Фазода аналитик геометрия элементлари

FAZODA ANALITIK GEOMETRIYA ELEMENTLARI


REJA:

1. 
   Tugri chizikni parametrik tenglamasi.
   

1. 
   Tugri chizikni umumiy tenglamasi.
   

1. 
   Ikki tugri chizik orasidagi burchak.
   

TAYANCH IBORALAR.
Yunaltiruvchi vektor, tugri chizik, vektor tenglama, kanonik tenglamasi.
Fazoda chizik sifatida ikkita soxaning kesishishidan xosil bulgan cheksiz nuktalar tuplamidan iboratdir.

F(x, y, z)=0

F(x, y, z)=0 (7)
Fazoda tugri chizikning umumiy tenglamasi:

A₁x+B₁y+C₁z+D=0

A₂x+B₂y+C₂z+D=0 (8)

Fazoda tugri chizik tayin bir nuktasi M₁(x₁, y₁, z₁) va unga parallel S=mi+nj+pk vektor orkali tulik aniklangan. S ni yunaltiruvchi vektor deb ataladi.

Aytaylik fazoda L tugri chizik unda yotuvchi nukta M₁(x₁, y₁, z₁) va unga parallel bulgan S=mi+nj+pk yunaltiruvchi vektorga berilgan bulsin. L tugri chizikdan ixtiyoriy M(x, y, z) nuktani olamiz. OM, OM₁, M₁M vektorlarni yasaymiz.
z
M L
M₁
S
y
0
x
Chizmadan kurinadiki
OM=OM₁+M₁M
M₁M S L demak M₁M va S lar uzaro kolleniar. Shuning uchun
M₁M= tS
Belgilash kiritamiz: r₁=’M; r=’M
U xolda r = r₁+tS (9)
(9) tugri chizikning vektor tenglamasidir.
r = ’M = xi+yj+zk
r₁= ’M₁= x₁i+y₁j+z₁k; tS=tmi+tnj+tpk
U xolda ikki vektorning tengligiga asosan:


x = x₁+tm
y = y₁+tn
z = z₁+tp (10) tugri chizikning parallellik tenglamasi

M₁M vektor S vektor kolleniar ekanligidan ularning mos koordinatalari proporsionaldir:

M₁M = (x-x₁)i + (y-y₁)j + (z-z₁)k, S=mi+nj+pk

x-x₁ y-y₁ z-z₁
----- = ----- = ----- (11)
m n p

(11) tugri chizikning kanonik tenglamasidir.

Agar S=cosi+cosj+cosk birlik vektor bulsa,

x-x₁ y-y₁ z-z₁

----- = ------ = ------ (12)
cos cos cos

Yunaltiruvchi koeffisiyentlar rolini yunaltiruvchi kosinuslar buladi.

Agar L tugri chizik ’z ukiga perpendikulyar bulsa, bu tugri chizik tenglamasi:
x-x₁ u-u₁
----- = ----- (13)
m n


Ilova 1: Tugri chizikning kanonik tenglamasini tugri chizikning parametrik tenglamasidan t-parametrni yukotish yuli bilan xosil kilinadi.
Ilova 2: Aytaylik tugri chizik biror koordinata ukiga perpendikulyar bulsa, masalan Ox ukiga, u xolda m=0 bulib, tugri chizik parametrik tenglamasi:

x = x₁

y = y₁+nt
z = z₁+pt
t ni yukotish natijasida


x- x₁=0
y- x₁ z-z1
----- = -----
n p
U xolda tugri chizikning kanonik tenglamasi:

x-x₁ y-y₁ z-z₁

----- = ------ = ------
u n p
bu yerda, agar kasrning maxraji nolga teng bulsa u xolda kasrning surati xam nolga teng bulishini esdan chikarmaslik kerak.

x-x₁ y-y₁ z-z₁

----- = ------ = ------ (14) yoki x=x₁; u=u₁
’ n p
Bu tugri chizik uz ukiga paralleldir. Xususiy xolda

x u z
— = — = — uz ukining tenglamasidir.

0 0 1

Endi tugri chizikning umumiy tenglamasi berilgan bulsa, bu tugri chizikning kanonik tenglamasini tuzaylik:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0
L: A₂x+B₂y+C₂z+D₁=0
Kanonik tenglamani tuzish uchun L tugri chizikda yotuvchi M₁(x₁, y₁, z₁) nukta va S=mi+nj+pk yunaltiruvchi vektor berilgan bulishi kerak.
M₁ nuktaning koordinatalarini topish uchun x, u, z noma’lumlardan biriga ixtiyoriy son kiymat berib, kolgan noma’lumlar topiladi. Yunaltiruvchi vektorni esa S=N₁+N₂ shaklida topamiz.
Misol 1. 2x+3u-z+8=0
x-3y+2z+1=0
tugri chizikning kanonik tenglamasini tuzing.
z=0 bulsa, 2x+3u=-8
x-3y=-1
3x=-9 x=-3
3u=-3+1; u=-2/3; M₁(-3; -2/3; 0)
i j k
S=N₁ X N₂ = 2 3 -1 = (6-3)i - (4+1)j + (-6-3)k=3i-5j-9k
1 -3 2

Biz izlagan tugri chizik tenglamasi:

x+3 u+2/3 z x+3 3y+2 z

----- = -------- = -----; ----- = ----- = -----
3 -5 -9 3 -15 -9

Ikki nuktadan utuvchi tugri chizik tenglamasini tuzaylik.

Aytaylik M₁(x₁, y₁, z₁) va M₂(x₂, y₂, z₂) L tugri chizikning ixtiyoriy nuktalari bulsin.
(M₁M₂) tugri chizikning kanonik tenglamasini tuzish uchun S yunaltiruvchi vektorni topaylik. M₁M₂=S vektor sifatida kabul kilish mumkin. U xolda tugri chizik tenglamasi

x-x₁ y-y₁ z-z₁

----- = ------ = ------ (15)
x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁

(15) ikki nuktadan utuvchi tugri chizik tenglamasidir.

Misol 2. M₁ (1; 3; -5) va M₂ (2; 4; 2) nuktalardan utuvchi tugri chizik tenglamasini tuzing.
x-1 y-3 z+5
---- = ---- = ----
2-1 4-1 2+5

x-1 y-3 z+5

---- = ---- = ----
1 1 7

Aytaylik bizga L₁: x-x₁ y-y₁ z-z₁

----- = ------ = ------ va
m₁ n₁ p₁

x-x₂ y-y₂ z-z₂

L₂: ----- = ------ = ------ va
m₂ n₂ p₂
tugri chiziklarni kanonik tenglamasi bilan berilgan bulsin. Bu tugri chiziklar orasidagi burchakni topish uchun, bu tugri chiziklarning yunaltiruvchi S₁ va S₂ vektorlar orasidagi burchakni topish kifoyadir:
m₁m₂ + n₁n₂ +P₁P₂
sos  = S₁S₂ / S₁  S₂  = ---------------------------------------------------- ( 16)
 m₁² + n ₁² + P₁² m₂² + n ₂² + P₂²
Misol 3. x-2 y+3 z-5
 =  = 
5 3 -2
x+2 y z-3
va  =  = 
3 2 5 tugri chiziklar orasidagi burchakni toping .
5  3 + 3  2 + ( - 2 )  5 11
sos  = ---------------------------------------------------- = 
 25 + 9 + 4  9 + 4 + 25 38

 = arcsos 11/38


Misol 4. M₁ (1; 2; 3) nuktadan utuvchi va


2x+3u+5z-7=0
3x-4y+z-8=0
tugri chizikka parallel tugri chizik tenglamasini tuzing.


i j k
S=N₁ X N₂ = 2 3 5 = (3+20)i - (2-15)j + (-8-9)k=23i+13j-17k 3 -4 1
Demak tugri chizik tenglamasi:
x-1 y-2 z-3
 =  =  ;
23 13 -17


Misol 5. M₁ (-4; 0; 2) nuktadan utib
x+1 y+1 z
---- = ---- = ---- va
2 3 4

x-2 y-3 z-5

---- = ---- = ----
3 2 2
tugri chizikka perpendikulyar bulgan tugri chizik tenglamasini tuzing.
i j k
S=S₁ X S₂ = 2 3 4 = (6-8)i - (4-12)j + (4-9)k=-2i+8j-5k 3 2 2
Endi tugri chizik tenglamasi
x+4 y z-2
---- = ---- = ---- ;
-2 8 -5


Foydalangan adabiyotlar

1. 
   D.Iskandarov Oliy algebra I tom. Ukuvpeddavnashr 1960y.
   
2. 
   G.M.Fixtingols Matematik analiz asoslari. T. «Ukituvchi» 1972y.
   
3. 
   N.S.Piskunov Differensial va integral xisob. I va II tom. M. “Nauka” 1976y.
   
4. 
   V.Ye.Shneyder, A.I.Slusskiy, A.Ye.Shumov Oliy matematikaning kiska asoslari. I va II tom. M.”Vыsshaya shkola” 1978
   
5. 
   Ye.U.Soatov Oliy matematika. I va II jild. T.”Ukituvchi” 1992y.