Ikki karrali integralning tatbiqlari. Ikki karrali integral yordamida yuza va jism hajmini hisoblash. Massa, O’rta qiymat va inersiya momenti

Ikki karrali integralning ta’rifi.

f (x, y) funksiya biror D sohada aniqlangan bo’lsin. D sohani n ta
D_i qismlarga

bo’lamiz. Har bir D_i
qismda P_i (x_i , y_i ) bittadan nuqta tanlaymiz hamda
n

S_n  _ f x_i , y_i S_i
i1
(1)

yig’indini to’zamiz. (1) yig’indiga f (x, y) funksiya uchun D sohadagi i ntegral yig’indi

deyiladi.  qism sohalar diametrlarining eng kattasi bo’lsin.
S_i , D_i
sohaning yuzi.

Ta’rif. (1) integral yig’indining, qismlarga bo’linish usuliga, P_i
nuqtalarning tanlanishiga

bog’liq bo’lmagan
  0
dagi limiti mavjud bo’lsa, bu limitga
f (x, y) funksiyaning D

sohadagi ikki karrali integrali deyiladi va



D
simvol bilan belgilanadi.
f x,
y ds

Ikki karrali integral aniq integralning ikki o’zgaruvchili(argumentli) funksiya uchun umumlashgan holidir.
Ikki karrali integral ham aniq integralning asosiy xossalariga ega. Aniq integralning xossalarini takrorlashni tavsiya etamiz.

2. Ikki karrali integralni hisoblash.

Ikki karrali integralni hisoblash ikkita aniq integralni ketma-ket hisoblashga

keltiriladi. D soha
y  y₁ (x),
y  y₂ (x)
funksiyalar grafklari hamda
x  a
va x  b

to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan bo’lsin, ya’ni
_ a  x  b

^ y x  y  y
x

 1 2
tengsizliklar bilan aniqlangan bo’lsa, ikki karrali integral quyidagicha hisoblanadi:

   b ^ y2 x    ^
_b y₂ x 
  

 ^f
x, y ds
 ^  ^f
x, y
dy_dx
_ dx _ f
x, y dy
(1)

D a _ y₁ x 
_ a
y₁ x 

Oxirgi aniq integral ichki integral deb ataladi va uni hisoblashda x ni o’zgarmas deb, integrallash y bo’yicha olib boriladi. Ichki integralni hisoblash natijasi tashqi integral uchun integral osti funksiyasi bo’ladi.
D soha
_ с  y  d

^x y   x  x
y 

 1 2
tengsizliklar bilan aniqlangan bo’lsa , ikki karrali integral

_{  } d _^x₂ ^{ y } _{   } d
x₂  y 
 

 ^f
x, y
dxdy
 ^  ^f
x, y
dx_dy
_ dy _ f
x, y dx

D s _ x₁ y 
_ s
x₁ y 

formula yordamida ikkita aniq integralni hisoblashga keltiriladi.

1. 
   misol. _ x ln
   

D

ydxdy

integralni D soha:
0  x  4 ^,
1  y  e
to’g’ri to’rtburchak

bo’lganda hisoblang.
Yechish. (1) formulaga asosan,

4 e
 ^
   ^e  ⁴ 

4
x ln ydxdy _ xdx_ ln ydy _ xdx y ln y y _1
0 8.

D 0 0 0

2. 
   misol.
   

_ x  ydxdy integralni
D
D : y  2  x² ,
y  2x 1, chiziqlar bilan chegaralangan

soha bo’lganda hisoblang.
Yechish. Birinchi chiziq uchi (0,2) nuqtada OY o’qiga simmetrik bo’lgan parabola. Ikkinchisi chiziq to’g’ri chiziq. Bu chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz:
^ y  2  x²


^ y  2x 1

tenlamalar sistemasini yechib,
A(3;7),
B(1,1)
nuqtalarni topamiz. (1) formulaga asosan,

1 2x²

_ (x, y)dxdy 
D
_ dx
3
_ (x  y)dy 
2 x1

_{1  2 }2 x ² _{1 }
2 2 _
2 _

 _{ }xy  ^y _
dx 
_{ }x  (2  x² )  ^{(2  x )}  _x  (2x 1)  ^{(2x 1)} _dx 

^3
^{2 }2 x 1
3^_
2 _ 2
^


¹ ₃ 4  4x²  x⁴ ₂ 4x²  4x  1^

 _
1 3



^ 2x  x 



• 
  2x
  

2

• 
  x 
  

^dx 

2 _

3 _{1  1 3 }

 _{ }
3^
x⁴  x³  2x²  x 

2

_dx 

2 _

 ^ ^1
_ 10
x⁵ 
¹ x⁴ 
4
² x³ 
3
¹ x² 
2
x  4 ⁴





_{3 }1

2
_3 15

bo’ladi.

2. Ikki karrali integralning tatbiqlari.

1. 
   _ f x, ydxdy integralda f (x, y)  1 bo’lsa, _ dxdyintegral D figuraning yuzini
   

D D

ifodalaydi, ya’ni


S  _ dxdy
D

1. 
   misol.
   

x  4 y  y² ,
x  y  6 chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzini toping.

Yechish. Berilgan chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz.

x  4 y  y², x  6  y
dan
4 y  y²  6  y,
y²  5y  6  0,
kesishish nuqtalari bo’ladi.

y₁  2, y₂  3;
x₁  4,
x  3;
A(4;2) va B(3;3)

Shunday qilib, yuza
3 ^{4 y y2} 3 3 3
S  _ dxdy  _ dy _ dx  _ x ^{4 yy} dy  _ 4 y  y ²  6  ydy  _ 5y  y ²  6dy 

6 y

2

D 2

^ 5 y³

6 y 2 2 2
_3 ₁

 ^ y ² 

_ 2

 6 y ^ 
3 _2 6
(kv. birlik)

2. 
   Yuqoridan
   

z  f x, y sirt, quyidan
z  0
tekislik, yon tomondan to’g’ri silindrik

sirt bilan hamda XOY tekislikda D sohani hosil qiladigan silindrik jismning xajmi
V  _ f x, ydxdy integral bilan xisoblanadi.
D

2. 
   misol.
   

y  1 x² ,
z  3x, y  5, z  0
sirtlar bilan chegaralangan I oktantadagi jismning

hajmini hisoblang.
Yechish. Hajmi hisoblanishi kerak bo’lgan jism yuqoridan
z  3x
tekislik, yondan

y  1  x²
parabolik silindr,
y  5 tekislik bilan chegaralangan. Shunday kilib

2 5 2
2 _{ x}²
_{x4 }2

V  _ 3xdxdy  3_ xdx _ dy  3_ x5  (1  x² )dx  3_ 4x  x³ dx  3^ 4

 ^ 

D 0 _1x² 0
 _{2 2}⁴ 
⁰  ^{2
4 0} 3.

 3^ 2  2


 ^  24  12  12 куб.бир.

4 _

Plastinka har bir nuqtasidagi zichlik funksiyasi  x, y bo’lsa, uning massasi
m  _  x, ydxdy
D
integral bilan hisoblanadi.

Plastinkaning OX
va OY
o’qlarga nisbatan statik momentlari.

^M x ^  
D
y x, ydxdy , M _y
^  
D
x x, ydxdy

formulalar bilan hisoblanadi.
Plastinka birjinsli, ya’ni
koordinatalari

  cos nt

bo’lganda uning og’irlik markazining

_{M } xdxdy
_M 


ydxdy

x_c ^^х 
_{yc }x _ D

S S S S
formulalar yordamida topiladi, bu yerda S , D sohaning yuzi. Plastinkaning OX va OU o’qlariga nisbatan inertsiya momentlari

^J x ^ 
D
y ² x, ydxdy ,
J _y  _ x² x, ydxdy
D

formulalar bilan, koordinatlar boshiga nisbatan inertsiya momenti
J ₀  _ x²  y ²  x, ydxdy  J _x  J _y D

formula bilan aniqlanadi. Yuqoridagi formulalarda
 (x, y)  1
deb tekis figuralarning

geometrik inertsiya momentlarini topish formulalarini olamiz.

3. 
   misol.
   

y ²  4x  4,
y ²  2x  4
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning

og’irlik markazining koordinatlarini toping.
Yechish. Chiziqlar OX o’qiga nisbatan simmetrik bo’lganligi uchun topamiz:


y_с  0


x_c ni

4 y²

2 ₂

^{2 } 4  y ²
y ²  4 ^
2  _3y ² 

S  _ dxdy  2_ dy _
dy  2_^ ₂ 
₄ ^dy  2_^3 
^dy 

4

^{D 0} y² 4 ^{0 } 4
 ⁰  

 _y³  ² _{ 8 }

 6_ y  _{12 }

 6_ 2  _  8
12

 ₀

1
 

4 y ²
₁ ² 2

xdxdy 

1 ^{2 }4  y²
 
y²  4^

dy 




1 ² _{3 } 3


_{y2 } 3


y^{4 }dy 

x_c  _{8 } xdxdy  ₈ 2_ dy _
8 _{0 } 4

16 _

8 _{0 } 2

16 _

_ 


^{L 0} y ²  4
4

1 ^ y³

3y^{5 }2 2 2

 ^3y 

8 _



2 80

^  . Demak C( ;0) .
_0 5 5

Adabiyotlar ro’yxati:

1. 
   Сlaudio Сanuto, Anita Tabacco “Mathematical Analysis”, Italy, Springer, I-part, 2008, II-part, 2010.
   
2. 
   W. WL.Chen “Linear algebra ”, London, Chapter 1-12, 1983, 2008.
   
3. 
   W.WL.Chen “Introduction to Fourier Series”, London, Chapter 1-8, 2004, 2013.
   
4. 
   W.WL.Chen “Fundamentales of Analysis”, London, Chapter 1-10, 1983, 2008.
   

5. 
   Soatov Yo U. Oliy matematika. Т., O’qituvhi, 1995. 1- 5 qismlar.
   
6. 
   Azlarov Т., Мansurov Х. Matematik analiz, - Тoishkent, O’qituvhi, 1-qism, 1989.
   
7. 
   Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Рады. Функции комплексного переменного. - Наука, 1997.
   
8. 
   V.Ye.Shneyder, А.I.Slutskiy, А.S.Shumov. Qisqaha oliy matematika kursi. Т., 1985., 2-qism.
   

9. 
   Беклемишев. Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.: Наука, 1984.
   
10. 
    Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление.
    

М.: Наука, 1983.

"Экономика и социум" №2(93) 2022

www.iupr.ru