Лекция №4. Определение и свойства первообразной функции и неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций

Следовательно, по определению, имеем

В этом случае будем говорить, что несобственный интеграл
существует или сходится.
Если I (R) при R не имеет конечного предела, то говорят, что не существует или расходится.
Геометрически, в случае f(x)  0, несобственный интеграл выражает площадь области , ограниченной кривой y=f(x), осью абсцисс и ординатами х=а , х=в, то естественно считать , что несобственный интеграл выражает площадь неограниченной области (бесконечной), заключенной между линиями y=f(x) ,х=а и осью абсцисс

Аналогично, определяются несобственные интеграллы и для других бесконечных интервалов:

Последнее равенство следует понимать так: если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, существует, то существует (сходится ) по определению, интеграл стоящий слева
Пример1.
Пример2. Установить при каких значениях сходится и при каких расходится.
Решение: по определению для интеграла имеем
1.=1
Следовательно, при =1 несобственный интеграл расходится .
2.
Следовательно, мы получили что не собственный интеграл сходится при >1 и расходится при 1
Замечание. Для не собственных интегралов I рода при определенных условиях действуют формулы замены переменных и интегрирования по частям.
Во многих случаях бывает достаточно установить сходится ли данный интеграл или расходится, и оценить его значения.
Сформулируем теоремы, которые будут полезны в этом исследовании.
Теорема1. Если для всех х(ха)выполняется неравенство 0f(x(x)
и если сходится, то также сходится, при этом
Теорема 2. Если для всех х (ха) выполняется неравенство
0f(x)(х) причем расходится, то расходится и интеграл