YUQORI CHEGARASI O’ZGARUVCH BO’LGAN ANIQ INTEGRAL. f(x) funksiya [a;b] da uzluksiz bo’lsin. U holda bu funksiya har qanday [a;x] [a;b] da integrallanuvchi bo’ladi va integral x ning [a;b]dagi har bir qiymatiga aniq bir sonni mos qo’yadi. bo’ladi: Geometrik nuqtayi nazardan f(t) ≥0 bo’lganda Ф(x) funksiya 1- rasm dagi egri chiziqli trapetsiyaning bo’yalgan qismining yuzini bildiradi. 1-rasm 1111!!x Endi f(x) funksiyaga ko’ra Ф(x) funksiyaning xossalarini ( uzluksizligi, differensiallanuvchi bo’ lishini) o’rganamiz. Teorema: Agar f(x) funksiya [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo’lsa , Ф(x) funksiya shu oraliqda uzluksiz bo’ladi. Isbot. f(x) funksiya integrallanuvchi bo’lgani uchun sup|f(x)|=M<∞ bo’ladi. Ixtiyoriy x [a,b] nuqta olib , unga shunday x>0 orttirma beraylik, x+ x [a,b] bo’lsin. U holda Ф(x) funksiyaning orttirmasi uchun quy- dagiga ega bo’lamiz: Aniq integralni 7-xossasidan foydalanib topamiz: Demak, Bundan esa,
limit kelib chiqadi. ∆x<0 bo’lganda ham huddi yuqoridagiga o’xshash bo’lishi ko’rsatiladi. Bu esa Ф(x) funksiyaning xє[a,b] nuqta da uzluksizligini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi. Teorema: Agar f(x) funksiya [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo’lib, (a,b) nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda Ф(x) funksiya nuqtada differen siallanuvchi bo’ladi va ni olib quyidagi ayirmani qaraymiz. Aniq integralni xossalarida foydalanib topamiz: Bu munosabatdan, tengsizlik kelib chiqadi . Shartga ko’ra f(x) funksiya nuqtada uzluksiz . Ta’rifga asosan ixti- yoriy ɛ>0 olinganda ham shunday δ >0 son topiladiki , bo’lganda bo’ladi. Agar deb olsak, u holda ixti- yoriy uchun bo’ladi. Natijada (1) tengsizlik quydagi
Do'stlaringiz bilan baham: |
