Рассмотрение в курсе геометрии вопроса о взаимном расположении прямых на плоскости и в пространстве имеет очень большое значение

Если прямая параллельна плоскости, то точка (а, значит, и любая точка данной прямой) не удовлетворяет уравнению плоскости: .
Таким образом, условие параллельности прямой и плоскости записывается следующей системой:

3.2 Прямая пересекает плоскость

Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она пересекает плоскость.

Прямая пересекает плоскость тогда и только тогда, когда её направляющий вектор не ортогонален вектору нормали плоскости.
Из утверждения следует, что скалярное произведение вектора нормали и направляющего вектора будет отлично от нуля: .
В координатах условие запишется следующим образом:
Если же данные векторы ортогональны, то есть если их скалярное произведение равно нулю: , то прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней:
Важным частным случаем пересечения прямой и плоскости является их перпендикулярность.
Интуитивно вам совершенно ясно, что значит «прямая перпендикулярна плоскости», но определение нужно знать обязательно.
Предположим, в конкретной задаче нам хочется доказать, что прямая l перпендикулярна плоскости р. Как действовать? Не будем же мы перебирать все прямые, лежащие в плоскости р! К счастью, это и не нужно. Оказывается, достаточно предъявить две пересекающиеся прямые плоскости р, перпендикулярные прямой l.

3.3 Прямая лежит в плоскости

Прямая лежит в плоскости, если каждая точка прямой принадлежит этой плоскости. На рисунке 8 прямая l лежит в плоскости р. В таком случае говорят ещё, что плоскость р проходит через прямую l.

Рис. 8. l_{ }р
Если прямая лежит в плоскости, то точка _{ } (а, значит, и любая точка данной прямой) удовлетворяет уравнению плоскости: .
Аналитические условия данного случая запишутся похожей системой:

Практическая часть

Задача 1

Даны вершины треугольника A(-2;0), B(2;4), C(4;0). Составить:
1) параметрические и канонические уравнения трёх сторон;
2) в общем виде уравнение медианы АЕ и высоты АD.
Решение:



Рис. 9 к задаче.

1) Найдём направляющий вектор стороны АВ:

АВ ={2-(-2);4-0}={4;4}, для составления параметрических уравнений стороны АВ, используем координаты точки А и вектора АВ по формуле



_{ } или _{ }
- параметрические уравнения стороны АВ
Аналогично для сторон ВС и АС:
_{ }=_{ }=_{ }, _{ }=_{ }=_{ 
 } - параметрические уравнения стороны ВС.
_{ } - параметрические уравнения стороны АС.
Чтобы записать уравнения сторон в каноническом виде воспользуемся формулой: _{ }=_{ }, для стороны АВ подставим координаты направляющего вектора АВ и вместо _{ } координаты точки А, получим:
_{ }= _{ } или _{ } = _{ } - канонические уравнения стороны АВ.
Аналогично для сторон ВС и АС:
_{ } = _{ } - канонические уравнения стороны ВС.
_{ } = _{ } или _{ } = _{ } - канонические уравнения стороны АС.
2) Найдем координаты точки Е, как середину отрезка ВС
_{ }=_{ }=_{ }=3, _{ }=_{ }=_{ }=2 => E(3;2), по формуле
_{ }=_{ }, для точек А и Е получаем:
_{ }= _{ }; _{ }=5y; 2x-5y+4=0 - общее уравнение медианы АЕ.
Так как высота АD перпендикулярна стороне ВС воспользуемся признаком перпендикулярности двух прямых _{ }·_{ }=-1.
Перепишем канонические уравнения стороны ВС в общем виде, получим 2x+y-8=0, выразим отсюда y, получим уравнение стороны ВС с угловым коэффициентом _{ } в виде y=-2x+8, отсюда _{ }=-2, значит _{ }, по формуле _{ }), для координат точки А и _{ } получим:
y-0 =_{ }(x+1); 2y = x+2 или x-2y+2=0 уравнение высоты АD. Иначе: нормальный вектор прямой ВС n{2;1} является направляющим
вектором высоты АD, по формуле _{ }=_{ } для координат точки А и вектора n, получим:
_{ } = _{ }; x+2=2y; x-2y+2=0 уравнение высоты АD.
Ответ: 1) AB: _{ }, _{ } = _{ };
BC: _{ }, _{ } = _{ };
AC: _{   } = _{ };
2) AE: 2x-5y+4=0;
AD: x-2y+2=0.

Задача 2

Составить уравнения прямой, проходящей через точки _{ }.
Решение:
Найдём направляющий вектор прямой:
_{ }=_{ }
Уравнения прямой составим по точке _{ } и направляющему вектору _{ }(_{ }):
_{ } = _{ }; _{ })=0
Выполним проверку:
подставим координаты точки _{ } в полученные уравнения:
_{ } = _{ }; _{ }0
_{ }
Получены верные равенства. Подставим координаты точки _{ }:
_{ } = _{ }; _{ }0
_{ }
Получены верные равенства.
Вывод: канонические уравнения прямой составлены правильно.
Ответ: _{ } = _{ }

Задача 3

Составить канонические уравнения прямой по точке _{ } и направляющему вектору _{ }
Решение:
Канонические уравнения прямой составим по формуле:
_{ 
 
 }.

Ответ: _{ }.

Задача 4

Составить параметрические уравнения следующих прямых:
а) _{ } = _{ };
б) _{ }; _{ }
в) x=0; y-6=0.
Решение:
Прямые заданы каноническими уравнениями и на первом этапе следует найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой, и её направляющий вектор.
а) Из уравнений _{ } = _{ } снимаем точку и направляющий вектор: _{ }(-4;0;5), _{ }.
Составим параметрические уравнения данной прямой:



б) Рассмотрим канонические уравнения _{ }; _{ }. Выбор точки здесь несложен: _{ }
Запишем направляющий вектор _{ }, а на оставшееся место поставим ноль: _{ }(0;7;-3)..
Составим параметрические уравнения прямой:

в) Перепишем уравнения _{ } в виде _{ }

то есть «z» может быть любым. А если любым, то пусть, например, _{ }. Таким образом, точка _{ } принадлежит данной прямой. Для нахождения направляющего вектора используем следующий формальный приём: в исходных уравнениях _{ } находятся «x» и «y», и в направляющем векторе на данных местах записываем нули: _{ }. На оставшееся место ставим единицу: _{ }. Вместо единицы подойдёт любое число, кроме нуля.
Запишем параметрические уравнения прямой:



Ответ: а) _{ }; б) _{ }; в) _{ }

Задача 5

Выяснить взаимное расположение двух прямых


_{ }: _{ }= _{ }=_{ }, _{ }: _{ } = _{ } = _{ }.



1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы:


_{ }: _{ }= _{ }=_{ } => _{ }(-4;-5;6), _{ }(-2;4;6)
_{ }: _{ } = _{ } = _{ } => _{ }(0;1;-3), _{ }(1;-2;-3)

2) Найдём вектор: _{ }=(0-(-4);1-(-5);-3-6)=(4;6;-9)

3) Вычислим смешанное произведение векторов:

( _{ }·_{ } = -2·_{ }-_{ }+4·_{ }=

=-2·(18+18)-(-36-36)+4·(-12+12)=-72+72+0=0

Таким образом, векторы _{ } компланарны, а значит, прямые _{ } лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

4) Проверим направляющие векторы _{ }(-2;4;6), _{ }(1;-2;-3) на коллинеарность.
Составим систему из соответствующих координат данных векторов:

Из каждого уравнения следует, что л= -_{ }, следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.

Вывод: прямые _{ } параллельны либо совпадают.
5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку _{ }(-4;-5;6), принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой _{ }:
_{ } = _{ } = _{ },
-4≠3≠-3
Таким образом, общих точек у прямых нет, значит они параллельны.
Ответ: _{ }║_{ }.
Задача 6

Найти точку пересечения прямых

_{ }: _{ } = _{ } = _{ }, _{ }: _{ } = _{ } = _{ }.

Решение:
Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:

_{ }: _{ }, _{ }: _{ }

Точка пересечения прямых M(_{ } принадлежит прямой _{ }поэтому её координаты _{ } удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует