Производная функции, заданной неявно. Производная параметрически заданной функции

Параметрически заданные функции и полярная система координат

Помимо аффинной системы координат и её популярного частного случая – прямоугольной (декартовой) системы, существуют и другие подходы к построению координатной сетки плоскости и пространства. В частности, широкое распространение получила полярная система координат, которая невероятно удобна для решения целого спектра практических задач. И через считанные минуты, не успевши опомниться, вы уже будете уверенно ориентироваться в полярных координатах!

Чтобы определить полярную систему координат на плоскости, достаточно зафиксировать начало координат  и задать единичный координатный вектор  . Точка  называется полюсом, а луч  , сонаправленный с вектором  – полярной осью. Графический шаблон – проще некуда, одна точка, один вектор, одна линия:

На практике вместо вектора можно где-нибудь в углу указать масштаб, например: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки). По возможности, старайтесь выбирать именно такую, удобную во многих отношениях метрику.
А теперь сама мякотка:
Любая отличная от начала координат точка  плоскости однозначно определяется своим расстоянием  от полюса и ориентированным углом   между полярной осью и отрезком  :

Для самого полюса  , а угол  не определён. Не напоминает ли это вам кое-что из темы Комплексные числа? ;-)
Число  называют полярным радиусом точки  или первой полярной координатой. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому полярный радиус любой точки  . Первую полярную координату также обозначают греческой буквой  («ро»), но я привык к латинскому варианту, и в дальнейшем буду использовать его.
Число  называют полярным углом данной точки или второй полярной координатой. Полярный угол стандартно изменяется в пределах  (так называемые главные значения угла). Однако вполне допустимо использовать диапазон  , а в некоторых случаях и вовсе возникает прямая необходимость рассмотреть все значения угла от нуля до «плюс бесконечности». Рекомендую, кстати, привыкнуть к радианной мере угла, поскольку оперировать градусами в высшей математике считается не комильфо.
Пару  называют полярными координатами точки  . Из  легко найти и их конкретные значения. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – есть отношение противолежащего катета к прилежащему катету:  , следовательно, сам угол:  . По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:  , значит, полярный радиус: 
Таким образом,  .
Один пингвин хорошо, а стая – лучше  :

Отрицательно ориентированные углы  я на всякий случай отметил стрелками, вдруг кто-то из читателей ещё не знал об этой ориентации. При желании можно «прикрутить» к каждому из них 1 оборот ( рад. или 360 градусов) и получить, к слову, удобные табличные значения:

Но недостаток этих «традиционно» ориентированных углов состоит в том, что они слишком далеко (более чем, на 180 градусов) «закручены» против часовой стрелки. Предчувствую вопрос: «почему недостаток и зачем вообще нужны какие-то отрицательные углы?» В математике ценятся самые короткие и рациональные пути. Ну а уж с точки зрения физики направление вращения зачастую имеет принципиальное значение – каждый из нас пытался открыть дверь, дёргая ручку не в ту сторону =)

Порядок и техника построения точек в полярных координатах

Красивые картинки красивы, однако построение в полярной системе координат – занятие достаточно кропотливое. Трудностей не возникает с точками, у которых полярные углы составляют  , в нашем примере это точки ; особых хлопот также не доставляют значения, кратные 45 градусам:  . Но как правильно и грамотно построить, скажем, точку  ?
Потребуется клетчатый листок бумаги, карандаш и следующие чертёжные инструменты: линейка, циркуль, транспортир. В крайнем случае, можно обойтись одной линейкой, а то… и вовсе без неё! Читайте дальше и вы получите ещё одно доказательство, что эта страна непобедима =)
Пример 1
Построить точку  в полярной системе координат.
Строим!
Прежде всего, нужно выяснить градусную меру угла  . Если угол малознаком или вас есть сомнения, то всегда лучше воспользоваться таблицей либо общей формулой перевода радианов в градусы. Итак, наш угол составляет  (или  ).
Начертим полярную систему координат (см. начало урока) и возьмём в руки транспортир. Обладателям круглого инструмента не составит труда отметить 240 градусов, но с большой вероятностью у вас на руках будет полукруглая версия девайса. Проблема полного отсутствия транспортира при наличии принтера и ножниц решается рукоделием.
Есть два пути: перевернуть листок и отметить 120 градусов, либо «прикрутить» пол оборота и рассмотреть противоположный угол  . Выберем взрослый способ и сделаем отметку в 60 градусов:

То ли транспортир лилипутский, то ли клетка гигантская =) Впрочем, чтобы отмерить угол масштаб не важен.
Проводим карандашом тонкую прямую, проходящую через полюс и сделанную отметку:

С углом разобрались, на очереди полярный радиус. Берём циркуль и по линейке устанавливаем его раствор в 3 единицы, чаще всего, это, конечно же, сантиметры:

Теперь аккуратно устанавливаем иглу на полюс, и вращательным движением выполняем небольшую засечку (красный цвет). Искомая точка  построена:

Можно обойтись без циркуля, приложив линейку непосредственно к построенной прямой и отмерив 3 сантиметра. Но, как мы увидим позже, в задачах на построение в полярной системе координат типична ситуация, когда нужно отметить две или бОльшее количество точек с одним и тем же полярным радиусом, поэтому эффективнее закалять металл. В частности, на нашем чертеже, развернув ногу циркуля на 180 градусов, легко сделать вторую засечку и построить симметричную относительно полюса точку  . На ней давайте и отработаем материал следующего параграфа:

Взаимосвязь прямоугольной и полярной системы координат

Очевидным образом присоединим к полярной системе координат «школьную» систему  и изобразим на чертеже точку  :