Tekisliklarning o`zaro vaziyatlari

Proeksiyalarni qayta tuzish usullari

Proeksiya tekisliklariga nisbatan umumiy vaziyatda joylashgan geometrik shakllarning haqiqiy o‘lchamlarini aniqlashda ancha qiyinchiliklarga duch kelinadi. Buning uchun proeksiyalarni qayta tuzish usullarnini qo‘llab geometrik shakllarni xususiy vaziyatga keltiradi.
Bunday usullar quyidagilarga bo‘linadi:

1. 
   Proeksiya tekisliklarini almashtirish usuli,
   
2. 
   Aylantirish usuli,
   
3. 
   Tekis parallel harakat usuli
   
4. 
   Qo‘shimcha proeksiyalash usuli
   

Proeksiya tekisliklarini almashtirish usulida geometrik shakl proeksiya tekisliklariga nisbatan o‘z vaziyatini o‘zgartirmaydi. Lekin geometrik shaklga nisbatan xususiy vaziyatni ishg‘ol etadigan qilib P₁ yoki P₂ tekisliklarni P₄ yoki P₅ yangi sistemadagi tekislik bilan almashtiriladi.
Aylantirish usulida geometrik shakl proeksiya tekisliklariga nisbatan P₁ yoki P₂ tekislikka perpendikulyar o‘q atrofida aylantiriladi, natijada proeksiya tekisliklar qo‘zg‘almas bo‘lib geometrik shakl proeksiya tekisliklaridan biriga nisbatan xususiy vaziyatni ishg‘ol etadi.
Qo‘shimcha proeksiyalash usulida geometrik shaklni proeksiya tekisliklaridan (P₁ yoki P₂) birga markaziy, yoxud parallel proeksiyalash yo‘li bilan umumiy vaziyatdan xususiy vaziyatga o‘tishda proeksiyalash yo‘nalishi qiyshiq burchakli proeksiyalash metodiga asoslanadi. Mazkur usulda to‘g‘ri chiziq nuqtaga tekislik to‘g‘ri chiziqqa, piramida yoki prizma siniq chiziqqa, konus va sirtlar egri chiziq bo‘yicha proeksiyalanadi.
Proeksiya tekisliklarini almashtirish usuli
Proeksiya tekisliklarini almashtirish usulida eski proeksiya tekisliklaridan yangi sistemadagi proeksiya tekisliklariga o‘tish uchun, avval bir tekislik keyin ikkinchi tekislik almashtirish kerak. Buning uchun, masalan: frontal proeksiyalar P₂ tekislikni P₁ tekislikka perpendikulyar P₄ tekislik bilan yoki gorizontal proeksiyalar P₁ tekislikni tekislikka perpendikulyar bo‘lgan P₄ tekislik bilan almashtiriladi. Masalaning murakkabligiga qarab, proeksiya tekisliklarini almashtirish mumkin.
47-shaklda P₂/P_1­ tekisliklar sistemasida A nuqta o‘zining proeksiyalari bilan belgilangan. Proeksiya tekisliklaridan birini, masalan P₂ tekislikni frontal proeksiyalar P₄ tekisligi bilan almashtirib, shu tekislikda nuqtaning yangi frontal proeksiyasini yasaymiz. P₁ gorizontal proeksiyalar tekisligi A nuqtani yangi va eski  koordinata sistemasi uchun umumiydir va u o‘zgarmas bo‘lib qoladi. Demak, u nuqtaning yangi frontal proeksiyasidan yangi proeksiyalar X₁₄ o‘qigacha bo‘lgan masofa, zsha nuqtaning eski frontal proeksiyasidan eski proeksiyalar X₁₂ o‘qigacha bo‘lgan masofaga teng, ya’ni A₄A₁₄=A₂A₁₂. A₁ nuqtadan yangi X₁₄ o‘qigacha bo‘lgan masofani ixtiyoriy bo‘lishi va P₄ tekislikni A nuqtaning istalgan tomonidan olinishi mumkin. A nuqtaning (istalgan tomonidan) epyurini yasash uchun, P₄ tekislikni X₁₄ o‘qi atrofida aylantirib P₁ tekislikka jipslashtiriladi, natijada A nuqtaning gorizontal A₁ proeksiyasi va yangi frontal A₄ proeksiyasi X₁₄ o‘qqa perpendikulyar bir to‘g‘ri chiziqda yotadi.

47-shakl
Xuddi shunga o‘xshash, gorizontal proeksiyalar tekisligi P₁ ni P₂ tekislikka perpendikulyar qilib P₄ tekislik bilan almashtiriladi. Bu safar V nuqtadan ikki tekislik sistemasiga umumiy bo‘lgan P₂ tekislikkacha bo‘lgan masofa u koordinataning miqdori o‘zgarmasdir (48-shakl).
Shuning uchun V nuqtaning yangi gorizontal proeksiyasi V₄ dan yangi proeksiyalar o‘qi X₂₄ gacha bo‘lgan masofa, shu nuqtaning eski gorizontal V₁ proeksiyasidan eski o‘qigacha bo‘lgan masofa teng ya’ni V₄V₂₄=V₁V₁₂.
48-shaklda V nuqtaning P₂/P₁ sistemadagi proeksiyalaridan foydalanib yangi P₅/P₄ sistemada proeksiyalarini yasaymiz. Buning uchun X₄₅ o‘qi chiziladi va V₄ orqali unga perpendikulyar o‘tkazilib, undan V₂V₂₄=V₄₅V₅=L₃ masofa qo‘yiladi, keyin V₅ topiladi.

48-shakl. 49-shakl