M u n d a r I j a

· cos(x − 60
0
) = b ⇐⇒ cos(x − 60
0
) = b
tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglama faqat b ∈
[−1; 1] larda yechimga ega. Javob: −1 ≤ b ≤ 1
(B).
34.
(98-9-25) Tenglama k ning qanday qiymatlarida
yechimga ega?
sin(60
0
+ x) − sin(60
0
− x) = k
A) k ∈ (−1; 1)
B) k ∈ [−1; 1]
C) k ≤ 1
D) k ≤ −1
35.
(02-7-18) Tenglamani yeching.
sin 5x + sin 3x + sin x = 0
A)
πn
3
;
±
π
3
+ πn,
n ∈ Z
B)
nπ
3
;
π
2
+
πn
2
,
n ∈ Z
C)
π
2
+
πn
2
,
n ∈ Z
D)
πn
3
,
n ∈ Z
Yechish: Sinuslar yig’indisi sin 5x + sin x ni ko’-
paytmaga almashtirib, berilgan tenglamaga teng
kuchli bo’lgan 2 sin 3x · cos 2x + sin 3x = 0 yoki
sin 3x(2·cos 2x+1) = 0 tenglamaga ega bo’lamiz.
Bu tenglamaning yechimlari
sin 3x = 0 va
cos 2x = −
1
2
tenglama yechimlari birlashmasidan iborat. Bu
tenglamalar eng sodda trigonometrik tenglamalar
bo’lib, ularning yechimlari 2 va 5-formulalar yor-
damida topiladi: x =
πn
3
, x = ±
π
3
+ πn, n ∈ Z.
Javob:
πn
3
;
±
π
3
+ πn,
n ∈ Z. (A).
36.
(00-10-57) Ushbu
sin 2x + sin 4x = 0
tenglama [0; 2π] oraliqda nechta ildizga ega?
A) 0
B) 7
C) 4
D) 9
37.
(02-1-61) Tenglamani yeching.
sin 6x + sin 2x = sin 4x
A)
πn
4
,
n ∈ Z
B)
π
3
+ 2πn,
n ∈ Z
C) −
π
3
+ πn, n ∈ Z
D)
πn
4
, ±
π
6
+ πn, n ∈ Z
38.
(03-6-63) Qanday eng kichik o’tkir burchak
sin(2x + 45
0
) = cos(30
0
− x)
tenglamani qanoatlantiradi?
A) 25
0
B) 5
0
C) 45
0
D) 15
0
39.
(98-1-59) Tenglama [0; π] kesmada nechta
ildizga ega?.
cos x · cos 4x − cos 5x = 0
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
Yechish: cos 5x = cos(x + 4x) ga qo’shish for-
mulasini (13.2.3-ning 3-ga qarang) qo’llab, keyin

161
o’xshash hadlarni ixchamlab berilgan tenglamaga
teng kuchli bo’lgan
sin x · sin 4x = 0
tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamadan sin x =
0 yoki sin 4x = 0 ni olamiz. sin x = 0 tenglama
[0; π] kesmada ikkita 0 va π ildizlarda ega, sin 4x =
0 tenglama esa [0; π] kesmada 5 ta 0,
π
4
,
2π
4
,
3π
4
va
4π
4
= π ildizlarda ega. 1-tenglamaning ildi-
zlari 0 va π lar, 2-tenglamaning yechimlari ichida
uchraganligi uchun ular bir marta sanaladi. De-
mak, berilgan tenglama [0; π] kesmada 5 ta ildizga
ega ekan.
Javob: 5 (D).
40.
(98-8-59) Tenglama [0; 2π] oraliqda nechta ildizga
ega?
cos x · cos 2x = cos 3x
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
41.
Tenglamaning I va II chorakdagi ildizlari yig’in-
disini toping?
sin(3x − 45
0
) = 0
A) 135
0
B) 150
0
C) 210
0
D) 225
0
42.
(02-1-19) Tenglamaning [0;
π
2
] kesmadagi ildizlari
yig’indisini toping?
cos 4x · cos 5x = cos 6x · cos 7x
A)
41π
22
B)
31π
22
C)
30π
11
D)
43π
22
43.
(02-10-60) Tenglamani yeching.
cos
Ã
3π + x
3
!
· cos
Ã
9π + 2x
6
!
=
1
4
A) (−1)
n+1
π
3
+ 2πn;
n ∈ Z
B) (−1)
n+1
π
6
+ πn;
n ∈ Z
C) (−1)
n
π
3
+ 2πn;
n ∈ Z
D) (−1)
n
π
6
+
3πn
2
;
n ∈ Z
4. Bir xil ismga keltiriladigan tenglamalar
44.
(97-1-46) Tenglamani yeching.
2 cos
2
(x − π) + 3 sin(π + x) = 0
A)
π
2
+ πn,
n ∈ Z
B) (−1)
n
π
6
+ πn,
n ∈ Z
C) ±
π
3
+ 2πn,
n ∈ Z
D) ±
π
6
+ 2πn,
n ∈ Z
Yechish: Keltirish formulalari
cos(x − π) = − cos x; sin(π + x) = − sin x
ni qo’llab, berilgan tenglamani
2 cos
2
x − 3 sin x = 0
shaklda yozib olamiz. Bu tenglamani xil ismga
keltirish uchun cos
2
x = 1 − sin
2
x ayniyatdan
foydalanamiz, natijada
2 sin
2
x + 3 sin x − 2 = 0
tenglamani olamiz. Agar sin x = y belgilash ol-
sak oxirga tenglama 2y
2
+ 3y − 2 = 0 kvadrat
tenglamaga keladi. Bu kvadrat tenglamaning ildi-
zlari y
1
= −2 va y
2
= 0, 5 lardir. sin x = y
1
= −2
tenglama ildizga ega emas, chunki | − 2| > 1.
sin x = y
2
= 0, 5 tenglamaning ildizlari
x = (−1)
n
π
6
+ πn,
n ∈ Z
ko’rinishga ega.
Javob: (B).
45.
(97-11-45) Tenglamani yeching.
2 sin
2
(π − x) + 5 sin(1, 5π + x) = 2
A) πn,
n ∈ Z
B)
π
2
+ πn,
n ∈ Z
C)
π
2
+ 2πn, n ∈ Z
D) (−1)
n
·
π
6
+ πn,
n ∈ Z
46.
(97-1-50) Tenglamaning (0
0
; 90
0
] oraliqdagi ildizini
toping.
2 sin
2
x −
√
3 sin 2x = 0
A) 30
0
B) 45
0
C) 60
0
D) 90
0
47.
(00-3-52) Tenglamaning [0; 2π] kesmadagi eng katta
va eng kichik ildizlari ayirmasini toping?
cos
2
x −
1
2
sin 2x = 0
A)
π
2
B)
3π
4
C) π
D)
5π
4
48.
(02-3-79) Tenglama [−2π; π] kesmada nechta il-
dizga ega?.
tgx +
1
tgx
= 2
A) 3
B) 5
C) 4
D) 6
49.
(00-5-41) Tenglamani yeching.
cos 2x − 5 sin x − 3 = 0
A) (−1)
n
π
6
+ πn,
n ∈ Z
B) (−1)
n+1
π
6
+ πn,
n ∈ Z
C) (−1)
n
π
6
+ 2πn,
n ∈ Z
D) (−1)
n+1
π
6
+ 2πn,
n ∈ Z
Yechish: cos 2x = 1 − 2 sin
2
x ayniyatdan foy-
dalanib, berilgan tenglamani
2 sin
2
x + 5 sin x + 2 = 0
shaklda yozib olamiz. Bu tenglamada sin x =
y belgilash olib, uni 2y
2
+ 5y + 2 = 0 kvadrat
tenglamaga keltiramiz. Bu kvadrat tenglamaning
ildizlari y
1
= −2 va y
2
= −0, 5 lardir. sin x =

162
y
1
= −2 tenglama ildizga ega emas, chunki | −
2| > 1. sin x = y
2
= −0, 5 tenglamaning ildizlari
x = (−1)
n+1
π
6
+ πn,
n ∈ Z
ko’rinishga ega.
Javob: (B).
50.
(02-11-43) Tenglamaning (−90
0
; 180
0
) intervalga
tegishli ildizlari yig’indisini toping.
3 sin
2
2x + 7 cos 2x − 3 = 0
A) 90
0
B) 105
0
C) 180
0
D) 135
0
51.
(02-11-44) Tenglamaning [−4π; 4π] kesmaga te-
gishli ildizlari nechta?
cos 2x + 5 cos x = 6
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
52.
(02-12-40) Tenglamaning [0; 2π] kesmadagi ildiz-
lari yig’indisini hisoblang.
cos 2x − 2 sin
2
x = 0
A) 3, 5π
B) 3
1
6
π
C) 4π
D) 4
1
6
π
53.
(03-4-25) Tenglama ildizlari yig’indisini toping.
1 − sin x − cos 2x = 0 (x ∈ [0; 2π])
A) 3, 5π
B) 4, 2π
C) 4π
D) 3, 8π
5.
Darajani pasaytirish usuli yordamida
yechiladigan tenglamalar
Darajani pasaytirish formulalari quyidagilardir:
•
sin
2
x =
1 − cos 2x
2
⇐⇒ 1−cos 2x = 2 sin
2
x.
•
cos
2
x =
1 + cos 2x
2
⇐⇒ 1+cos 2x = 2 cos
2
x.
54.
(98-2-26) Tenglamani yeching.
2 cos
2
x − 1 = −
1
2
A) (−1)
k
π
6
+
π
2
k;
k ∈ Z
B) (−1)
k+1
π
6
+ πk,
k ∈ Z
C) ±
π
6
+ πk,
k ∈ Z
D) ±
π
3
+ πk,
k ∈ Z
Yechish: Darajani pasaytirish formulasining 2-
dan foydalanib, berilgan tenglamani cos 2x = −0, 5
shaklda yozib olamiz. Bu tenglama eng sodda
trigonometrik tenglama bo’lib, uning ildizlari
x = ±
π
3
+ πn,
n ∈ Z
ko’rinishga ega.
Javob: (D).
55.
(98-6-50) Tenglamani yeching.
4 cos
2
2x − 1 = cos 4x
A)
π
4
+
πn
2
,
n ∈ Z
B)
πn
2
,
n ∈ Z
C)
π
6
+
πn
2
,
n ∈ Z
D)
π
3
+
πn
2
,
n ∈ Z
56.
(96-9-50) Ushbu
4 sin
x
2
− cos x + 1 = 0
tenglamaning [0; 2π] kesmada nechta ildizi bor?
A) 0
B) 2
C) 3
D) 1
57.
(96-12-97) Ushbu
sin
x
2
+ cos x − 1 = 0
tenglama [0; 2π] oraliqda nechta yechimga ega?
A) 3
B) 4
C) 0
D) 2
58.
(96-13-43) Tenglamaning [0; 2π] kesmada nechta
ildizi bor?
4 cos
x
2
+ cos x + 1 = 0
A) 1
B) 2
C) 0
D) 3
59.
(98-11-99) Tenglamani yeching.
2 cos
2
x
2
= 1 + cos x + cos 2x
A)
π
4
+
πk
2
,
k ∈ Z
B)
π
4
+ πk,
k ∈ Z
C)
πk
2
,
k ∈ Z
D) πk,
k ∈ Z
60.
(01-1-48) Tenglamani yeching.
4 sin
2
x(1 + cos 2x) = 1 − cos 2x
A) πn, n ∈ Z
B) πn; ±
π
3
+ πn, n ∈ Z
C) ±
π
3
+ πn, n ∈ Z
D) πn; ±
π
3
+ 2πn, n ∈ Z
Yechish: Darajani pasaytirish formulasining 1-
dan foydalanib, berilgan tenglamani
2(1 − cos 2x)(1 + cos 2x) = 1 − cos 2x
shaklda yozib olamiz. Bu ifodada 1−cos 2x umu-
miy ko’paytuvchini qavs oldiga chiqarib
(1 − cos 2x)(1 + 2 cos 2x) = 0
tenglamani olamiz. Bu yerdan cos 2x = 1 yoki
cos 2x = −0, 5 tenglamaga kelamiz. Bular eng
sodda trigonometrik tenglamalar bo’lib, ularning
ildizlari
x = πn, n ∈ Z;
x = ±
π
3
+ πn, n ∈ Z
ko’rinishga ega.
Javob: (B).

163
61.
(99-10-34) Tenglamani yeching.
(1 + cos x)tg
x
2
= 0
A) πk,
k ∈ Z
B) π + 2πk,
k ∈ Z
C) 2πk,
k ∈ Z
D) π + πk,
k ∈ Z
62.
(01-2-81) Ushbu
7 cos 2x − 6 = cos 4x
tenglamaning [0; 628] kesmaga tegishli ildizlari
yig’indisini toping.
A) 200π
B) 199π
C) 20100π
D) 19900π
63.
(02-6-44) Tenglama [0; 2π] kesmada nechta ildizga
ega?
3 sin 2x − 2 cos 2x = 2
A) 5
B) 1
C) 2
D) 4
64.
(03-10-41) Tenglamani yeching.
sin
2
x + sin
2
4x = sin
2
2x + sin
2
3x
A)
πn
2
,
n ∈ Z
B)
π
5
+
2πn
5
,
n ∈ Z
C)
π
10
+
2πn
5
,
n ∈ Z
D)
π
10
+
πn
5
;
πn
2
,
n ∈ Z
6. Quyidagi tenglamalarni yechishda
uning aniqlanish sohasiga e’tibor bering
65.
(98-1-56) Tenglamani yeching.
sin 2x
tgx − 1
= 0
A)
πk
2
,
k ∈ Z
B)
π
2
+ πk, k ∈ Z
C) 2πk,
k ∈ Z
D) πk, k ∈ Z
Yechish: Berilgan tenglama
tgx − 1 6= 0,
cos x 6= 0
shartda aniqlangan. Kasr nolga aylanishi uchun
uning surati, ya’ni sin 2x = 0 bo’lishi kerak. Bu
tenglamani sin 2α = 2 sin α cos α ekanidan foy-
dalanib 2 sin x cos x = 0 ko’rinishda yozamiz. Bu
yerdan cos x 6= 0 ni e’tiborga olib, sin x = 0
tenglamani, bundan esa x = πk, k ∈ Z ekanini
hosil qilamiz. Bu nuqtalarda tgx − 1 6= 0 shart
ham bajariladi. Javob: πk,
k ∈ Z (D).
66.
(97-7-59) Tenglama [0; 4π] oraliqda nechta ildizga
ega?
sin
2
x + sin x
cos x
= 0
A) 5
B) 4
C) 7
D) 2
67.
(97-12-65) Tenglama [−2π; 2π] oraliqda nechta
yechimga ega?
cos
2
x − cos x
sin x
= 0
A) 6
B) 4
C) 3
D) 2
68.
(98-9-26) Tenglamani yeching.
1
cos
2
x
= 2tg
2
x
A) ±
π
4
+ 2πk, k ∈ Z
B) ±
π
4
+ πk, k ∈ Z
C) ±
π
3
+ πk, k ∈ Z
D) ±
π
3
+ 2πk, k ∈ Z
69.
(99-1-44) ctg(x + 1) · tg(2x − 3) = 1 tenglamaning
[π; 2π] oraliqdagi yechimini toping.
A) 4
B) 2
C) 3
D) 5
70.
(00-4-47) Tenglamaning [π; 3π] kesmadagi ildi-
zlari yig’indisini toping.
√
1 − cos x = sin x
A) 2π
B) 5π
C) 6π
D) 4, 5π
71.
(98-10-105) Tenglamaning [0; 2π] kesmada nechta
ildizi bor?
1 + cos x
sin x
= cos
x
2
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
72.
(01-2-32) Tenglamani yeching.
cos 3x
sin 3x − 2 sin x
= tgx
A)
π
4
+ πn, n ∈ Z
B)
π
4
+ 2πn, n ∈ Z
C)
π
4
+
π
2
n, n ∈ Z
D)
π
3
+
π
2
n, n ∈ Z
73.
(01-6-30) Tenglamaning [0; 4π] kesmadagi ildiz-
lari yig’indisini toping.
tg
2
x −
2
cos x
+ 1 = 0
A) 7π
B) 7
2
3
π
C) 8π
D) 7
1
3
π
Yechish: Berilgan tenglama cos x 6= 0 shartda
aniqlangan. 1 + tg
2
x =
1
cos
2
x
ayniyatdan foy-
dalanib berilgan tenglamani
1
cos
2
x
−
2
cos x
= 0 ⇐⇒
1 − 2 cos x
cos x
= 0
ko’rinishda yozamiz. Bu yerdan cos x = 0, 5 ni,
bundan esa x = ±
π
3
+ 2πk, k ∈ Z ekanini hosil
qilamiz. Bu yechimlardan 4 tasi
π
3
; 2π ±
π
3
; 4π −
π
3
lar [0; 4π] kesmada yotadi. Ularning yig’indisi
8π. Javob: 8π (C).

164
74.
(01-10-37) Tenglamaning [−
π
2
;
π
2
] kesmada nechta
ildizi bor?
cos 4x +
10tgx
1 + tg
2
x
= 3
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
75.
(01-11-21) Tenglamani yeching.
tgx tg3x = −1
A)
π
2
k, k ∈ Z
B) πk, k ∈ Z
C)
π
4
+
π
2
k, k ∈ Z
D)
π
4
+ πk, k ∈ Z
76.
(98-3-58) Tenglamaning [0; 4π] kesmada nechta
ildizi bor?
cos 2x
√
2
2
+ sin x
= 0
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
77.
(03-7-39) Tenglamani yeching.
q
cos 2x +
√
3 sin x = −2 cos x
A)
2π
3
+ 2kπ, k ∈ Z
B)
π
3
+ 2kπ, k ∈ Z
C) (−1)
k
π
3
+ πk, k ∈ Z
D) (−1)
k
2π
3
+ 2πk, k ∈ Z
7. Turli tenglamalar
78.
(98-5-50) Tenglamani yeching.
4
cos
2
x+2 cos x
= 1
A) πn;
π
2
+ 2πn, n ∈ Z
B)
π
2
+ πn, n ∈ Z
C) πn; −
π
2
+ 2πn, n ∈ Z
D) 2πn, n ∈ Z
Yechish: Berilgan tenglamani 4
cos
2
x+2 cos x
= 4
0
shaklda yozamiz. Bu tenglama
cos
2
x + 2 cos x = 0 ⇐⇒ (cos x + 2) cos x = 0
tenglamaga teng kuchli. cos x + 2 6= 0 bo’lganligi
uchun cos x = 0 bo’lib, uning yechimlari x =
π
2
+ πn, n ∈ Z. Javob:
π
2
+ πn, n ∈ Z (B).
79.
(99-7-48) Tenglamani yeching.
5 · 5
sin
2
x+cos 2x
=
1
25
A) ∅
B) πn,
n ∈ Z
C)
π
2
+ 2πn, n ∈ Z
D) 2πn,
n ∈ Z
80.
(97-3-58) Tenglamani yeching.
2
1−log
2
sin x
= 4
A)
π
6
+ 2πn; n ∈ Z
B) (−1)
n
π
6
+ πn, n ∈ Z
C) (−1)
n
π
3
+ πn, n ∈ Z
D)
π
4
+ 2πn, n ∈ Z
81.
(97-7-58) Tenglamani yeching.
3
1+log
3
ctgx
=
√
3
A)
π
6
+ πn; n ∈ Z
B)
π
3
+ πn, n ∈ Z
C)
π
3
+ 2πn, n ∈ Z
D)
π
4
+ πn, n ∈ Z
82.
(99-2-37) a ning qanday qiymatlarida
log
a
sin x = 1 tenglama yechimga ega?
A) a ∈ [−1; 1]
B) a ∈ (−1; 1)
C) a ∈ (0; 1]
D) a ∈ (0; 1)
83.
(02-9-36) Tenglamani yeching.
9
cos x
+ 2 · 3
cos x
= 15
A) πn,
n ∈ Z
B) 2πn,
n ∈ Z
C)
π
3
+ 2πn, n ∈ Z
D)
π
2
+ πn, n ∈ Z
84.
(03-5-41) Tenglamani yeching.
8
sin
2
x
− 2
cos
2
x
= 0
A) ±
π
6
+ πn, n ∈ Z
B)
π
6
+ πn, n ∈ Z
C) −
π
6
+ πn, n ∈ Z
D)
π
4
+ πn, n ∈ Z
85.
(03-12-61) a parametrning qanday qiymatlarida
sin
6
x + cos
6
x = a
tenglama yechimga ega?
A) [0; 1]
B) [0, 5; 1]
C) [0, 25; 0, 5]
D) [0, 25; 1]
13.5
Trigonometrik tengsizliklar
sin x ≥ a, cos x ≥ a, tgx ≥ a, ctgx ≥ a tengsizliklar
sodda trigonometrik tengsizliklar deyiladi. Bu yerda
tengsizlik > yoki ≤ yoki < belgilaridan ixtiyoriy biri
bo’lishi mumkin. Biz asosan ayniy almashtirishlar yor-
damida sodda trigonometrik tengsizliklarga yoki shu
tipdagi tengsizliklar sistemasiga keladigan tengsizlik-
larni yechish usullarini beramiz. Sodda trigonometrik
tengsizliklarning yechimlarini keltiramiz.
1.
sin