

0

0

0

1

0

p

p

p

p

)

t

(

p

)

t

(

p

)

t

(

p

)

t

(

p

)

t

(

P











 

         

 























































0

0

0

1

p

p

p

p

1

0

1

0

p

p

p

p

22

21

12

11

22

21

12

11

  

                   Шякил 9.10-2

 

462 

 

       

.

  





























































0

0

0

1

p

p

p

p

p

p

p

p

p

0

0

p

0

p

0

2

22

21

22

22

12

21

12

12

11

21

11

 

Матрис  тянлийин  айры-айры  дяйишянляр  цчцн  ачыб 

21

12

p

p



  сим-

метриклийини нязяря алсаг, йазмаг олар: 

 





























. 

, 

, 

2

22

12

22

22

12

11

12

2

12

11

p

p

2

p

p

p

p

p

p

1

p







 

Терминал (саь сярщяд) шярти 

0

N



 олдуьундан 

 

0

)

t

(

p

)

t

(

p

)

t

(

p

т

22

т

12

т

11







. 

Эцъляндирмя матриси: 

 

2

22

1

12

2

1

22

21

12

11

)

t

(

p

)

t

(

p

)

t

(

p

)

t

(

p

)

t

(

p

)

t

(

p

1

0

)

t

(

K

x

x

x

x



































. 

Инди  йухарыда  алдыьымыз  Риккати  тянлийини  щялл  едиб 

)

t

(

p

12

  вя 

)

t

(

p

22

 ифадялярини йериня йазмаг галыр. 

 

9.4. Динамик програмлашдырма 

 

Америка  рийазиййатчысы  Ричард  Беллманын  1950-ъи  иллярин 

яввяляриндя тяклиф етдийи динамик програмлашдырма цсулу вариаси-

йа мясяляляринин чох садя вя еффектли чохаддымлы щялл цсулундан 

ибарятдир. 

Техникада,  биолоэийада,  игтисадийатда,  риазиййатда  еля  обйектляр 

вя  просесляр  мювъуддурки,  оптимал  щяллин  тапылмасы  сонлу  сайда 

щялляр  ардыъыллыьынын  тапылмасындан  ибарят  олур.  Беля  щялл 

чохаддымлы  щялл  просеси  адланыр.  Просесин  юзц  ися  дискрет  олуб 

вязиййят  фязасында  йазылыр.  Мисал  цчцн,  идаря  мясяляси  олан  – 

хаммалын  вязиййятляри  (активликляри)  мцхтялиф  олан  катализаторла 

йцклянмиш  вя  мцяййян  схем  цзря  бирляшдирилмиш  реакторлар  ара-

сында  оптимал  пайланмасы  мясялясини  вя  кющнялмиш  аваданлыьын 

463 

 

дяйишдирилимяси мясялясини эюстярмяк олар. 

Яэяр дискрет  просес заман цзря инкишаф (евалйусийа) едирся, беля 

чохаддымлы  просес  чохмярщяляли  просес  адланыр.  Мярщяля  заман 

интервалы (адятян, сабит)  олуб, мисал  цчцн, декада, ай, квартал  вя 

йа  сцни  сурятдя  дискретляшдирилмиш  фасилясиз  просес  моделляриндя 

дискретляшдирмя вя йа квантлама аддымы ола биляр. Бу заман щялл 

чохмярщяляли  щялл  просеси  адланыр.  Принсипъя  вязиййятя  эюря 

дискретляшдирмя  аддымы  да  мярщяля  адландырыла  билря.  Лакин 

замандан  асылы  просесляри  фяргляндирмяк  цчцн  эюстярилян  щалда 

мярщяля  анлайышындан  истифадя  етмяк  мяслящят  дейил. 

Цмумиййятля,  динамик  програмлашдырмада  щяллин  физики 

мащиййятиндян (щялл мянтиги, рягям вя с. шяклиндя ола биляр) асылы 

олмайараг оптимал стратеэийанын тапылмасы чохаддымлы гярар гябул 

олунма мясяляляриня аиддир. 

Идаряетмя  мясяляляриня  тятбигдя,  динамик  програмлашдырма 

оптимал  дискрет  програм  (замандан  асылы)  идарясини  вя  щямчинин 

тянзимлямядя истифадя олунан якс ялагяли оптимал идаря ганунуну 

тапмаьа имкан верир. 

Ахырынъы  щалда,  Беллманын  функсионал  тянлийи  щяр  мярщялядя  ади 

оптималлашдырма мясялясиндян истифадя етмякля глобал оптимуму 

тямин едян локал идаря тясирлярини тапмаьа имкан верир. 

Динамик  програмлашдырма  цсулунун  ясасыны  оптималлыг  принсипи 

тяшкил едир. 

Оптималлыг  принсипи.  Системин  эяляъякдя  оптимал  щярякяти 

(фяалиййяти)  онун  инди  щансы  вязиййятдя  олмасындан  асылы  олуб, 

кечмишиндян, йяни бу вязиййятя неъя эялмясиндян асылы дейил. 

Рийази дилдя, башланьыъ 

0

x   вязиййяти  вя башланьыъ 

0

u  щялли неъя 

олурса-олсун,  сонракы  щялляр  бу  щялл  нятиъясиндя  системин  эялдийи 

вязиййятя  нязярян  оптимал  олмалыдыр.  Бу  принсипин  тятбиг  олуна 

билдийи  просесляр  синфи  олдугъа  эенишдир.  Бу  шякилдя  формалаш-

дырылмыш  оптималлыг  принсипи  мясяляни  просесин  сонундан  баш-

лайараг щялл етмяк цчцн щесаблама алгоритмлярини гурмаьа имкан 

верир.  Просесин  яввялиндян  башланан  оптимал  щялл  алгоритмляри  дя 

мювъуддур. 

464 

 

Оптималлыг  принсипини  яйани  баша  дцшмяк  цчцн 

0

0

)

t

(

x

x



 

башланьыъ  вязиййятиндян  башлайыб 

т

т

)

t

(

x

x



  сон  вязиййятиндя 

гуртаран 

)

t

(

x

 

трайекторийасыны 

нязярдян кечиряк (шякил 9.11). 

Бу  трайекторийанын  цзяриндя 

)

t

(

1

x

 

нюгтясини эютцряк. 

]

t

,

t

[

т

1

  интервалында 

оптималлашдырма критериси: 

         

dt

)

u

,

(

G

J

т

1

t

t

1





x

 

шяклиндя тяйин олунур. 

Оптималлыг  принсипиня  ясасян  трайекторийанын  биринъи  щиссясинин 

оптимал олуб-олмамасындан асылы олмайараг, икинъи щиссядя 

1

J -ин 

минимал  гиймятини  тямин  едян 

)

t

(

u

  идаря  гануну 

1

1

)

t

(

x

x



-я 

нязярян оптимал олмалыдыр. Бу шцбщясиз беля олмалыдыр, чцнкц 

1

x  

башланьыъ 

1

t  анында просесин икинъи щиссясинин башланьыъ шяртдир. 

1

J

-ин  

]

t

,

t

[

т

0

 там идаря интервалыны ифадя едян  

                       

dt

)

u

,

(

G

J

т

0

t

t





x

  

критерисинин  оптимал  щиссяси  олмасы  цчцн 

)

t

(

x

трайекторийасынын 

биринъи щиссяси дя оптимал олмалыдыр. Бу щалда биринъи щисся цчцн 

сон, икинъи щисся цчцн ися башланьыъ вязиййяти олан 

1

x  нюгтяси дя 

оптимал  олмалыдыр.  Айдындыр  ки,  йалныз  бу  щалда  биринъи  вя  икинъи 

щиссяляря  уйьун  олан  локал 

0

J   вя 

1

J   гиймятляринин  ъями 

J

-нин 

глобал гиймятиня бярабяр ола биляр: 

max

1

max

0

max

J

J

J





. 

Илк  бахышда  оптималлыг  принсипи  ашкар  (банал)  принсиб  олуб  щялл 

алгоритмини гурмаг цчцн конструктив ресепт вермир. Беля ки, 

1

J -и 

оптимал тапа билсяйдик, щяля 

J

-ни дя оптимал тапа билярдик. Чцнкц 

бунлар ейни типли мясялялярдир. 

 

           Шякил 9.11 

465 

 

Оптималлыг  принсипиндян  щесаблама  схеминин  гурулмасы  цчцн 

истифадя  етмяк  цчцн 

]

t

,

t

[

т

1

  интервалыны  (мярщялясини)  кифайят 

гядяр  кичик  эютцряк  вя  фярз  едяк  ки,  бу  интервал  сонунъудур. 

Мярщяля адландырдыьымыз бу ахырынъы интервалда просес тамамлан-

дыьындан  даща 



ещтийат



  етмядян  истянилян  идаря  стратеэийасыны 

гябул  етмяк  олар.  Айдындыр  ки,  беля 



сярбяст



  шяраитдя  бурадакы 

мясялянин  мащиййятиня  уйьун  олараг  еля  идаря  тясири  сечмяк 

лазымдыр  ки, 

1

J   критерисинин  екстремал  (бурада  максимал)  гиймяти 

тямин олунсун. Бу йолла алынмыш локал 

)

t

(

x

,

]

t

,

t

[

t

т

1



 трайектори-

йасы оптимал олуб глобал 

)

t

(

x

,

]

t

,

t

[

t

т

0



 трайекторийасынын сонун-

ъу  щиссясини  тяшкил  едяъякдир.  Лакин  бу  йухарыда  гейд  етдийимиз 

кими,  йалныз  биринъи  щиссянин  сон 

1

x   вязиййяти  оптимал  вязиййят 

олдуьу щалда доьрудур. Бу вязиййят мялум олмадыьындан сонун-

ъу  оптимал  щялли  системин  яввялки  щялл  нятиъясиндя  эяля  биляъяйи 

бцтцн 

1

x  гиймятляри цчцн тапмаг лазымдыр. Системин ала биляъяйи 

вязиййятлярин  дяйишмя  интервалы  мялум  олдуьундан  бу  интервалы 

кичик щиссяляря бюлцб сонунъу Н мярщялясинин 

            

}

,

,

,

{

t

(

1

N

F

1

N

2

1

N

1

1

N

1

N















x

x

x

)



x

x

  

башланьыъ вязиййятляр чохлуьуну тяйин етмяк олар. Ращатлыг цчцн 

замана аид олан индексляри йухары индексляр кими йазаъаьыг. 

Яэяр просес тябият етибари иля дискрет просес оларса вя бу дискретлик 

заман цзря дейил, вязиййятя нязяряндирся, онда сонунъу 

]

t

,

t

[

т

1

 

интервалынын кичик олмасы тяляби мянасыны итирир.  

Яэяр  просес  тябият  етибари  иля  заман  цзря  дискрет  просесдирся  вя 

]

t

,

t

[

]

t

,

t

[

N

1

N

т

1





 интервалы сонунъу Н мярщялясидирся, бу интервал 

кичик  олмайа  да  биляр.  Ваъиб  онун  сонунъу  мярщяля  олмасыдыр. 

Сонунъу  мярщялянин  кичик  олмасы  тяляби  йалныз  заман  цзря  баш 

верян  фасилясиз  просесляри  дискретляшдирдикдя  лазымы  дягиглийи 

тямин етмяк цчцн лазымдыр.  

 

9.4.1. Динамик програмлашдырманын дискрет просесляря тятбиги 

 

Динамик  програмлашдырма  цсулунун  дискрет  вариантындан  истифадя 

едя билмяк цчцн фасилясиз просесляр замана вя вязиййятя нязярян 

466 

 

дискретляшдирилмялидир. 

Фярз  едяк  ки,  чохмярщяляли  просесин  дискрет  йазылышы  ашаьыдакы 

шякилдя верилмишдир: 

 

)

u

,

(

g

k

k

1

k

x

x





, 

1

N

,

,

1

,

0

k







 

(9.74) 

Башланьыъ вязиййят: 

 

             

0

)

0

(

x

x



. 

Мясялян, просес  

 

          

)

u

,

(x

x







 

диференсиал тянлийи иля йазыларса, тюрямяни 

t

/

)

(

k

1

k









x

x

x

 сонлу 

фярг схеми иля апроксимасийа едиб ону ашаьыдакы шякилдя йазмаг 

олар: 

 

k

k

k

1

k

t

)

u

,

(

x

x

x











 

Саь тяряфи  g  иля ишаря етсяк (9.74) ифадясини алмыш оларыг. 

Щесаблама  схемини  дяриндян  баша  дцшмяк  цчцн  заманын  вя 

вязиййятин  дискретляшдирилмясиня  бахаг. 

]

t

,

t

[

т

0

  интервалыны 

t

/

)

t

t

(

N

0

т







  сайда  бярабяр 

t



  щиссяляриня  (мярщяляляря) 

бюляк. 

Бюлэц 

нюгтялярини 

N

k

1

0

t

,

,

t

,

,

t

,

t





, 

t

k

t

k







, 

N

,

,

1

,

0

k





  ишаря едяк. Биринъи мярщяля 

]

t

,

t

[

1

0

, икинъи мярщяля 

,

],

t

,

t

[

2

1

  сонунъу 

N

 мярщяляси ися 

]

t

,

t

[

N

1

N



 заман интервалыны 

ящатя  едир.  Уйьун  олараг  щяр 

1

k

m





, 

1

N

,

,

1

,

0

k







 

мярщялясинин башланьыъ вязиййяти 

k

x  сон вязиййяти ися 

1

k



x

. Щяр 

бир мярщялядя тясир едян идаря сабит олуб 

k

u ,

1

N

,

,

1

,

0

k







  иля 

ишаря  олунур.  Беляликля,  щяр  мярщяля  цчцн 

)

u

,

(t

k

k

k

x

,

  цчлцйцнц 

йазмаг олар. Эюрцндцйц кими, мярщялянин нюмряси  m  дискретляш-

дирмя нюгтяляринин нюмрясиндян бир ващид бюйцк алыныр: 

1

k

m





. 

Гябул  олунмуш  дискретляшдирилмя  схеми  шякил  9.12-дя  эюстярил-

мишдир. 

467 

 

 

Шякил 9.12 

Мярщяля м-дя алынмыш 



удушу



 

 

t

)

u

,

(

G

G

G

k

k

1

k

m









x

,      

N

,

,

2

,

1

m





 

ишаря едяк. 

Сонунъу  Н  мярщялясиндян  яввял  ардыъыл  н  сайда  мярщялялярдя 

гярар  гябул  етмяк  (бурада,  идаря  етмяк)  нятиъясиндя  алынмыш 

йекун 



удушу



 

 

t

)

u

,

(

G

J

1

N

n

N

k

k

k

n













x

,         

N

,

,

2

,

1

n





 

ишаря едяк. 

Мясялян,   

20

N



оларса  сонунъу  ики  (йяни 

2

n



)  19  вя  20 

мярщялялярдян алынмыш йекун 



удуш



 

 

t

)

u

,

(

G

J

19

18

k

k

k

2









x

. 

Йекун удушун максимал (минимал) гиймятини 

 

}

J

max{

f

n

n



 

ишаря едяк. 

Дискрет  вариантда,  оптимал  идаряетмя  мясяляси  просесин  (9.74) 

тянлийини верилмиш мящдудиййятляри, 

0

x ,

N

x  сярщяд шяртлярини юдя-

йян вя Н мярщялядян алынан йекун  

 

t

)

u

,

(

G

J

1

N

0

k

k

k

N











x

 



удушунун



  максимал  (минимал)  гиймятини  тямин  едян  

468 

 

}

u

,

u

,

u

,

u

{

N

2

1

0



 дискрет идаря ардыъыллыьынын тапылмасындан ибарят-

дир.