Matematik tahlil

^′( ) =

sign x ₌

 ₂^√_−x^{, agar x < 0 bo'lsa,}

^{f x −} 2^√|x| _ <sup>1

</sup>_ 1


− ₂^√_x, agar x > 0 bo'lsa.
Demak, (4.8.5) shart o'rinli ekan va shuning uchun, qaralayotgan funksiya x = 0
nuqtada lokal maksimumga egadir.
Navbatdagi yetarlilik shartini tekshirish oson bo'lsada, u o'rganilayotgan funksiyaga ko'proq shart qo'yadi. Chunonchi, statsionar nuqtada bu funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo'lishi talab qilinadi.

2. 
   - Teorema (ekstremumning ikkinchi yetarli sharti). Faraz qilaylik,
   

c nuqta f funksiyaning statsionar nuqtasi bo'lib, f funksiya shu nuqtada ikkinchi tartibli hosilaga ega bo'lsin.
Agar f ^′′(c) > 0 bo'lsa, c nuqta f funksiyaning lokal minimum nuqtasi bo'ladi va
f ^′′(c) < 0 bo'lganda esa, c nuqta lokal maksimum nuqtasi bo'ladi.
Isbot. Aniqlik uchun, f ^′′(c) > 0 deb faraz qilamiz. 4.3.1 - Tasdiqqa asosan, bu tengsizlik f ^′(x) birinchi hosilaning c nuqtada o'sishini anglatadi. Bundan chiqdi, f ^′(c) = 0 bo'lgani sababli, (4.8.2) shart o'rinlidir. Demak, c nuqta f funksiyaning lokal minimum nuqtasi ekan.
Teorema f ^′′(c) < 0 bo'lgan holda ham xuddi shunda o'xshab isbotlanadi. Q.E.D.

Eslatma. Agarda f ^′′(c) = 0 bo'lsa, 4.8.2 - Teorema c statsionar nuqtaning lokal ekstremum nuqtasi bo'lishi haqida biror tayinli javob bera olmaydi. Bu holda yanada yuqoriroq tartibli hosilalarni o'rganishga to'g'ri keladi.

2. 
   
   ∈
   
   −
   - Teorema. Faraz qilaylik, k N uchun f funksiya c nuqtaning biror atrofida 2k 1 - tartibli hosilaga ega bo'lib, c nuqtaning o'zida esa, 2k - tartibli hosilaga ega bo'lsin.
   

Bundan tashqari,
f ^′(c) = f ^′′(c) = · · · = f ^(2k−1)(c) = 0 (4.8.6) tengliklar bajarilsin. U holda, agar f ^(2k)(c) > 0 bo'lsa, c nuqta f funksiyaning lokal minimum nuqtasi bo'ladi va f ^(2k)(c) < 0 bo'lganda esa, c nuqta f funksiyaning
lokal maksimum nuqtasi bo'ladi.
Isbot. Teylor formulasini qo'llasak, c va x nuqtalar orasida shunday ξ nuqta topiladiki, u uchun

f (x) = f (c) + f ^′(c)(x − c) +
^f ′′^(c) (x − c)² +