O‘zbekiston milliy universiteti m. ShAripov d. Fayzixo‘jayeva mantiq tarixi va nazariyasi falsafa yo‘nalishi talabalari uchun Darslik Toshkent

Aksiomatik tizimlarda nazariya elementlarining katta qismi kichkina boshlang‘ich asosdan – asosiy aksiomalardan deduktiv yo‘l bilan keltirib chiqariladi. Aksiomatik nazariyalar, asosan, matematikada quriladi.

Aksiomatik metodning mohiyati quyidagilarda o‘z ifodasini topadi:

1. Fan taraqqiyotining empirik darajasidagi asosiy mazmuni aksiomalashtirishning bazasi deb belgilanadi.

2. Aksiomatik metod tufayli fanning asosiy terminlari sistemasi shakllanadi (Evklid geometriyasida – bu nuqta, to‘g‘ri chiziq, tekislik, burchak va boshqalar).

3. Asosiy tushunchalar terminlarida postulatlar (aksiomalar) tushuntirilib, ular mazkur tushunchalar o‘rtasida ishonchli, isbot talab qilmaydigan munosabatlarni o‘rnatadi. Evklidda bu “Ikki nuqta orqali faqat bitta to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin”, “Butun qismidan katta” qabilidagi besh mashhur aksiomadir.

4. Boshlang‘ich postulatlarni to‘g‘ri o‘zgartirishga imkon beradigan qoidalar sistemasi yaratiladi.

5. Postulatlarni o‘zgartirish cheklangan sonli aksiomalardan ko‘plab isbotlanuvchi teoremalarni keltirib chiqarishga imkon beradigan qoidalar bo‘yicha amalga oshiriladi.

Aksiomatik metod birinchi marta Evklid tomonidan elementar geometriya’ni qurishda muvaffaqiyatli ishlatilgan. Mazkur geometriya’ning asosiy aksiomatik tushunchalari yuqorida aytib o‘tilgan “nuqta”, “to‘g‘ri chiziq”, “tekislik”, “burchak” va boshqalar bo‘lib, ular ideal fazoviy obyektlar sifatida olib qaralgan; geometriya’ning o‘zi esa fizikaviy fazoning xususiyatlarini o‘rganuvchi ta’limot sifatida talqin qilingan. Evklid geometriyasining qolgan barcha tushunchalari ular yordamida hosil qilingan.

Quyidagi misolga murojaat qilaylik: “Tekislikdagi bitta nuqtadan baravar uzoqlikda yotadigan nuqtalar to‘plamiga aylana deyiladi”, unda “aylana” tushunchasi “nuqta va tekislik” tushunchalari yordamida hosil qilingan, ya’ni ulardan deduksiya qilingan.

Matematikaning taraqqiyoti davomida aksiomatik metod takomillashib borgan, uni qo‘llash mumkin bo‘lgan sohalar doirasi kengaygan. Xususan, asta-sekin Evklid aksiomalarining faqat geometrik obyektlarnigina emas, balki boshqa matematik va hatto, fizik obyektlarni ham tasvirlash uchun yaroqli ekanligi ma’lum bo‘ldi. Masalan, nuqtani haqiqiy sonlarning uchtasining to‘plami – to‘g‘ri chiziq va tekislikni, chiziqli tenglamalarni bildiradi, deb qabul qilinganda, mazkur nogeometrik obyektlar xossalarining Evklid geometriyasi aksiomalari talablariga javob berishi aniqlangan.

Shuni aytish kerakki, aksiomatikaga bunday abstrakt tarzda yondashishga ma’lum bir darajada N.I.Lobachevskiy, B.Riman va boshqalar noevklid geometriyalarining yaratilishi yaxshi imkoniyat yaratdi.

Hozirgi zamon matematikasida abstrakt aksiomatik tizimlar keng qo‘llaniladi. Bunday tizimlarning muhim xususiyatlari ularning yopiq tizimdan iborat bo‘lishi, ya’ni miqdor jihatidan cheklangan aksiomalar, tushunchalar, prinsiplardan tashkil topishi, ular qatoriga ixtiyoriy ravishda, asossiz yangi aksiomalar, tushunchalarni qo‘shib bo‘lmaslik; tizimlarning mantiqan ziddiyatsiz va ma’lum bir darajada to‘la bo‘lishi va shu kabilardan iborat. Ana shuning uchun ham ular uzoq vaqt davomida o‘zining barqarorligini saqlaydi, yangi bilim olishning ishonchli vositasi bo‘lib qoladi.

Aksiomatika tabiatshunoslikda ham qo‘llaniladi. Tajriba bilan bog‘liq bo‘lganligi va shuning uchun ham zaruriy ravishda empirik talqinga muhtoj ekanligi sababli tabiatshunoslikning faqat o‘zagini tashkil etadigan tushunchalarnigina aksiomalashtirish mumkin.

Abstrakt matematik strukturalar faqat aksiomatik tizimlardagina emas, balki formallashgan nazariy tizimlarda ham tasvirlanishi va tushuntirilishi mumkin.