Симметрическая алгебра

Примеры симметрических многочленов
Часто используются несколько последовательностей многочленов
f_n (x₁ ,…,x_n) , таких что предыдущие получаются из следующих подстановкой нулей в лишние переменные: f_n(x₁,…,x_n-1,0)=f_n-1(x₁,…,x_n-1).
Поэтому такие многочлены обозначаются без указания числа переменных: f_n (x₁ ,…,x_n) или f_k (x₁ ,…,x_n) , где k — не индекс внутри последовательности, а способ нумерации таких последовательностей. Например, степенные суммы
p_k степени k — это многочлены
Связь симметрических многочленов с элементарными симметрическими многочленами
Симметрические многочлены и элементарные симметрические многочлены являются важными понятиями в алгебре. Элементарные симметрические многочлены - это многочлены, которые выражаются через корни полинома. Симметрические многочлены - это многочлены, которые не меняются при перестановке переменных.

Существует тесная связь между этими двумя типами многочленов. Для любого симметрического многочлена p(x1, x2, ..., xn) можно записать его в виде комбинации элементарных симметрических многочленов. Это называется основной теоремой симметрических многочленов.

Формально, если p(x1, x2, ..., xn) - симметрический многочлен степени k, то он может быть записан как:

p(x1, x2, ..., xn) = a1 * e1(x1, x2, ..., xn) + a2 * e2(x1, x2, ..., xn) + ... + ak * ek(x1, x2, ..., xn),

где ai - это константы, а ei(x1, x2, ..., xn) - элементарные симметрические многочлены степени i.

Эта теорема позволяет нам лучше понимать свойства симметрических многочленов и использовать их для решения задач в алгебре и комбинаторике.

Таким образом, связь между симметрическими многочленами и элементарными симметрическими многочленами является фундаментальной в алгебре и имеет множество приложений в различных областях математики.