Mavzu: darajali qatorlar funksional qatorlar

7-TEOREMA: Yaqinlashish oralig‘i ( – R , R) bo‘lgan darajali qatorni hadlab differensiallash mumkin va bunda hosil bo‘ladigan darajali qatorning yaqinlashish sohasi yana ( – R , R) oraliqdan iborat bo‘ladi, ya’ni
(17)
. (18)
Masalan, (13) darajali qatorni hadlab differensiallab va hosil bo‘lgan tenglikni (–1) soniga ko‘paytirib, ushbu darajali qatorga kelamiz:
.
(18) darajali qatorga yana 7-teoremani qo‘llash mumkin va bu jarayonni istalgan marta takrorlash mumkin. Bundan esa ushbu teorema o‘rinli ekanligi kelib chiqadi:
8-TEOREMA: Agar (17) darajali qator ( – R , R) oraliqda yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning yig‘indisini ifodalovchi S(x) funksiya bu oraliqda ixtiyoriy marta differensiallanuvchi bo‘ladi. Bunda S^(m)(x) , m=1,2,3, ∙∙∙ , hosilalar (17) darajali qatorni ketma-ket m marta hadlab differensiallash orqali topiladi. Bunda hosil bo‘ladigan barcha darajali qatorlarning yaqinlashish sohasi ( – R , R) oraliqdan iborat bo‘ladi .
Ko‘rib o‘tilgan
(6)
darajali qator bilan birga
(19)
ham darajali qator deb ataladi. Bunda c=0 bo‘lsa, (6) darajali qator hosil bo‘ladi. (13) qator x–c=X belgilash orqali (6) ko‘rinishdagi darajali qatorga keltiriladi. Bu holda ham R yaqinlashish radiusi (11) yoki (12) formula orqali topilib, (13) darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i x=c nuqtaga nisbatan simmetrik bo‘lgan (c – R, c+R) oraliqdan iborat bo‘ladi. Masalan,

darajali qatorning yaqinlashish radiusini (11) Dalamber alomati yordamida topamiz:

.

Bu yerda ko‘rinishdagi I ajoyib limitdan (VII bob,§3 ga qarang) foydalanildi. Demak, berilgan darajali qatorda c=4 bo‘lgani uchun, uning yaqinlashish oralig‘i (c – R , c+R)=(3, 5) bo‘ladi.

Bundan tashqari (19) darajali qator uchun ham 5-8 teoremalar o‘rinli bo‘ladi.