Fibonachchi sonlari Sonli ketma-ketlik, rekurrent tenglik, Fibonachchi qatori

Fibonachchi sonlari

• 
  Sonli ketma-ketlik, rekurrent tenglik, Fibonachchi qatori,
  
• 
  Fibonachchi sonlari, umumlashgan Fibonachchi qatori, binomial
  
• 
  koeffitsiyentlar, Paskal uchburchagi, matematik induksiya usuli,
  
• 
  Bine formulasi, oltin kesim, logarifmik spiral.
  

1. Fibonachchi sonlarining ta 'rifi. Elementlari haqiqiy son-lardan iborat bo'lgan

J/p 1*2, Wj,...,U_n,...

ketma-ketlikni qaraymiz. Bu ketma-ketlikdagi elementlarning uchinchisidan boshlab, har biri o'zidan oldingi ikkita elementning yig'indisiga teng, ya'ni u_n—u_nl+u_n2 (n >3) bo'lsin. Ravshanki, bu ketma-ketlikni tashkil qilishda uning dastlabki ikkita hadi muhim bo'lib, keyingi barcha hadlari rekurrent² tenglik vositasida aniqlanadi.

u=u₂=l bo'lganda yuqorida keltirilgan ketma-ketlik Fibonachchi qatori, uning hadlari esa Fibonachchi sonlari, deb ataladi.

Tabiiyki, Fibonachchi qatoridagi Fibonachchi sonlarini aniq-lash jarayoni cheksizdir. Fibonachchi sonlarining dastlabki 24 tasi quyida keltirilgan:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368.

«Fibonachchi sonlari» iborasi birinchi bo'lib, XIX asrda Eduard Lyuka³ tomonidan qiziqarli matematikaga bag'ishlab yozilganasarua qo'llanilgan. Fibonachchi (bu italyancha «filius Bonacci» so'zlaridan qisqartirilib tuzilgan bo'lib, Bonachchining o'g'li ma'nosini anglatadi) Italiyadagi Piza shahrida XII—XIII asrlarda yashagan Leonardo Pizanskiyning boshqacha ismidir (laqabidir). Bonachchi Italiya va Jazoirda savdo-sotiq bilan shug'ullangan. Leonardo boshlang'ich ma'lumotni Jazoirda olgan bo'lib, u o'zining arab o'qituvchilaridan hind pozitsion o'nlik sanoq tizimi¹ va nolni o'rgangan edi. Fibonachchi «Liber abaci» («Abak haqidagi kitob» — 1202-yilda yozilgan bo'Ub, 1228-yildagi qo'lyozma nusxasi saqlangan) nomli kitobida arifmetika va algebra bo'yicha o'z davrining deyarli barcha ma'lumotlarini bayon qilgan. Xususan, o'sha kitobda hozir butun dunyoda ommabop hisoblangan «arab» raqamlari bayon qilingan. Qo'lyozmaning (1228-yil) 123—124-sahifalarida uy quyoriarining ko'payishi haqidagi quyidagi masala bayon qilingan.

«Bir kishi bir juft quyonni ko'paytirish maqsadida saqlagan bo'lsin. Quyonning tabiati shundayki, har bir juft quyon bir oyda boshqa bir juft quyonni dunyoga keltiradi va yangi paydo bo'lgan juft quyonlar ikkinchi oydan boshlab nasi bera boshlaydilar. Bir yildan so'ng dastlabki juft quyonlarning ko'payishi natijasida necha juft quyon vujudga keladi?»

Bu masalani yechish jarayonida Fibonachchi dastlabki yilning har bir oyi uchun quyonlar juftlari sonini aniqlagan. Bu sonlar 1-jadvalda keltirilgan. «Liber abaci»dan bu masala yechimi bayoni-ning so'nggi satrlarini keltiramiz: «...Oxirgi oyda tug'ilgan yangi 144 juft quyonlar qo'shiha 377 juft quyon hosil bo'ladi. Shuncha juft quyon bir yil davomida bir juft quyondan ko'payar ekan».Quyonlar haqidagi masalada uchragan sonlar Fibonachchi qatorining dastlabki sonlari ekanligi yaqqol ko'rinib turibdi.

Fibonachchining o'zi Fibonachchi qatorining xossalarini o'rganish bilan shug'ullanmagan deb hisoblashadi (har ehtimolga qarshi, bizgacha yetib kelgan bunday izlanishlar haqida ma'lu-motlar yo'qligini ta'kidlaymiz). XIX asr boshlarida Fibonachchi qatorining turli xossalariga bag'ishlangan ilmiy ishlar soni «Fibonachchi quyonlari sonidek o'sgan».

Eduard Lyuka ixtiyoriy u_xva u₂sonlardan boshlanuvchi hamda ^u_n^=un~i^+un-2 (ⁿ-3) rekurrent tenglik bilan aniqlanuvchi sonlar qatorini umumlashgan Fibonachchi qatori, deb nomlagan.
Hosil qiluvchi funksiyalarning ta'rifl.
Hosil qiluvchi fanksiyalarning ta'rifi uchun zarur bo'lgan ayrim tushunchalarni matematik analiz kursidan keltiramiz. Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo'lsin: