Nazariy fizika kursi
Download 132.13 Kb. Pdf ko'rish
|
|
7.9.1-m isol. Garmonik ossiliatorni olib qaraylik: H = R_ + ma}2 я2 (7.277) 2 m 2 Gamilton funksiyasi vaqtga oshkora bogliq emas. Demak, Gamilton—Yakobi tenglamasining to'liq integralini S = -Et + W(q,a) ko'rinishda qidirish kerak. W uchun 1 2m dW dq mco i „ H-------- q“ = E (7 .2 7 8 ) tenglama olamiz. Uni integrallash qiyin emas: 231 T a’sir S bitta o'zgarmas E ga bog'liq, tabiiyki, uni a = E deb olinadi. Ya’ni, yangi kanonik «impuls» energiyaga teng bo‘lib chiqdi. To'liq integral aniqlandi. Endi Yakobi teoremasi bo'yicha /3 = dS/ВЕ dan koordinatani topish kerak: / 1 = - И — arcsin q CO V 2 E ’ (7.280) v yoki V mco' (7.281) Tmpulsga kelsak (7.282) ifoda olinadi. Chiziqli ossillator uchun harakat tenglamalari integrallandi. 7 .1 0 . 0 ‘zgaruvchilarni ajratish 7 .1 0 .1 . Umumiy g ‘oyalar Q uyidagi m a s a la d a n boshlaylik. (qv /?,) o 'z g a ru v c h ila r G a m i l t o n funksiyasiga faqat / (q{, p {) ko m b in atsiy a orqali kirsin: H = H { j \ q u p\),q2, p2,...,qs, p s). f ( q p p 2) ning h a r a k a t integra li ekanligini isbot qilaylik. H a r a k a t integralini tekshirish u c h u n P u as so n qavsini to p am iz: c h u n k i / faqat qx va />, larga bog'liq. Ik k in ch i t o m o n d a n , Bularni P uasson qavsiga olib borib qo'ysak { # , / } = 0 (7.285) ekanligi, y a ’ni f — h arakat integrali ekanligi topiladi. K o ‘rib c h iq ilg a n m asala G a m i l t o n —Y akobi te n g la m a si u c h u n o ‘zgaruvchilarni ajratish m e to d in in g asosi b o i i b xizm at qiladi. Y u q o rid a top g an natijani G a m i l t o n —Yakobi tenglam asiga q o i - laylik. (qv p {) o ‘zgaruvchilar G a m il t o n funksiyasiga faqat / (p t) kom binatsiya orqali kirgan b o ‘lsin. B u h oida quyidagi tenglam alarga ega b o i a m i z : dS Щ ! л / dS dS dS dS „ a,-, — + H 1 Э/ И],т , ,..., . 42 ’ 4^'- ■ ■ *4s ’t ас /2 oq3 oqs = 0 . (7.286) H o z ir k o ‘rsatilgani b o ‘yicha a, = const. Agar shu sistemadagi ikkinchi ten glam ada q{ o'z garuvchini o ‘zgartirilsa te n g lam ad a hech narsa o 'z g a r- masligi kerak. B uning u c h u n esa t a ’sir S = S'(q2 ■ c/т , ,...,qx. ?,Of| ) + 5, ( k o ‘rinishga ega b o i i s h i kerak. Aks h o id a (7.286) sistem aning ikkinchi tenglam asiga {dS/dq^i = 2,3,...,.?! hosilalar orqali ga b o g i a n i s h kirib qolishi m u m k in . D e m a k , q x k o o rd in a ta u c h u n t o i i q hosilali '(■'''SH (7-288) te n g lam ag a keldik. T o i i q hosilali te n g la m a n i esa odd iv y o i bilan integrallash m u m k in . S h u bilan G a m i l t o n —Yakobi ten glam asidagi o ‘zgaruvchiiar sonini bittaga kam aytirgan b o i a m i z . Bu h o id a q t o ‘zga- m v c h i ajratiidi deyiladi. F araz qilaylik, shu y o i bilan b o sh q a o ‘zga- m vchilarni h a m ajratib oldik. Agar sistem a konservativ b o i s a t a ’sir л ^ S I. ( 9 l . , a „ a 2 , . . . , a J ( 7 . 2 8 9 ) ko 'rin ish g a keltirilgan b o i a d i . Bu h o id a m asala t o‘liq integrallandi deyiladi. T o i i q in te g ra lia n is h afsuski j u d a k a m u c h r a y d i g a n hoi. U n i n g yetarlilik s h a r tin i q u yidagi Liuvil teoremasi 1 d e y ilad ig an ta s d iq ifo- dalaydi: Fazoviy hajmning saqlanishi haqidagi Linvill teoremasi bilan adashtirmang. 233 Teorema. Agar Lagranj funksiyasi s s s L = \ f (ft)ft 2 - j ( 9 i ). / = (?/). (7.290) 1=1 /=1 /=1 k o 'rin ish g a ega b o ‘lsa G a m i l t o n —Y akobi tenglam asi kvadraturalarga keltiriladi. Isbot. G a m i l t o n funksiyasini to p is h u c h u n quyidagi u m u m la s h g a n im pulslarni p = f a \ q ) q r (7.291) (7.6) t a ’rifga olib borib q o ‘yam iz. N a tija d a quyidagi ifoda hosil b o ‘ladi: H- f V • у (7.292) Bu y e r d a n G a m i l t o n —Yakobi teng lam asin i darh o l olinadi: 1 ; = 1 1 1 X j 2 a , (9,) dqt \ “ J + Ui (qi )~ E F :{ql ) 0 . (7.293) Y echishni S 0 = 5, (ry, ) + S2 (q2 ) + ■ ■ ■ + S, (cjs) = (q ,) (7.294) r -1 k o 'r in i s h d a qidirish tabiiydir. B u h o ld a (7.293) te n g la m a x 1 r dSi f 2 aMi) > d9i , + Ui ( q ,)-E F i (ql ) 0 (7.295) k o 'r in i s h g a keiadi. Y igLindidagi h a r b ir h a d fa qat m o s keluvchi q. g ag in a b o g 'l i q , b u d ega ni, m a n a sh u h a r b ir h a d n i q a n d a y d ir bir o 'z g a r m a s s onga tenglashtirib q o 'y ish kerak: 1 2 aMi) (7.295) b o 'y i c h a " dS, \ 11 J + Ui (qi ) - E F j (qi ) = a i, i = i > = o . 234 (7.296) (7.297) (7.296) dan 5. larni kvadratura ko 'rin ish id a topib olishi qiyin emas: Si (4,) = Jd<7, % j2a,(qi){ai + EF,■ ((7.298) G a m i l t o n —Y a k o b i te n g la m a s i n i n g t o ‘liq integrali to p ild i, u .v ta o 'z g a rm a s songa bog'liq bo'lib chiqdi: E, ai, a2,...,ax_l. (7.299) a s esa (7.297) tenglam adan aniqlanadi: a s = - a , - . . . - a s_y T eo rem a isbot qilindi. Siklik o'zgaruvchilarga kelaylik. Ularga m os keluvchi um um lashgan im pulslar harak at integrallari ekanligini bilam iz. S h u n d a y b o 'l i s h i kerakligi o'z garuvchilarni ajratish m etodi bilan h a m ohangdir. K o o r dinata siklik b o 'lg an d a u G a m ilto n funksiyasida qatnashmaydi. N atijada (7.288) tenglam a dS, — ( 7. 300) ko 'rinishga kelib qoladi. D e m a k , t a ’sir siklik k o o rd in a ta n in g oddiy chiziqli funksiyasi b o 'la r ekan: 5, = щдг (7.301) O 'z g a rm a s son a, esa shu k o o rdinata ga m os keluvchi im pulsning o'zi: P\ = «. K o n s e r v a tiv s is te m a la r u c h u n ta s irn in g v a q tg a b o g 'li q q ism i S'(t ) = — Et k o 'rin ish g a ega bo'lishini bu h olda vaqtning G a m ilto n funksiyasiga osh k o ra kirmasligi, y a ’ni «siklik koordinata» bo 'lish in in g natijasi deb qarash m um kin. Bu nuqtayi n a z ard a n E >Tjqoridagi o 'z g a r m as a lam in g biridir, m asalan, E = a0. O'zgaruvchilarni ajratib olish uchun koordinat sistemasini masalaning m ohiyatiga m os keladigan qilib tanlab olish j u d a m u h im d ir. Q uyida sh u n g a bir n ec h a misollar k o 'ram iz . 7.10.2. Qutb koordinat sistemasi Tekislik ustida m arkaziy m a y d o n t a ’sirida h arakat qilayotgan jism ni qaraylik. U ning G a m i l to n funksiyasi: B irin c h id a n , G a m i l t o n funksiyasi vaqtga o sh k o ra b o g i i q b o ‘lm ag an i u c h u n S = -E t + W{r,q>\ ( 7 . 3 0 3 ) b u n d a b irin ch i o ‘zgarm as son a 0 = const = £ pay d o b o i d i . Ik k in - ch id a n , ® siklik k o o r d in a ta b o i g a n i u c h u n W(r,(p) = W](r) + a (p ( 7 . 3 0 4 ) K o ‘rinib turibdiki, cx,p - dS/dcp = p^ (yuqoridagi m u h o k a m a b o 'v i c h a ay = const = Ptp ). S hularni hisobga olib S = - E t + P ( 7 . 3 0 5 ) deb yozib olinadi. G a m i l t o n —Y akobi tenglam asi quyidagi k o ‘rinishga keldi: сЩ v ~ 1 7 Pi Wy u c h u n tenglam a: cE l = ] 2 m ( E ~ U ( r ) ) Pv 2 ' U n in g yechim i: Wy{r) = J d ^ 2 / « ( £ - - C / ( 0 ) - ^ T a ’sir u c h u n quyidagini topdik: J' S = - E t + p J ё г ^ 2 т ( Е - с / ( г ) ) - ^ - ( 7 . 3 0 6 ) ( 7 . 3 0 7 ) ( 7 . 3 0 8 ) ( 7 . 3 0 9 ) T o ‘liq integral topildi. U ikkita m ustaqil o ‘zgarm as sonlarga b o g i i q b o i i b chiqdi: a0—£ va a x- p . Y u q o rid a keltirilgan Yakobi t e o re m a si b o ‘y ic h a trayektoriya va im pulslarni to p ish m u m k in : as a e ■ = - t + m J' dr 2 ,n ( E - U ( r ) ) - V ( 7 . 3 1 0 ) 236 ,, as С Pydr A = T - = < P ~ \ — f = = ^ = = T - ^ J r ^ 2 n , ( E - V ( r ) ) - £ <7-311> Bu te n glam alarning birinchisi r va t orasidagi b o g 'la n is h n i beradi, ikkinchisi esa r va (p orasidagi b o g ‘lanishni beradi. Agar potensial U(r) berilgan b o 'lsa, bu fo rm u la la r trayektoriyani t o 'l i q a n iq la b bergan bo'ladi. O 'z g a rm a s sonlarga kelinsa Д, b o sh la n g 'ic h vaqt m o m e n tin i, esa b o sh la n g 'ic h b u rc h a k m o m e n t in i ifodalaydi. Kepler masalasi 3.3- paragrafda K epler masalasi yechilgan edi. K e p le r masalasi sferik sim m etrik U {>■) = - - (7.312) Г m aydondagi jism ning harakatini to p ishdan iborat edi ( 3.3 -paragrafdagi a ni Я ga a l m a s h t i r d i k , b u p a r a g r a f d a a h a r fi b o s h q a m a ’n o d a qo 'llan g an ). Lagranj funksiyasi (3.20) ifoda orqali berilgan edi. U n g a potensial qo'yilsa 7 K o 'r i n i b tu ribdiki, (7.302) G a m i l t o n funksiy asin in g o 'z i olindi. 3 .3-para grafga t o 'l i q m os kelishi u c h u n p = M deyish yetarlidir. D e m ak , (7.310) va (7.311) f o r m u la la r m a rk a z iy m a y d o n d a g i m o d d iy n u q t a n i n g tra y e k to riy a si m a sa la sin i y e c h a r ek a n . D a r h a q i q a t , bu fo rm u la la r b o s h q a m e t o d bilan a w a l to p ilg a n 3.27- va 3 .2 8 -larn in g o 'z id ir. 7.10.3. Sferik koordinata sistemasi Sferik k o o rd in a ta sistemasida G a m il t o n funksiyasi quyidagi k o 'r i nishga ega bo'ladi: H = — 2m 2 2 Рв P r + ^ T + - r r sin 2 . 2 q + U(r,e,(p). (7.314) 237 Agar potensial rw a \ t \ b(6) c(cp ) (j(r,d,(p) = a(r) + - \ ± + г- г2 Ъ (7J15) I I siri У ko'rinishga ega bo'lsa, G a m i l t o n —Yakobi tenglam asida o ‘zgaruvchilarni ajratish im koniya tiga ega b o 'la m iz . Bu yerdagi oxirgi h a d fizik n u q tay i n a z a r d a n a h a m iy a tg a ega em a s , b u n d a y hadli p o te n s ia lla r fizika da u c h r a m a y d i. S h u sa b a b d a n u tashlab yuboriladi. G a m i l t o n funksiyasi v aq tg a o s h k o ra b o g 11 iq em as, d e m a k , S = —Et + S q . Q is q a rtirilg a n t a ’sir u c h u n G a m i l t o n —Y akobi te n g la m a si q u yidagi k o 'rin is h g a keltirilishi m u m k in : E ■ (7.316) 1 2 + a(r) 1 —~ ’ - 4 j s + 1 4* л 2 m v dr , r~ 2m 1 30 2 m r ' s m 2e , d(P , K o 'r i n ib turibdiki, — siklik k o o rd in a ta , dem ak , 3S 0 P C° nSt saqlanuvchi kattalik (h a ra k a t integrali) ekan. Y a ’ni, S = —Et + p (/*, 0). i S h u n i hisobga olib y u q oridagi te n g la m a n i 1 2m 1 3*5] *> 1 0 9 1 Ый\ \ n- - r2 E - l . ^3S, 4 2 - a ir ) [ n , ( ) 4 • 2 QP‘P r 2 wjsiiV 0 2 m ч dr J (7.317) (7.318) k o 'r in i s h g a keltirib o la m iz . C h a p t o m o n faqat в ga b o g 'liq , o 'n g t o m o n esa faqat r ga bog'liq. Y a ’ni, G a m i l t o n —Y akobi ten g lam asi faqat va {/-,3^/Эг} ga b o g ‘liq k o m b inatsiya larga keltirildi. U m u m i y nazariya b o 'y i c h a 5 ,(r,0 ) = S j(r) + 5j(0 ) (7.319) k o 'r in is h id a izlanishi kerak. N a tija d a t e n g la m a k o 'r i n i s h g a ega b o 'l a d i . Ix tiy o riy r v а в u c h u n b u te n g lik bajarilish i u c h u n ikkala t o m o n h a m q a n d a y d i r o 'z g a r m a s s o n g a t e n g b o 'l i s h i k erak . U a d e b b e lg ila n sa , q u y id ag i ik k ita t e n g l a m a g a k e lin a d i: dS3{9) 2 m V dQ + b{Q ) + --------— p~ - a, — 2 «isin 0 2m dS2(r) dr a + a(r) + — = E. (7.321) Bu te nglam alarni integrallash qiyin emas: >jdr hm f a 4 E - a ( r ) — - , S3 = j d e J 2 m ( a - b ( 6 ) ) - (7.322) SltT^ S h u bilan, G a m i l t o n —Yakobi te nglam asining t o ‘liq integralim topdik: ■J S = - E t + p (p+ dr 2m i E - a ( r ) - ~ 1+ I d 0 j 2 m ( a - b ( 6 ) ) — ^ sm 20 (7.323) 7 .1 1 . T a’sir-burchak o ‘zgaruvchiIari к дф к F in it h arak at qilayotgan sistem ani olib ko'ravlik. M a sa la q u y id a g ic h a qo'yiladi: k a n o n i k a lm a sh tiris h y o r d a m id a s h unday yangi kanonik o'zgaruvchilar {Ik, фк) ni kiritaylikki, G a m ilto n funksiya Ф ga bog'liq b o 'lm asin . Bu h o ld a k a n o n ik te n g la m a la r Э H(l) ~ э Г ~ (7.324) ' к к k o 'rin is h g a ega b o 'ladi. B irinchi te n g l a m a d a n l k = co n st ekanligini topiladi. Я o 'z g a rm a s /^ largagina bog 'liq ek a n o 'z i h a m o 'z g a rm a s b o ' l a d i . B u d e g a n i , const = фк =(о к1 + фа к . H a r a k a t teng lam alari integrallandi, Фк — o 'z in in g m a ’nosi b o 'y ic h a b u rc h a k ekan. S oddalashtirish u c h u n bir o 'lc h a m li h o ld a n boshlaylik. Y uqoridagi m a q s a d n i n a z a rd a tutib {р,д}-*{1,ф} k a n o n ik a lm ashtirishning hosil qilish funksiyasi F2(I,q ) ni topish kerak: Р = * М ^ ' Ф = Ъ Ш , Н dq d I dF2 ( I ,q) dq -,q = £ ( / ) . (7.325) Hosil qiluvchi funksiya v aqtga b o g i i q b o ‘lm agani u c h u n yangi va eski G a m i l t o n funksiyalari b i r -b irig a teng. U n i ene rgiyaga te n g lashtirib qo'ydik. Hosil qiluvchi funksiyani topaylik. / o ' z g a r m a s b o 'lg a n i d a (7.325) ning birin ch isid an | / = c o n s i ~ (7.326) ekanligiga kelinadi. I = 1(E) = c o n s t sirtning ustid a q o lishim iz kerak b o ‘lgani u c h u n u m u m a n (7.327) ад deb olish kerak. Integral 1= 1(E)—const sirtning ustidagi q 0 va q n u q ta la r orasida yo tg an m a ’lu m b ir haqiqiy trayektoriya b o 'y i c h a olinadi. F in it h a ra k a t h a q id a g a p irilm o q d a , b u r c h a k o‘zgaruvchi y o p iq trayektoriya b o ‘yich a h a ra k a t qilib qaytib kelganda (7.328) b o ‘lishi kerak. Ik k in ch i t o m o n d a n A/s (7.329) ! { F ) = c o n s t integral 1(E) = c o n s t sirt ustidagi y o p iq egri chiziq bilan ch e g a ra la n g a n sirt yuzasini beradi. B u integralni ikki m a ’n o d a tu s h u n ish m u m k i n - 7 .3 -ra s m d a k o 'rsa tilg a n id e k q0 d a n q g a b o r i s h n i y o k i a y l a n m a s d a n b e v o s i t a q0->q b o r i s h , y o k i y o p i q k o n - t u r i m i z n i n m a r t a a y l a n i b b o r i s h d e b tu s h u n is h m u m k in . K o n t u r b o ‘y ic h a h ar bir a y l a n g a n d a Д F2 ga s h u y o p iq k o n t u r bilan ch e g ara la n g an sirt yuzasi qiym atini bir m a r ta q o ‘shgan b o ‘linadi. D e m a k , F2 funksiya bir qiym atli a n iq la n g a n funksiya e m a s eka n, u nga m a n a sh u sirt yuzasining ixtiyoriy b u t u n songa k o ‘pay tirilg an qiy- 7.3-rasm, qa nuqtadan q nuqtaga bevosita borish yoki konturni n m arta aylanib borish inum kin. 240 m atini q o ‘shib qoyish m um k in ekan. Bu noaniqlik dFJdq ga ta 's i r qilm asa h am ф =dF2/ d I ga t a ’sir qiladi. (7.328) shart F2 funksiyani aniqlashga xizm at qiladi. Shu shart bajarilishi u c h u n bo'lishi kerak. Integral yopiq k o n t u r b o ‘yicha bir marta aylanishga m os keladi, y a ’ni integrali yopiq kon tu rn in g sirtiga teng. Hosil b o 'ig a n k a ttalik [ — t a ’sir o ‘zgaruvchisi deyiladi, u n g a k a n o n i k q o ‘s h m a b o ‘lgan ф — burchak o ‘zgaruvchisi dey ilad i. / ning t a ’rifidan ko'rinib turibdiki unin g o 'lcham ligi t a ’sirning va h arakat m iq d o ri m o m e n t in in g o ‘lcham ligiga ten g , ф n ing esa o ‘lcham ligi y o ‘q. 7.11.1-misol. G arm onik ossillator uchun t a ’sir burchak o'zgaruvchilarini toping. Huddi shu natijaga (7.331) integralni bevosita hisoblash orqali ham kelish mumkin. Buning uchun awal H = E shartdan impuls topiladi: — AF2 = 2 л dl 2 bo'lishi kerak. Bu tenglik bajarilishi u c h u n o ‘z navbatida (7.330) (7.331) H = —— + —— 2m 2 p~ mar q' uchun H = E «sirt» katta va kichik yarimo'qlari bo'igan ellipsni beradi, uning yuzasi nab = 27Г — CO (7.332) ga teng. Demak, co (7.333) (7.334) D em ak, 1 6 - N a z a r i y m e x a n i k a 241 Bu integralda x = yfemE sin almashtirish bajarib, uni bo'y icha 0 dan 2n gacha integrallansa yana o ‘sha (7.333) natijaga kelinadi. Burchak o'zgaruvchisini topish uchun harakat tenglamasidan foydalanamiz: ■ д н ( dl T 1 * ‘ з Г 1 ж ] ( 7 H 6 ) D em ak, burchak o'zgaruvchi tebranish fazasining o ‘zi ekan: Ф = col + 0O. (7.337) S hu bilan h a ra k a t te n g la m a la rin i in te g ra lla m a s d a n tu rib jism h arak ati aniqlandi — bu harakat co chastotali tebranish ekan. A m p l i t u d a n i n g m a k s im a l q iy m a ti E = mco2q l/2 s h a r t d a n to p ila d i: , 2E 4n ~ w-----г- Biz yana o 'sh a eski natijaga keldik: 1 mor , 2 E 1 /+tf>0 ). (7.338) V m co 7.11.2-misol. Rotatorni eslaylik: Bu y e rd a inersiya m o m e n t i A harfi bilan belgilandi ( / harfi b a n d bo'lgani u ch u n ). K o ‘rish osonki Э H . _ дН Рц, — 3 ^ - 0 . (7.340) yoki, Pv P(p - c o n s t , (p = - f t + (p0. (7.341) A D e m a k , r o ta to r p /А chastotali a y la n m a harakat qilar ek an , uning umumlashgan impulsi /; (harakat miqdori m om enti) saqlanuvchan kattalik ekan, K o ‘p o ‘lcliamli holga o'taylik. Sistema h a m m a k oordinatlar b o 'y ich a finil h arak at qilayotgan bo'isin. F a ra z qilayiik, h a m m a k o o rd in a ta la r b o 'y ic h a o 'z a g ru v c h ila rn i ajratish m u m k in bo'isin. M a ’lum ki, bu h olda qisqartirilgan ta 's i r u ch u n |
