Ivan Slapniˇ

n
k
=
n!
k!(n
− k)!
.
Dokaz. Svaku permutaciju n-tog reda moˇzemo dobiti u tri koraka:
1. odaberemo jedan k-ˇclani podskup od [1, n]
N
, ˇsto moˇzemo uˇciniti na K
k
n
naˇcina;

14
OSNOVE MATEMATIKE
2. odaberemo jednu permutaciju tog podskupa, ˇsto moˇzemo uˇciniti na k!
naˇcina;
3. odaberemo jednu permutaciju preostalog (n
−k)-ˇclanog podskupa, ˇsto moˇzemo
uˇciniti na (n
− k)! naˇcina.
Ukupan broj permutacija n-tog reda stoga je jednak
n! = K
k
n
· k! · (n − k)!
pa je teorem dokazan.
Teorem 1.5 Vrijedi
n
k
=
n
n
− k
,
∀k, n ∈ N ∪ {0},
k
≤ n,
n
k
+
n
k + 1
=
n + 1
k + 1
,
∀k, n ∈ N ∪ {0},
k < n.
Zadatak 1.3 Dokaˇzite teorem 1.5.
Druga tvrdnja teorema 1.5 daje nam poznati Pascalov trokut:
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
..
.
..
.
(1.1)
U n-tom retku Pascalovog trokuta nalaze se binomni koeficijenti n-tog reda,
n = 0, 1, 2, 3, . . ., i to poredani po razredu k = 0, 1, 2
· · · , n. Vidimo da je
svaki element, osim rubnih, zbroj dvaju elemenata koji se nalaze s lijeve i
desne strane u retku iznad.

1.4 Prirodni brojevi
15
Teorem 1.6 (Binomni pouˇ
cak) Za svaki n
∈ N vrijedi
(a + b)
n
=
n
k=0
n
k
a
k
b
n−k
.
(1.2)
Na primjer, formula (1.2) i Pascalov trokut (1.1) za n = 4 daju
(a + b)
4
=
4
0
a
0
b
4
+
4
1
a
1
b
3
+
4
2
a
2
b
2
+
4
3
a
3
b
1
+
4
4
a
4
b
0
= b
4
+ 4ab
3
+ 6a
2
b
2
+ 4a
3
b + a
4
.
Binomni pouˇcak dokazat ´cemo za prirodne brojeve, no on vrijedi i za racionalne,
realne i kompleksne brojeve.
Dokaz. Teorem ´cemo dokazati pomo´cu principa matematiˇcke indukcije P4 iz
definicije 1.13. Tehnika dokazivanja sliˇcna je onoj iz Primjera 1.3.
Neka je M skup svih prirodnih brojeva za koje formula vrijedi. Dokaˇzimo
da je M = N. Za n = 1 formula vrijedi jer je
(a + b)
1
=
1
0
a
0
b
1
+
1
1
a
1
b
0
.
Dakle, 1
∈ M pa je ispunjena baza indukcije, odnosno uvjet (i) aksioma P4.
Pokaˇzimo da je ispunjen i korak indukcije, odnosno uvjet (ii) aksioma P4. Ako

16
OSNOVE MATEMATIKE
je n
∈ M, odnosno ako formula vrijedi za n, tada je
(a + b)
n+1
=
n
k=0
n
k
a
k
b
n−k
(a + b)
=
n
k=0
n
k
a
k+1
b
n−k
+
n
k=0
n
k
a
k
b
n−k+1
=
n+1
k=1
n
k
− 1
a
k
b
n−(k−1)
+
n
k=0
n
k
a
k
b
n−k+1
=
n
n
a
n+1
b
0
+
n
k=1
n
k
− 1
a
k
b
n−k+1
+
n
k=1
n
k
a
k
b
n−k+1
+
n
0
a
0
b
n+1
=
n
n
a
n+1
b
0
+
n
k=1
n
k
− 1
+
n
k
a
k
b
n−k+1
+
n
0
a
0
b
n+1
=
n + 1
n + 1
a
n+1
b
0
+
n
k=1
n + 1
k
a
k
b
n+1−k
+
n + 1
0
a
0
b
n+1
=
n+1
k=0
n + 1
k
a
k
b
n+1−k
.
U predzadnjoj jednakosti koristili smo Pascalov trokut (1.1). Dakle, n+1
∈ M
pa aksiom P4 povlaˇci M = N i teorem je dokazan.
Korolar 1.1 Za svaki n
∈ N vrijedi
(a
− b)
n
= (a + (
−1)b)
n
=
n
k=0
n
k
(
−1)
n−k
a
k
b
n−k
i
2
n
=
n
k=0
n
k
,
odnosno zbroj elemenata u n-tom retku Pascalovog trokuta (1.1) jednak je 2
n
.
1.5
Cijeli brojevi
U ovom poglavlju ukratko ´cemo dati osnovnu motivacija za uvodenje skupa
cijelih brojeva Z te navesti osnovna svojstva tog skupa.

1.6 Racionalni brojevi
17
Prema definiciji 1.14 za m, n
∈ N vrijedi
m < n
⇔ (∃p ∈ N) m + p = n.
Kako je broj p jedinstven, moˇzemo pisati p = n
− m. Ako je pak n < m,
tada n
− m /
∈ N. Stoga skup prirodnih brojeva N proˇsirujemo s njegovom
negativnom kopijom i dodajemo element 0 za koji vrijedi
0
· m = 0 i 0 + m = m, ∀m ∈ Z.
Uredaj na skupu Z uvodimo sliˇcno kao u definiciji 1.14. Skup (Z,
≤) je
diskretan kao i skup N, a razlikuju se u tome ˇsto Z nema najmanji element.
Skup Z je ekivipotentan s N, odnosno oba skupa imaju jednako mnogo
elemenata, jer je funkcija f : N
→ Z definirana s
f (n) =
n
2
,
za n paran
−
n−1
2
,
za n neparan
bijekcija.
Raˇcunske operacije +,
− i · na skupu Z definiramo na poznati naˇcin te za
njih vrijede svojstva sliˇcno kao u Teoremu 1.3.
1.6
Racionalni brojevi
U ovom poglavlju definirat ´cemo skup racionalnih brojeva Q te dati os-
novna svojstva tog skupa.
Na skupu
Z
× N = {(m, n) : m ∈ Z, n ∈ N}
definiramo relaciju
∼ s
(m
1
, n
1
)
∼ (m
2
, n
2
)
⇔ m
1
· n
2
= m
2
· n
1
.
∼ je relacija ekvivalencije, na primjer (2, 3) ∼ (4, 6) ∼ (6, 9).
Skup racionalnih brojeva Q je skup svih klasa ekvivalencije na skupu Z
×N,
odnosno
Q
=
m
n
: m
∈ Z, n ∈ N
∼
.
Raˇcunske operacije +,
· i : te relaciju potpunog uredaja ≤ na skupu Q

18
OSNOVE MATEMATIKE
definiramo redom kako slijedi:
m
1
n
1
+
m
2
n
2
=
m
1
· n
2
+ n
1
· m
2
n
1
· n
2
,
m
1
n
1
·
m
2
n
2
=
m
1
· m
2
n
1
· n
2
,
m
1
n
1
:
m
2
n
2
=
m
1
n
1
m
2
n
2
=
m
1
· n
2
n
1
· m
2
,
za
m
2
= 0,
m
1
n
1
≤
m
2
n
2
⇔ m
1
· n
2
≤ n
1
· m
2
.
Ovdje se zaista radi o definicijama, jer smo ”nove” operacije i relaciju
uredaja na lijevim stranama definirali pomo´cu poznatih operacija i uredaja
na skupu Z na desnim stranama. Dakle, iste oznake za raˇcunske operacije i
relaciju uredaja imaju razliˇcita znaˇcenja na lijevim i desnim stranama. Raˇcunske
operacije i relacija uredaja na skupu Q su dobro definirane jer ne ovise o pred-
stavniku klase ekvivalencije, na primjer
1
3
+
1
4
=
2
6
+
9
12
. Za raˇcunske operacije
vrijede poznata svojstva sliˇcno kao u teoremu 1.3.
Za razliku od skupova N i Z koji su diskretni, skup Q je gust, odnosno
izmedu svaka dva razliˇcita racionalna broja nalazi se beskonaˇcno mnogo racional-
nih brojeva.
Teorem 1.7 Skup Q je gust.
Dokaz. Dovoljno je dokazati da se izmedu svaka dva razliˇcita racionalna broja
nalazi barem jedan racionalni broj. Neka je
q
1
=
m
1
n
1
,
q
2
=
m
2
n
2
i
q
1
< q
2
odnosno m
1
n
2
< n
1
m
2
.
Neka je
q =
q
1
+ q
2
2
=
m
1
n
2
+ n
1
m
2
2n
1
n
2
.
Tada je q
1
< q jer je 2m
1
n
1
n
2
< m
1
n
1
n
2
+ n
1
n
1
m
2
. Sliˇcno vrijedi q < q
2
i
teorem je dokazan.
Unatoˇc tome ˇsto je Q gust, a N prebrojiv, oba skupa imaju jednako mnogo
elemenata. Naime, skupovi N i N
× N su ekvipotentni jer je funkcija f : N →

1.7 Realni brojevi
19
N
× N definirana s
(1, 1)
f (1)
(1, 2)
f (3)
(1, 3)
f (6)
(1, 4)
f (10)
· · ·
(2, 1)
f (2)
(2, 2)
f (5)
(2, 3)
f (9)
· · ·
(3, 1)
f (4)
(3, 2)
f (8)
· · ·
(4, 1)
f (7)
· · ·
· · ·
bijekcija. Oznaka (1, 1)
f (1)
znaˇci f (1) = (1, 1). Kako je Z ekvipotentan s N, to
su i skupovi N i Z
× N ekvipotentni. Konaˇcno, iz N ⊂ Q ⊂ Z × N zakljuˇcujemo
da je skup Q takoder ekvipotentan s N.
1.7
Realni brojevi
U ovom poglavlju definirat ´cemo skup realnih bojeva, navesti njegova os-
novna svojstva, objasniti kako rade raˇcunala i definirati apsolutnu vrijednost
realnog broja.
Kada racionalne brojeve nanosimo na brojevni pravac, budu´ci je skup Q
gust, mogli bismo pomisliti da njegovi elementi prekrivaju ˇcitavi pravac. To,
medutim, nije istina. Nanesemo li na brojevni pravac dijagonalu kvadrata sa
stranicom duˇzine jedan, dobit ´cemo po Pitagorinom pouˇcku broj
√
2.
Teorem 1.8
√
2 /
∈ Q.
Dokaz. Prvo uoˇcimo da je kvadrat prirodnog broja n paran ako i samo ako
je n paran: ako je n = 2p paran, tada je n
2
= (2p)
2
= 4n
2
takoder paran, a
ako je n = 2p
− 1 neparan, tada je n
2
= (2p
− 1)
2
= 4(p
2
− p) + 1 neparan.
Teorem ´cemo dokazati koriste´ci tehniku kontradikcije ili protuslovlja. Naime,
ako je τ (A
⇒ B) =
i ako pokaˇzemo da je τ (B) =
⊥, tada prema tablici
istinitosti za implikaciju iz poglavlja 1.1 slijedi τ (A) =
⊥.
Ako je (A)
√
2
∈ Q, tada je (B)
√
2 =
m
n
, pri ˇcemu su m i n relativno prosti,
odnosno ne mogu se dalje skratiti. Medutim, tada je m
2
= 2n
2
pa je prema
prvom dijelu dokaza m paran, odnosno m = 2p. Iz (2p)
2
= 2n
2
slijedi 2p
2
= n
2
pa je n takoder paran. Dakle, m i n nisu relativno prosti pa je tvrdnja (B)
neistinita. No, tada i tvrdnja (A) mora biti neistinita i teorem je dokazan.
Definicija 1.17 Iracionalni brojevi su brojevi koji se nalaze na brojevnom
pravcu, a nisu elementi skupa Q.
Skup realnih brojeva R je unija skupa
racionalnih brojeva i skupa iracionalnih brojeva.
Raˇcunske operacije na skupu realnih brojeva definirane su na poznati naˇcin
te za njih vrijede svojstva sliˇcno kao u teoremu 1.3.
Sljede´ci teorem navodimo bez dokaza.

20
OSNOVE MATEMATIKE
Teorem 1.9 Vrijedi:
(i) skup R je gust, odnosno izmedu svaka dva razliˇcita realna broja postoji
beskonaˇcno realnih brojeva;
(ii) skup Q je gust u skupu R, odnosno izmedu svaka dva razliˇcita realna
broja postoji beskonaˇcno racionalnih brojeva;
(iii) skup R je gust u skupu Q, odnosno izmedu svaka dva razliˇcita racionalna
broja postoji beskonaˇcno realnih brojeva;
(iv) skup R je neprebrojiv;
(v) elementi skupa R prekrivaju ˇcitavi brojevni pravac.
Odnos izmedu do sada opisanih skupova brojeva je sljede´ci:
N
⊂
Z
diskretni
⊂
Q
⊂
R
gusti
,
N
⊂
Z
⊂ Q
prebrojivi
⊂
R
.
neprebrojiv
1.7.1
Aritmetika raˇ
cunala
Broj
√
2 ima beskonaˇcni neperiodiˇcni decimalni zapis pa ga ne moˇzemo za-
pisati ni kao decimalni broj, niti kao razlomak. Sliˇcno, broj
1
3
= 0.3333 . . . =
0. ˙3 ima beskonaˇcni periodiˇcni decimalni zapis pa ga ne moˇzemo zapisati kao
decimalni broj, ali ga moˇzemo zapisati kao razlomak. Zbog konaˇcne memorije,
raˇcunala za prikazivanje brojeva i raˇcunanje koriste jedan diskretni podskup
skupa Q, tako da osnovni matematiˇcki zakoni asocijacije i distribucije iz teo-
rema 1.3 ne vrijede.
Princip rada raˇcunala ilustrirat ´cemo na jednostavnom primjeru. Zamis-
limo raˇcunalo koje za pohranjivanje brojeva i raˇcunanje raspolaˇze s tri deci-
malna mjesta, s tim ˇsto se decimalna toˇcka moˇze pomicati,
.
.
.
.
U ovakvom raˇcunalu moˇzemo prikazati brojeve
999, 998, . . . , 102, 101, 100,
99.9, 99.8, . . . , 10.2, 10.1, 10.0,
9.99, 9.98, . . . , 3.14, . . . , 1.41, . . . , 1.00,
.999, .998, .997, . . . , .101, .100,
.099, .098, . . . , .012, .011, .010,
.009, .008, . . . , .002, .001.

1.7 Realni brojevi
21
Skup brojeva koje moˇzemo prikazati je oˇcito diskretan jer, na primjer, ne
moˇzemo prikazati niti jedan broj izmedu 998 i 999 kao niti izmedu .001 i .002.
No, za razliku od skupova N i Z gdje su razmaci izmedu elemenata konstantni,
ovdje se duljina razmaka mijenja. U ovakvom raˇcunalu asocijativnost ne vri-
jedi, jer je
((200 + 0.4) + 0.4) + 0.4 = (200 + 0.4) + 0.4 = 200 + 0.4 = 200,
dok je
200 + (0.4 + (0.4 + 0.4)) = 200 + (0.4 + 0.8) = 200 + 1.2 = 201.
U odnosu na toˇcan rezultat 201.2, pogreˇska u prvom sluˇcaju iznosi 0.6%, dok
u drugom sluˇcaju iznosi 0.1%. Rezultat je toˇcniji ako se prvo zbrajaju brojevi
koji su bliˇze nuli, ˇsto je op´cenito pravilo koje vrijedi za svako raˇcunalo. Ovakvo
raˇcunalo moˇze, naravno, dati i toˇcan rezultat (0.5+0.5)+200 = 1+200 = 201.
Princip rada svih raˇcunala je isti, s time ˇsto stvarna raˇcunala uglavnom
raspolaˇzu s 16 decimalnih mjesta. Na taj se naˇcin osigurava mala pogreˇska s
kojom se mogu kvalitetno vrˇsiti ˇzeljeni proraˇcuni.
1.7.2
Apsolutna vrijednost
U ovom poglavlju definirat ´cemu apsolutnu vrijednost realnog broja i dokazati
neka njena svojstva.
Definicija 1.18 Apsolutna vrijednost realnog broja je funkcija
| | : R →
[0, +
∞) definirana s
|x| =
x,
za x
≥ 0,
−x, za x < 0.
Na primjer,
|0| = 0,
|5| = | − 5| = 5, |x| = | − x|,
|x − y| = |y − x|.
Na slici 1.1 prikazan je graf funkcije
|x|. Graf funkcije y = f(x) definiramo kao
skup svih toˇcaka xy-ravnine za koje je y = f (x). Preciznije definicije funkcije
i grafa dane su u poglavlju 4.
Teorem 1.10 Za apsolutnu vrijednost vrijedi:
(i)
|x| < r
⇔
−r < x < r
⇔
x
∈ (−r, r);
(ii) nejednakost trokuta,
|x + y| ≤ |x| + |y|, odnosno op´cenitije
n
i=1
x
i
≤
n
i=1
|x
i
|;

22
OSNOVE MATEMATIKE
1
2
-2
-1
1
2
Slika 1.1: Apsolutna vrijednost
|x|
(iii)
|x − y| ≥ |x| − |y|;
(iv)
|x · y| = |x| · |y|, odnosno op´cenitije
n
i=1
x
i
=
n
i=1
|x
i
|;
(v)
x
y
=
|x|
|y|
za y = 0.
Dokaz.
(i) Za x
≥ 0 nejednakost |x| < r povlaˇci x < r, a za x < 0 nejednakost
|x| < r povlaˇci −x < r, odnosno −r < x.
(ii) Za svaki x
∈ R vrijedi x ≤ |x|. Ako je x + y ≥ 0, tada je |x + y| = x + y ≤
|x| + |y|, a ako je x + y < 0, tada je
|x + y| = −(x + y) = −x − y ≤ | − x| + | − y| = |x| + |y|
pa je prva tvrdnja dokazana. Op´cenitiju tvrdnju dokazujemo indukcijom
(vidi primjer 1.3 i dokaz teorema 1.6). Tvrdnja oˇcito vrijedi za n = 1 i
n = 2. Za n
≥ 2 imamo
n+1
i=1
x
i
=
n
i=1
x
i
+ x
n+1
≤
n
i=1
x
i
+
|x
n+1
|
≤
n
i=1
|x
i
| + |x
n+1
| =
n+1
i=1
|x
i
|,

1.8 Kompleksni brojevi
23
pa nejednakost trokuta vrijedi za svaki n
∈ N.
Zadatak 1.4 Dokaˇzite tvrdnje (iii), (iv) i (v) teorema 1.10.
1.8
Kompleksni brojevi
U ovom poglavlju definirat ´cemo skup kompleksnih brojeva C, osnovne
raˇcunske operacije s kompleksnim brojevima i njihova svojstva, trigonometri-
jski oblik kompleksnog broja i operacije s brojevima u trigonometrijskom ob-
liku te eksponencijalni oblik kompleksnog broja. Pretpostavljamo da ˇcitatelj
poznaje osnovna svojstva trigonometrijskih i arkus funkcija iz poglavlja 4.6.5
i 4.6.6.
Motivacija za uvodenje kompleksnih brojeva je sljede´ca: jednadˇzba x
2
−1 =
0 ima dva rjeˇsenja u skupu R, x = 1 i x =
−1, dok sliˇcna jednadˇzba x
2
+ 1 = 0
nema niti jedno rjeˇsenje. Stoga se imaginarna jedinica i definira tako ˇsto su
x = i i x =
−i rjeˇsenja jednadˇzbe x
2
+ 1 = 0. Iz ove definicije slijedi
i
2
=
−1, i
3
=
−i,
i
4
=
−i · i = −(−1) = 1, i
5
= i,
i
6
=
−1, . . . .
Definicija 1.19 Skup kompleksnih brojeva C je skup svih brojeva oblika z =
x + iy, gdje su x, y
∈ R. Posebno je 0 = 0 + i0. Realni broj x = Re z je realni
dio kompleksnog broja z, a realni broj y = Im z je imaginarni dio kompleksnog
broja z. Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni
dijelovi. Konjugirano kompleksni broj broja z = x + iy je broj ¯
z = x
− iy.
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z je nenegativni realni broj
r =
|z| =
x
2
+ y
2
.
Neka su z
1
= x
1
+ iy
1
i z
2
= x
2
+ iy
2
dva kompleksna broja. Raˇcunske
operacije su definirane na sljede´ci naˇcin:
z
1
+ z
2
= x
1
+ x
2
+ i(y
1
+ y
2
),
z
1
− z
2
= x
1
− x
2
+ i(y
1
− y
2
),
z
1
· z
2
= (x
1
+ iy
1
)(x
2
+ iy
2
) = x
1
x
2
+ iy
1
x
2
+ ix
1
y
2
+ i
2
y
1
y
2
= x
1
x
2
− y
1
y
2
+ i(x
1
y
2
+ x
2
y
1
),
z
1
z
2
=
x
1
+ iy
1
x
2
+ iy
2
·
x
2
− iy
2
x
2
− iy
2
=
x
1
x
2
+ y
1
y
2
x
2
2
+ y
2
2
+ i
y
1
x
2
− x
1
y
2
x
2
2
+ y
2
2
,
za
z
2
= 0.

24
OSNOVE MATEMATIKE
Zadatak 1.5 Dokaˇzite da za z, z
1
, z
2
∈ C vrijedi:
a) z
1
+ z
2
= ¯
z
1
+ ¯
z
2
,
b) z
1
· z
2
= ¯
z
1
· ¯z
2
,
c)
z
1
z
2
=
¯
z
1
¯
z
2
, za z
2
= 0,
d) ¯¯
z = z,
e) z = ¯
z
⇔ z ∈ R,
f) z + ¯
z = 2 Re z,
g) z
− ¯z = 2i Im z,
h) ¯
z
· z = z · ¯z = |z|
2
,
i)
|z| = 0 ⇔ z = 0,
j)
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
| (nejednakost trokuta).
Kompleksnom broju z = x + iy jednoznaˇcno je pridruˇzen uredeni par
(x, y)
∈ R × R, odnosno toˇcka T = (x, y) u ravnini, kao ˇsto se vidi na slici 1.2.
z=x+iy, T=(x,y)
|x|=r
ϕ
x
0
y
Slika 1.2: Kompleksni broj
Iz slike 1.2 se vidi zaˇsto su formule za zbrajanje kompleksnih brojeva sliˇcne
formulama za zbrajanje vektora, odnosno zaˇsto se posebno zbrajaju realni, a
posebno imaginarni dijelovi.

1.8 Kompleksni brojevi
25
1.8.1
Trigonometrijski oblik
Kao ˇsto se vidi na slici 1.2, kompleksni broj z = x + iy je jednoznaˇcno
odreden s modulom r i s kutom ϕ izmedu radij-vektora
−→
OT i pozitivnog smjera
x-osi. Kut ϕ je argument broja z , odnosno ϕ = arg z.
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja glasi
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = r cos ϕ + ir sin ϕ.
Veze izmedu dva oblika su sljede´ce: ako su zadani r i ϕ, tada je
x = Re z = r cos ϕ,
y = Im z = r sin ϕ,
a ako su zadani x i y, tada je
r =
|z| =
x
2
+ y
2
,
ϕ = arctg
y
x
,
pri ˇcemu kvadrant u kojem se nalazi ϕ treba odrediti sa slike odnosno iz pred-
znaka od x i y.
Primjer 1.4 a) Skup
{z ∈ C : |z − i + 1| ≤ 2}
je krug radijusa dva sa srediˇstem u toˇcki z
0
= i
− 1 (vidi sliku 1.3). Zaista,
iz definicije 1.19 slijedi
|z − i + 1| ≤ 2 ⇔
(x + 1)
2
+ (y
− 1)
2
≤ 2 ⇔ (x + 1)
2
+ (y
− 1)
2
≤ 4.
Op´cenito, skup
{z ∈ C : |z − z
0
| ≤ r}
je krug radijusa r oko toˇcke z
0
.
b) Skup
{z ∈ C : 0 < arg z <
π
3
∧ Im z ≥ 1}
nacrtan je na slici 1.4. Pri tome se toˇcke na iscrtkanom pravcu nalaze izvan
skupa, kao i toˇcka u kojoj se dva pravca sijeku.
c) Skup
{z ∈ C : |z − 1| + |z + 2| = 5}
je elipsa sa ˇzariˇstima u toˇckama z
1
= 1 i z
2
=
−2 (vidi sliku 1.5).
Op´cenito, skup
{z ∈ C : |z − z
1
| + |z − z
2
| = r, z
1
= z
2
, r > 0
}
je skup svih toˇcaka ˇciji je zbroj udaljenosti do dvije fiksne toˇcke konstantan.
Mogu´ca su tri sluˇcaja: ako je
|z
1
− z