Задача Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром

2. Переход уравнения кривой при = 0 к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей

При = 0 уравнение (1.1) имеет вид:

(1.2)

а) Определим тип кривой (1.2) с помощью инвариантов:

Так как , то исходное уравнение представляет собой уравнение эллиптического типа, а именно эллипс, так как .

б) Приведём данное уравнение (1.2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
Пусть декартовая прямоугольная система координат получена поворотом системы на угол . Старые и новые координаты точки связаны соотношениями:


(1.3)

Подставим выражение (1.3) в (1.2), получим уравнение (1.2) в системе . Это уравнение имеет вид:

(1.4)

Упрощая полученное уравнение и приводя подобные слагаемые, получаем:

(1.5)

Выберем такой угол , что в уравнении (1.5) коэффициент при = 0:

Примем , тогда найдем значения и , которые выражаются через по формулам: , . Отсюда , а . Возьмём значения , а .

Тогда уравнение (1.5) имеет вид:

Дополним до полных квадратов:

Примем за новое начало точку . Применим формулы преобразования координат:

Получим:

или

То есть получили уравнение эллипса в каноническом виде.

3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситетов и данной кривой второго порядка ( )

Для данного уравнения кривой второго порядка найдём фокусы, директрисы, эксцентриситет.

(1.6)

Общее уравнение эллипса имеет вид:

Из канонического уравнения (1.6) находим и  большую и малую полуоси эллипса соответственно:

Для любой точки М гиперболе, абсолютная величи7а разности фокальных радиусов ( ) есть величина постоянная и равная 2 .

Выберем начало координат в середине отрезка равного , тогда в выбранной системе координат точки и имеют координаты и соответственно. Обозначим через постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, что , то есть .
Находим значение по формуле :

Отсюда фокусы и имеют следующие координаты:

,

Эксцентриситетом гиперболы называется величина , то есть имеем:

Директрисой гиперболы, называются две прямые перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные ассиметрично относительно центра гиперболы на расстоянии от него.

Уравнения директрис гиперболы имеют вид:


. Отсюда ;

Асимптотами называются диагонали прямоугольника, к которым стремятся ветви гиперболы. Уравнения асимптот находятся по следующим формулам:

,
то есть и