International research journal

Система уравнений для исследования неравновесных процессов переноса в средах с переменной 
микроструктурой 
Система уравнений для макроскопического описания открытых систем вдали от равновесия включает: уравнение 
баланса для малого объёма несжимаемой среды, полученного на основе закона сохранения импульса; уравнения баланса 
для неравновесной энтропии состояния системы; определяющего уравнения для потока импульса и уравнения 
движения внутреннего макроструктурного параметра.
Уравнение несжимаемости среды и уравнение количества движения с плотностью 
ρ
в декартовых координатах 
имеют обычный [1], [3] вид: 

V
i
/ 
i
x

= 0
 
(1) 
 
ρ
(

V
i
/ 
t

+ V
j

V
i
/
j
x

) = 
ij
P

/
j
x

 
(2) 
 
Величины 
ij
P
являются компонентами тензора давлений (напряжений). Тензор полных механических напряжений, 
на основе принципа его разложения по физическим процессам применительно к исследованию среды с ориентационной 
и релаксационной микроструктурой, представлен в [11], [12] и имеет вид: 
P
ij
= - 
p

ij
+ 2

(
ij
ν
)
ij
ν
+ 


x
i
x
j



ij

 
(3) 
Первый член уравнения (3) представляет собой скалярное давление, а второй связан с поверхностными силами, то 
есть с изменением ориентационной формы деформируемой системы. Третий член — это избыточное напряжение, 
обусловленное отклонением внутреннего параметра среды 

x
i
x
j

от равновесного состояния 

ij
.
Эта часть уравнения 

---

Международный научно-исследовательский журнал ▪ № 1 (103) ▪ Часть 1 ▪Январь 
32 
учитывает релаксационные процессы в деформируемой системе, обусловленные установлением равновесного 
состояния сегментов в эластичных цепях между узлами пространственной сеточной модели [11], [12].
В уравнении (3) величина 

=2

/
æ
энтропийный модуль эластичности; 
2
1
æ
ζ S b 12kT

– время релаксации, 
время структурных перестроек кинетических единиц в цепях сеточной модели на масштабе 

1
S
2
b
к равновесному 
состоянию. Предполагается, что кинетические сегменты цепи с малым масштабом длины 
b
в количестве 
1
S
, 
оказывают в цепи такое же сопротивление движению, как и соответствующий сеточный узел диаметра d, являющейся 
концентратором напряжения, то есть сопротивление Стокса 
ζ
=6
π

d. Недеформируемая часть эластичной цепи 
b
это 
сегмент Куна [6]. Эффективная вязкость среды 

, время релаксации 
æ
, общем случае зависят от чисто сдвиговой 
скорости деформации [3], [5], [6].
Величина 
p
в уравнении (3) это часть тензора давления, которое остается после вычета из него тензоров 
напряжений с вязкими (

) и релаксационными (
æ
) свойствами системы. Из дальнейшего видно, что для сред с 
релаксационной внутренней микроструктурой, оно не является независимым гидростатическим давлением, то есть 
функцией переменных равновесного состояния системы.
Таким образом, дополнительная диссипация энергии в системе происходит в результате релаксационного 
запаздывания кинетических сегментов цепей, то есть эффективных узлов пространственной эластичной полимерной 
сетки, как концентраторов напряжений, от их среднего движения [11], [12].
Уравнение (3) записано на основе расширенного фундаментального уравнения баланса Гиббса для локальной 
энтропии - 
s
элемента открытой системы [1], которое является следствием первого и второго законов термодинамики. 
В отличие от аналогичного расширения по диссипативным потокам (использование “быстрых” переменных с 
относительно высокой скоростью стремления к локально-равновесному состоянию системы [7], [8]), в данной работе 
расширение локальной энтропии состояния элемента среды выполнено с учетом влияния внутреннего релаксационного 
параметра для производства неравновесной энтропии в виде: 
t
t
t
t
i j
1
Td s
d ε
pd v xd
x x




