Логика булевых функций

1.7.Формализация рассуждений. Правильные рассуждения

Рассуждение – это построение нового высказывания D на основании уже имеющихся высказываний P₁, P₂, ... , P_n. Высказывания P₁, P₂, ... , P_n называются посылками, а высказывание D – заключением.

Определение 1.6. Рассуждение называется правильным, если из конъюнкции посылок следует заключение, т. е. формула P₁& P₂& ... & P_n  D тождественно-истинна.
Таким образом, если все посылки истинны (т. е. их конъюнкция равна И), то истинное заключение соответствует правильному рассуждению, а ложное заключение – неправильному. При ложности хотя бы одной из посылок независимо от истинностного значения заключения рассуждение будет правильным.
Схематически рассуждение изображается следующим образом:
P₁, P₂, ... , P_n
D
Пример 1.22.
Проверить правильность следующих рассуждений:
а) “Если книга сложная, то она неинтересная. Эта книга интересная. Значит, она несложная”.
Введем высказывания: А = “Книга сложная”; B = “Книга интересная”. Схема рассуждения имеет вид:
А  B, B
А
Докажем, что формула ((А  B) & B) А является тождественно-истинной. Приведем эту формулу к КНФ и воспользуемся теоремой 1.1:
((А  B)&B)  А ((А  B)& B) Ú A  (A & B) ÚBÚ A  (А ÚB Ú A)&(AÚ B Ú B)  И.
Значит, рассуждение правильное.
б) “Если будет хорошая погода, я пойду гулять. Если будет плохая погода, я буду читать книгу. Погода будет хорошая. Следовательно, я не буду читать книгу”.
Введем высказывания: А = “Будет хорошая погода”; B = “Я пойду гулять”. C = “Я буду читать книгу”. Схема рассуждения имеет вид:
А  B, A  С, A_.
С
Найдем КНФ формулы ((А  B) & (A  С) & A) C:
((А  B) & (A  С) & A) C ((А  B) & (A  С) & A) ÚC (А  B) Ú (A  С) ÚA) ÚC А & B Ú A & С ÚA ÚC А & B Ú A ÚC (А Ú A ÚC) & (B Ú A ÚC) B Ú A ÚC.
Полученная КНФ нашей формулы не содержит одновременно какой-либо переменной и ее отрицания. Следовательно, формула не является тождественно-истинной, а рассуждение не является правильным.