Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi
MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR
Download 0.82 Mb.
|
algebra va sonlar nazariyasi
MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR
a). n ta nomalumli m ta chiziqli tenglamalardan to'zilgan sistemani yezing. b). qanday chiziqli tenglamalar sistemasiga birgalikdagi sistema deyiladi? v). Aniq va aniqmas, ziddiyatli sistemalar deb qanday sistemalarga aytiladi? g). Matrisa deganda nimani tushunasiz? ye). Ekvivalent (teng kuchli) chiziqli tenglamalar sistemalari deb qanday sistemalarga aytiladi? j). Chiziqli tenglamalar sistemasidagi elementar almashtirishlar deb nimaga aytiladi? z). Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi deb qanday sistemaga aytiladi? 12-MA'RO'ZA MAVZU : n-O'LCHOVLI ARIFMETIK FAZO . CHIZIqLI BOg'LANGAN VA CHIZIqLI BOg'LANMAGAN VEKTORLAR SISTEMALARI. REJA: 1. n -o'lchovli arifmetik fazoning ta'rifi; 2. n-o'lchovli arifmetik fazoning xossalari; 3. Chiziqli bog'langan va chiziqli bog'lanmagan vektorlar sistemalari; 4. Chiziqli bog'lanmagan vektorlar sistemalarining xossalari;
Barcha mumkin bo'lgan n -o'lchovli vektorlar to'plamini Rn bilan belgilaymiz. Rn dagi a=(1, 2, . . . ,n) va b=(1 ,2 , . . . , n ) elementlarning tengligi, yig'indisini va R dan olingan soniga ko'paytmasini quyidagicha aniqlaymiz: 1). (а=b) ( 11 , 22 , . . . , nn ) ; 2). a+b = (1+1 , 2+2 , . . . , n+n ) ; 3). a= ( 1, 2, ... , n). Tushunarliki, u holda a,b Rn uchun a+b Rn hamda R, aRn uchun aR bajariladi. soniga ko'paytirish amali Rn dagi unar algebraik amal bo'lib, uni biz yezuvda qulaylik uchun bilan belgilaymiz. (0 ,0, . . . , 0) vektor nol vektor deyiladi va bilan belgilanadi. 2) ga asosan а+ = + а = а bo'lgani uchun vektor qo'shish amaliga nisbatan neytral element bo'ladi . (- 1) (1, 2, . . . ,n) vektorga а= (1, 2, . . . ,n) ga qarama- karshi vektor deyiladi. а+(-1) а= bo'lgani uchun (- 1) а= -а bilan belgilanadi . 1- таъриф. Rn to'plamga unda aniqlangan qo'shish va songa ko'paytirish amaliga nisbatan (ya'ni Rn ; + , algebraga ) n-o'lchovli vektorlarning arifmetik fazosi (yoki qisqacha n- o'lchovli arifmetik fazo ) deyiladi. Biz uni Rn bilan belgilaymiz. Vektorlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallariga arifmetik fazo-ning asosiy amallari deyiladi. 2. Rn = Rn ; + , fazoning asosiy amallari quyidagi xossalarga ega: 1. Rn ; + , - algebra-dditiv Abel gruppasi . 2. Songa ko'paytirish amali assosiativ: ya'ni R, a Rn a= ( a). 3. Songa ko'paytirish qo'shish amaliga nisbatan distrubitiv: R, a,b Rn (a+b)= a+ b . 4. Vektorga ko'paytirish sonlarni qo'shishga nisbatan distributiv, ya'ni R, a Rn + a=a + a . 5. a Rn 1 a= a. xossalarning o'rinli ekanligiga bevosita tekshirib ko'rish yo'li bilan ishonch hosil qilish mumkin. Uni biz talabalarga xavola qilamiz. Rn ; + ,- - gruppaga Rn- arifmetik fazoning additiv gruppasi deyiladi. 3. Bizga Rn=V fazoning a1, a2 , . . . , am vektorlari sistemasi berilgan bo'lsin. 1a1+ 2 a2 + . . . + m am , ( 1 , 2 ,. . . , m R) ifodaga a1, a2 , . . . , am vektorlar sistemasining chiziqli kombinasiyasi deyiladi. Bu yerdagi 1 , 2 , . . . . . . , m larga chiziqli kombinasiyaning koeffisiyentlari deyiladi. Agar koeffisiyentlardan birortasi noldan farqli bo'lsa, trivial bo'lmagan, aks holda, ya'ni barcha koeffisiyentlar nolga teng bo'lsa, trivial chiziqli kombinasiya deyiladi .
Demak,
L=L(a1, a2 , . . . , am )={ 1a1+ 2 a2 + . . . + m am 1 , 2 ,. . . , m R }. Osonlik bilan ko'rish mumkinki, chiziqli qobiq vektorlarni qo'shish, ayirish va soniga ko'paytirish amallariga nisbatan yopiqdir. 2- ta'rif. Agar hech bo'lmaganda birortasi noldan farqli 1, 2, ... , m sonlari mavjud bo'lib 1a1 + 2 a2+ . . . + m am = 0 (1) tenglik bajarilsa, u holda
vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan deyiladi. Agarda (1) tenglik faqat va faqat 1 = 2 =. . . = m = 0 bo'lgandagina bajarilsa, (2) vektorlar sistemasiga chiziqli bog'lanmagan sistema deyiladi. Masalan: e1=(1, 0 , 0 , . . . , 0 ), e2 =(0, 1 , 0, . . . , 0) , . . . , en =(0, 0, 0 , . . . , 1) birlik vektorlar sistemasi chiziqli bog'lanmagandir. Haqiqatdan ham, 1e1+ 2 e2 + . . . + n en = 0 dan ( 1, 2 , . . . , m )= 0 yoki 1 = 2 =. . . = m = 0 kelib chiqadi. 4. X o s s a l a r i .
2. a1, a2 , . . . , am (a1 0) vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan bo'lishi uchun undagi birorta vektorning qolgan vektorning chiziqli kombinasiyasi-dan iborat bo'lishi zarur va yetarlidir. Isboti. Zarurligi. a1, a2 , . . . , am (a1 0) sistema chiziqli bog'langan bo'lsin. U holda 1a1 + 2 a2+ . . . + m am = 0 (3) tenglik bajariladi va bunda 1, 2 , . . . , m larning hech bo'lmasa birortasi noldan farqli. Masalan, k 0 va k shu shartni qanoatlantiruvchi eng katta indeks bo'lsin. Bu yerda k>1, aks holda, 2 =. . . = m = 0 deb olsak, 1a1 = 0 dan 1= 0 kelib chiqadi. (3) ni ak ga nisbatan yechsak: ak =(-1 /k)a1+(-2 /k)a2+ . . . +(-k-1 /k)ak-1+ (-k+1 /k)ak+1+ . . . +(-m /k)a m yoki 's =(-s /k) deb bel-gilab olsak, ak ='1 a1+'2 a2+ . . . +'k-1 ak-1 ga ega bo'lamiz. Yetarli sharti. Faraz etaylik as=1 a1+2 a2+ . . . +s-1 as-1 + s+1 as+1+ . . .+ +m am bo'lsin. U holda bu tenglikni 1 a1+2 a2+ . . . +s-1 as-1 + s as+ +s+1 as+1+ . . . +m am = 0 ko'rinishda yozish mumkin . Bu yerda s = - 1 0 bo'lgani uchun a1, a2 , . . . , am vektorlar sistemasi chiziqli bog'langandir. 3. Agar berilgan sistemaning biror qismiy sistemasi chiziqli bog'langan bo'lsa, shu sistemaning o'zi ham chiziqli bog'langan bo'ladi.
va 1, 2 , . . . , k, 0, ... , 0 sonlarining hech bo'lmasa birortasi noldan farqli. Demak, ta'rifga asosan a1, a2 , . . . , ak , ak+1, . . . , am vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan.
4. Agar a1 , a2 , . . . , am vektorlar sistemasi chiziqli bog'lanmagan bo'lib a1 , a2 , . . . , a m , v (4) sistema chiziqli bog'langan bo'lsa , u holda v vektor a1 , a2 , . . . , a m (5) sistemadagi vektorlar orqali yagona usulda chiziqli ifodalanadi. Isboti. (4) sistema chiziqli bog'langan bo'lganligi sababli hech bo'lmasa birortasi noldan farqli bo'lgan 1, 2 , . . . , m , sonlari mavjud bo'lib 1 a1+2 a2+ . . . +m am + v = 0 (6) tenglik bajariladi. Bu yerda yerda 0, aks holda (6)dan a11 +2 a2+ . . . + +m am = 0 tenglik 1, 2 , . . . , m larning birortasi noldan farqli bo'lganda bajarilishi kerak. Bu esa (5) ning chiziqli erkli ekanligiga ziddir. (6) ni v ga nisbatan yechib
ni hosil qilamiz. Endi yagonaligini isbotlaylik. (7) bilan birga v= 1a1 + 2a2+ ... + mam bo'lsa, u holda ( '1 -1) a1 +( '2 -2) a2+ ... + ( 'm -m) am =0 bo'ladi. (5) cistema chiziqli erkli bo'lgani uchun '1 -1 =0, '2 -2=0, ... , 'm -m =0 yoki '1 = 1, '2 = 2, ... , 'm = m bo'ladi. 5°. Agar a L(b1 , b2 ,... , bm ) va b1 , b2 ,... , bm L(с1 , с2 ,... , сs ) bo'lsa, a L(c1 , c2 ,... , cs ) bo'ladi. Haqiqatan ham, a L(b1 , b2 ,... , bm ) dan a = 1b1 + 2b2+ ... + m bm . (8) b1 , b2 ,... , bm L(с1 , с2 ,... , сs ) bo'lgani uchun esa b1= 11с1 + 12 с2+ ... + 1s cs b2= 21c1 +22 c2+ ... + 2s cs .............................................. (9) bm=m1c1 + m2c2+ ... + ms cs . (9) ni (8)ga olib borib qo'ysak a=(1 11 + 2 21 + ... + m m1 )c1+(1 12 + 2 22 + ... + m m2 )c2+ . . . + +(1 1s + 2 2s + ... + m ms )cs yoki i =1 1i + 2 2i + ... + m m i ) deb belgilab olsak a= 1с1 + 2с2+ ... + s сs hosil bo'ladi,ya'ni a L(c1 , c2 ,... , cs ). Teorema. Agar a1 , a2 , . . . , a m+1 L(b1 , b2 ,... , bm ) bo'lsa, a1 , a2 , . . .,a m+1 sistemasi chiziqli bog'langandir. Isboti. m ga nisbatan matematik induksiya metodi bilan isbotlaymiz. a1, a2 , . . . , a m+1 vektorlarning barchasini noldan farqli deb olamiz, aks holda teorema o'z o'zidan tushunarli. m=1 da a1 , a2 L(b1) bo'lib, bundan a1= =1b1 , a2 = 2b2 ni, yoki -11 a1 +(- 2 )-1 a2 =0 , bu yerda 1 , 2 . Demak, a1 , a2 vektorlar chiziqli bog'langan va m=1 da teorema o'rinli. Faraz etaylik, m= n-1 da teorema o'rinli bo'lsin. Biz uning m=n uchun o'rinli ekanligini isbotlaymiz. Bu holda a1 ,a2 , . . . , an+1 L(b1 , b2 ,... ,bn) dan
.............................................. (10) an= n1b1 + n2b2+ ... + n n bn an+1= n+1,1b1 + n+1,2b2+ ... + n+1, n bn Agar(10) da bn ning oldidagi barcha koeffisiyentlar nolga teng bo'lsa, u holda a1 ,a2 , . . . , an L(b1 , b2 ,... ,bn-1) va induktivlik farazimizga ko'ra a1,a2 , . . ., an sistema va demak a1 ,a2 , . . . , an , an+1 sistema ham chiziqli bog'langan bo'ladi. Agarda bu koeffisiyentlardan birortasi, masalan n+1, n noldan farqli bo'lsa, u holda qolgan barcha tengliklardan bn vektorni yuqotamiz: a1 -1 an+1 ='11b1 + '12 b2+ ... + '1,n-1 bn-1 a2 -2 an+1 ='21b1 + '22 b2+ ... + '2,n-1 bn-1 ..................................................................... an -n an+1 ='n1b1 + 'n2 b2+ ... + 'n,n-1 bn-1 hosil bo'ladi. Induktivlik farazimiega ko'ra a1 -1 an+1 , a2 -2 an+1, an -n an+1 vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan, hech bolmasa birortasi noldan farqli bo'lgan 1, 2 , . . . , n conlari mavjud bo'lib 1 (a1 -1 an+1 )+2 (a2 --2 an+1) +n ( an -n an+1 )=0 tenglik bajariladi yoki bundan 1 a1+2 a2+ ...+ +n an+n+1 an+1 = 0 hosil bo'ladi. Bu yerda n+1 = -(11 + 22 +. . . +nn ). Shunday qilib, a1 ,a2 , . . . , an , an+1 vektorlar chiziqli bog'langan. Teorema isbot bo'ldi. Natijalar. 1). Agar a1 , a2 , . . . , ak L(b1 , b2 ,... , bm ) bo'lib, k> m bo'lsa a1 , a2 , . . . , ak vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan bo'ladi. 2). Agar a1 , a2 , . . . , ak L(b1 , b2 ,... , bm ) bo'lib a1 , a2 , . . . , ak vektor-lar sistemasi chiziqli bog'lanmagan bo'lsa, k m bo'ladi. 3). n o'lchovli arifmetik fazodagi har qanday n+1 ta va undan ortiq vektorlardan to'zilgan sistema chiziqli bog'langandir. Bu 3- natija har qanday n o'lchovli vektor (1 , 2 , . . . , n) ni birlik vektorlar orqali ifodalash mumkin ekanligidan, ya'ni (1 , 2 , . . . , n)= =1 e1 + 2 e2 + . . .+ n en L(e1 , e2 ,... , en ) ekanligidan kelib chiqadi.
Download 0.82 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling